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1、21 1一元二次方程 第二十一章一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学练优九年级数学上 RJ 教学课件 1 理解一元二次方程的概念 难点 2 根据一元二次方程的一般形式 确定各项系数 3 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题 重点 导入新课 复习引入 1 什么叫方程 我们学过哪些方程 含有未知数的等式叫做方程 我们学过的方程有一元一次方程 二元一次方程 组 及分式方程 其中前两种方程是整式方程 2 什么叫一元一次方程 含有一个未知数 且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程 讲授新课 问题1初中同学毕业20周年聚会 如果参加聚会的有x个人 每两人之间都握一次手 共握
2、了21次手 请你列出符合上述条件的方程 并判断方程是什么类型 解析 设参加聚会有x人 每个人都要与 x 1 人握手 由于甲与乙握手和乙与甲握手是同一次握手 所以全部握手次数是 解 根据题意 列方程 整理得 化简 得 该方程中有未知数的个数和最高次数各是多少 问题2有一块矩形铁皮 长100cm 宽50cm 在它的四角各切去一个正方形 然后将四周凸出部分折起 就能制作一个无盖方盒 如果要制作的方盒的底面积为3600cm2 那么铁皮各角应切去多大的正方形 请根据题意列出方程 100cm 50cm x 3600cm2 解 设切去的正方形的边长为xcm 则盒底的长为 100 2x cm 宽为 50 2x
3、 cm 根据方盒的底面积为3600cm2 得 整理 得 化简 得 该方程中有未知数的个数和最高次数各是多少 观察与思考 方程 都不是一元一次方程 那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里 它们有什么共同特点呢 特点 都是整式方程 只含一个未知数 未知数的最高次数是2 知识要点 一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式 只含有一个未知数 一元 并且未知数的最高次数是2 二次 的方程叫做一元二次方程 一元二次方程的一般形式是 ax2 bx c 0 a 0 二次项系数 一次项系数 常数项 3 练一练已知关于x的方程 当k 时 它是一元二次方程 想一想为什么一般形式中ax2 bx c 0要限制a
4、0 b c可以为零吗 当a 0时 方程变为bx c 0 不再是一元二次方程 ax2 bx c 0强调 左边最多有三项 一次项 常数项可不出现 但二次项必须有 左边按未知数x的降幂排列 右边必须整理为0 典例精析 例1下列选项中 关于x的一元二次方程的是 C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成x2 3x 2 0 少了限制条件a 0 例2将方程3x x 1 5 x 2 化为一般形式 并分别指出它们的二次项 一次项和常数项及它们的系数 解 去括号 得 3x2 3x 5x 10 移项 合并同类项 得一元二次方程的一般形式 3x2 8x 10 0 其中二次项是3x2 系数是3 一次项是 8x 系数是
5、 8 常数项是 10 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解 又叫做根 例3下面哪些数是方程x2 x 6 0的解 4 3 2 1 0 1 2 3 4 解 3和 2 你注意到了吗 一元二次方程可能不止一个根 当堂练习 1 下列哪些是一元二次方程 3x 2 5x 2 x2 0 x 3 2x 4 x2 3y2 3y 1 y 2 x2 x3 x2 1 3x2 5x 1 2 填空 2 1 3 1 3 5 4 0 5 3 2 3 若关于x的一元二次方程 m 2 x2 5x m2 4 0 有一个根为0 求m的值 解 将x 0代入方程m2 4 0 解得m 2 m 2 0
6、m 2 综上所述 m 2 课堂小结 一元二次方程 概念 是整式方程 含一个未知数 最高次数是2 一般形式 ax2 bx c 0 a 0 其中 a 0 是一元二次方程的必要条件 确定一元二次方程的二次项系数 一次项系数及常数项要先化为一般式 根 使方程左右两边相等的未知数的值 21 2 1配方法 第二十一章一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学练优九年级数学上 RJ 教学课件 第1课时直接开平方法 1 会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程 难点 2 运用开平方法解形如x2 p或 x n 2 p p 0 的方程 重点 导入新课 复习引入 平方根 1 如果x2 a 则x叫做a
7、的 2 如果x2 a a 0 则x 3 如果x2 64 则x 8 4 任何数都可以作为被开方数吗 负数不可以作为被开方数 讲授新课 问题1一桶油漆可刷的面积为1500dm2 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面 你能算出盒子的棱长吗 解 设正方体的棱长为xdm 则一个正方体的表面积为6x2dm2 根据一桶油漆可刷的面积 列出方程 10 6x2 1500 由此可得 x2 25 根据平方根的意义 得 即x1 5 x2 5 可以验证 5和 5是方程 的两根 但是棱长不能是负值 所以正方体的棱长为5dm x 5 试一试解下列方程 并说明你所用的方法 与同伴交流 1 x2 4
8、2 x2 0 3 x2 1 0 解 根据平方根的意义 得x1 2 x2 2 解 根据平方根的意义 得x1 x2 0 解 根据平方根的意义 得x2 1 因为负数没有平方根 所以原方程无解 2 当p 0时 方程 I 有两个相等的实数根 0 3 当p 0时 因为任何实数x 都有x2 0 所以方程 I 无实数根 探究归纳 如果我们把x2 4 x2 0 x2 1 0变形为x2 p呢 一般的 对于方程x2 p I 1 当p 0时 根据平方根的意义 方程 I 有两个不等的实数根 例1利用直接开平方法解下列方程 解 1 x2 25 直接开平方 得 x 5 x1 5 x2 5 2 移项 得 x2 900 直接开
9、平方 得 x 30 x1 30 x2 30 典例精析 练一练完成课本P6练习 1 2 6 在解方程 I 时 由方程x2 25得x 5 由此想到 x 3 2 5 得 对照上面解方程 I 的方法 你认为怎样解方程 x 3 2 5 探究交流 于是 方程 x 3 2 5的两个根为 上面的解法中 由方程 得到 实质上是把一个一元二次方程 降次 转化为两个一元一次方程 这样就把方程 转化为我们会解的方程了 解题归纳 例2解下列方程 x 1 2 2 典例精析 解析 第1小题中只要将 x 1 看成是一个整体 就可以运用直接开平方法求解 解 1 x 1是2的平方根 x 1 解析 第2小题先将 4移到方程的右边
10、再同第1小题一样地解 例2解下列方程 2 x 1 2 4 0 即x1 3 x2 1 解 2 移项 得 x 1 2 4 x 1是4的平方根 x 1 2 典例精析 例2解下列方程 3 12 3 2x 2 3 0 典例精析 解析 第3小题先将 3移到方程的右边 再两边都除以12 再同第1小题一样地去解 然后两边都除以 2即可 解 3 移项 得12 3 2x 2 3 两边都除以12 得 3 2x 2 0 25 3 2x是0 25的平方根 3 2x 0 5 即3 2x 0 5 3 2x 0 5 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式 右边是非负数的形式 然后用平方根的概念求解 1 能用直
11、接开平方法解的一元二次方程有什么特点 如果一个一元二次方程具有x2 p或 x n 2 p p 0 的形式 那么就可以用直接开平方法求解 2 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么 3 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗 请举例说明 探讨交流 当堂练习 D 2x 3 2 25 解方程 得2x 3 5 x1 1 x2 4 1 下列解方程的过程中 正确的是 A x2 2 解方程 得x B x 2 2 4 解方程 得x 2 2 x 4 D 1 方程x2 0 25的根是 2 方程2x2 18的根是 3 方程 2x 1 2 9的根是 3 解下列方程 1 x2 81 0 2 2x2 50 3
12、 x 1 2 4 x1 0 5 x2 0 5 x1 3 x2 3 x1 2 x2 1 2 填空 解 x1 9 x2 9 解 x1 5 x2 5 解 x1 1 x2 3 4 请你当小老师 下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程 你认为他解的对吗 如果有错 指出具体位置并帮他改正 解 解 不对 从开始错 应改为 能力拓展 方程x2 6x 4 0可以用直接开平方法解吗 如果不能 那么请你思考能否将其转化成平方形式 课堂小结 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成x2 p p 0 或 x n 2 p p 0 一元二次方程 两个一元一次方程 降次
13、直接开平方法 21 2 1配方法 第二十一章一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时配方法 1 了解配方的概念 2 掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题 重点 3 探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系 难点 导入新课 复习引入 1 9x2 1 2 x 2 2 2 想一想 2 下列方程能用直接开平方法来解吗 练一练 1 用直接开平方法解下列方程 1 x2 6x 9 5 2 x2 6x 4 0 把两题转化成 x n 2 p p 0 的形式 再利用开平方 讲授新课 1 你还记得吗 填一填下列完全平方公式 1 a2 2ab b2 2 2 a2 2ab b2 2 a b a
14、 b 2 填上适当的数或式 使下列各等式成立 1 x2 4x x 2 2 x2 6x x 2 3 x2 8x x 2 4 x2 x x 2 你发现了什么规律 探究交流 22 2 32 3 42 4 二次项系数为1的完全平方式 常数项等于一次项系数一半的平方 归纳总结 想一想 x2 px 2 x 2 配方的方法 探究交流 怎样解方程 2 x2 6x 4 0 问题1方程 2 怎样变成 x n 2 p的形式呢 解 x2 6x 4 0 x2 6x 4 移项 x2 6x 9 4 9 两边都加上9 二次项系数为1的完全平方式 常数项等于一次项系数一半的平方 方法归纳 在方程两边都加上一次项系数一半的平方
15、注意是在二次项系数为1的前提下进行的 问题2为什么在方程x2 6x 4的两边加上9 加其他数行吗 不行 只有在方程两边加上一次项系数一半的平方 方程左边才能变成完成平方x2 2bx b2的形式 方程配方的方法 要点归纳 像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程 叫做配方法 配方法的定义 配方法解方程的基本思路 把方程化为 x n 2 p的形式 将一元二次方程降次 转化为一元一次方程求解 配方法解方程的基本步骤 一移常数项 二配方 配上 三写成 x n 2 p p 0 四直接开平方法解方程 典例精析 例1解下列方程 解 1 移项 得 x2 8x 1 配方 得 x2 8x 42 1 42 x 4
16、2 15 由此可得 即 配方 得 由此可得 二次项系数化为1 得 解 移项 得 2x2 3x 1 方程的二次项系数不是1时 为便于配方 可以将方程各项的系数除以二次项系数 即 移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢 配方 得 因为实数的平方不会是负数 所以x取任何实数时 x 1 2都是非负数 即上式都不成立 所以原方程无实数根 解 移项 得 二次项系数化为1 得 为什么方程两边都加12 即 当堂练习 1 解下列方程 1 x2 4x 9 2x 11 2 x x 4 8x 12 3 4x2 6x 3 0 4 3x2 6x 9 0 解 x2 2x 2 0 x 1 2 1 此方程无解 解 x2 4x 12 0 x 2 2 16 x1 6 x2 2 解 x2 2x 3 0 x 1 2 4 x1 3 x2 1 2 如图 在一块长35m 宽26m的矩形地面上 修建同样宽的两条互相垂直的道路 剩余部分栽种花草 要使剩余部分的面积为850m2 道路的宽应为多少 解 设道路的宽为xm 根据题意得 35 x 26 x 850 整理得 x2 61x 60 0 解得 x1 60 不合题意 舍去 x2
