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1、山柳讲数学 1 第第六六学学 最值问题解题策略最值问题解题策略 基础要点基础要点 初中阶段 几何方面求线段的最值问题 离不开两句话 让我们一起大声喊出来 两点之间 线段最短 垂线段最短 基本模型 将军饮马 胡不归 阿氏圆 典型例题典型例题 模型模型 1 将军饮马将军饮马 模型介绍 古希腊有一个著名的 将军饮马问题 大致内容如下 古希腊一位将军 每天都 要巡查河岸侧的两个军营 A B 他总是先去 A 营 再到河边饮马 之后再去 B 营 如图 他时常想 怎么走才能使每天的路程之和最短呢 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题 如图 作 B 关于直线 l 的对称点 B 连接 AB 与直线 l
2、 交于点 C 点 C 就是所求的位置 请你在下列的阅读 应用的过程中 完成解答 1 理由 如图 在直线 L 上另取任一点 C 连接 AC BC B C 直线 l 是点 B B 的对称轴 点 C C 在 l 上 CB C B AC CB AC CB 在 AC B 中 AB AC C B AC CB AC C B 即 AC CB 最小 归纳小结 本问题实际是利用轴对称变换的思想 把 A B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧 从 而可利用 两点之间线段最短 即转化为 三角形两边之和大于第三边 的问题加以解决 其 中 C 为 AB 与 l 的交点 即 A C B 三点共线 本问题可拓展为 求定直线上
3、一动点与直线外两定点的距离和的最小值 问题的数学模型 2 模型应用 1 如图 正方形 ABCD 的边长为 2 E 为 AB 的中点 F 是 AC 上一动点 求 EF FB 的最小值 分析 解决这个问题 可以借助上面的模型 由正方形的对称性可知 B 与 D 关于直线 AC 对称 连结 ED 交 AC 于 F 则 EF FB 的最小值就是线段的长度 EF FB 的最小值 是 2 如图 已知 O 的直径 CD 为 4 AOD 的度数为 60 点 B 是的中点 在直径 CD 上找一点 P 使 BP AP 的值最小 则 BP AP 的最小值是 山柳讲数学 2 3 如图 一次函数 y 2x 4 的图象与
4、x y 轴分别交于 A B 两点 点 O 为坐标原点 点 C 与点 D 分别为线段 OA AB 的中点 点 P 为 OB 上一动点 求 PC PD 的最小值 并写 出取得最小值时 P 点坐标 图 3 拓展迁移 如图 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 的对称轴为 x 1 且抛物线经过 A 1 0 C 0 3 两点 与 x 轴交于另一点 B 求这条抛物线所对应的函数关系式 在抛物线的对称轴直线 x 1 上找到一点 M 使 ACM 周长最小 请求出此时点 M 的坐标 与 ACM 周长最小值 结果保留根号 4 代数应用 求代数式 3664 2 2 xx 0 x 6 的最小值 山柳讲数学 3 模
5、型模型 2 胡不归胡不归 有一则历史故事 说的是一个身在他乡的小伙子 得知父亲病危的消息后便日夜赶路回 家 然而 当他气喘吁吁地来到父亲的面前时 老人刚刚咽气了 人们告诉他 在弥留之际 老人在不断喃喃地叨念 胡不归 胡不归 早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线 如下图 A 是出发地 B 是目的地 AC 是一条驿道 而驿道靠目的地的一侧是沙地 为了急切回家 小伙子选择 了直线路程 AB 但是 他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素 如果他能选择一条合 适的路线 尽管这条路线长一些 但是速度可以加快 是可以提前抵达家门的 那么 这应该是那条路线呢 显然 根据两种路面的
6、状况和在其上行走的速度值 可以在 AC 上选定一点 D 小伙子从 A 走到 D 然后从 D 折往 B 可望最早到达 B 用现代的科学 语言表达 就是 若在驿道上行走的速度为 1 V 在沙地上行走的速度为 2 V 即求 21 V BD V AD 的最小值 模型分析 如图 已知点 6 0 B 0 2 3 点 P 是 x 轴上的一动点 求 PBPA 2 1 的最小值 山柳讲数学 4 模型模型 3 阿氏圆阿氏圆 问题提出 如图 1 在 Rt ABC 中 ACB 90 CB 4 CA 6 C 半径为 2 P 为圆上 一动点 连结 AP BP 求 AP BP 的最小值 1 尝试解决 为了解决这个问题 下面
7、给出一种解题思路 如图 2 连接 CP 在 CB 上 取点 D 使 CD 1 则有 又 PCD BCP PCD BCP PD BP AP BP AP PD 请你完成余下的思考 并直接写出答案 AP BP 的最小值为 2 自主探索 在 问题提出 的条件不变的情况下 AP BP 的最小值为 3 拓展延伸 已知扇形 COD 中 COD 90 OC 6 OA 3 OB 5 点 P 是上一点 求 2PA PB 的最小值 山柳讲数学 5 巩固训练巩固训练 1 某课题组在探究 将军饮马问题 时抽象出数学模型 直线 l 同旁有两个定点 A B 在直 线 l 上存在点 P 使得 PA PB 的值最小 解法 作点
8、 A 关于直线 l 的对称点 A 连接 A B 则 A B 与直线 l 的交点即为 P 且 PA PB 的最小值为 A B 请利用上述模型解决下列问题 1 几何应用 如图 1 等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 2 E 是斜边 AB 的中点 P 是 AC 边上的一动点 则 PB PE 的最小值为 2 几何拓展 如图 2 ABC 中 AB 2 BAC 30 若在 AC AB 上各取一点 M N 使 BM MN 的值最小 求这个最小值 3 代数应用 求代数式 0 x 4 的最小值 2 如图 抛物线y x2 2x 3与x轴交于A B两点 过B的直线交抛物线于E 且tan EBA 有一只蚂蚁从 A
9、出发 先以 1 单位 s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处 再以 1 25 单位 s 的 速度沿着 DE 爬到 E 点处觅食 则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是s 3 如图 在平面直角坐标系中 二次函数 y ax2 bx c 的图象经过点 A 1 0 B 0 C 2 0 其对称轴与 x 轴交于点 D 1 求二次函数的表达式及其顶点坐标 2 若 P 为 y 轴上的一个动点 连接 PD 求PB PD 的最小值 山柳讲数学 6 4 如图所示 已知抛物线 y a x 3 x 1 a 0 与 x 轴从左至右依次相交于 A B 两点 与 y 轴相交于点 C 经过点 A 的直线 y x b 与抛物线的另
10、一个交点为 D 1 若点 D 的横坐标为 2 求抛物线的函数解析式 2 在 1 的条件下 设点 E 是线段 AD 上的一点 不含端点 连接 BE 一动点 Q 从 点 B 出发 沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E 再沿线段 ED 以每秒个单位 的速度运动到点 D 后停止 问当点 E 的坐标是多少时 点 Q 在整个运动过程中所用时间最 少 5 如图 半圆的半径为 1 AB 为直径 AC BD 为切线 AC 1 BD 2 P 为上一动点 求PC PD 的最小值 6 如图 直线 y x 2 与抛物线 y x 2 2mx m2 m 交于 A B 两点 A 在 B 的左侧 与 y 轴交于点 C 抛物线的顶点为 D 抛物线的对称轴与直线 AB 交于点 M 1 若 P 为直线 OD 上一动点 求 APB 的面积 2 当四边形 CODM 是菱形时 求点 D 的坐标 3 作点 B 关于直线 MD 的对称点 B 以 M 为圆心 MD 为半径作 M 点 Q 是 M 上一 动点 求 QB 2 2 QB 的最小值
