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1、第十一章 微分方程 函数反映了客观世界运动过程中各种变量之间的函数关系 是研究现实世界运动规律的重要工具 但在大量的实际问题中 遇到稍为复杂的运动过程时 要直接写出反映运动规律的量与量之间的函数关系往往是不可能的 但常可建立含有要找的函数 及其导数的关系式 这种关系式称为微分方程 对微分方程进行分析 找出未知函数来 这就是解方程 第一节 微分方程的基本概念 定义 1 称含有导数或微分的方程为微分方程 并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数 如 1 2 xyyy 二阶方程 0 2 xyy一阶方程 xy 三阶方程 等等 讲方程 都是为了解方程 前两个方程不好解 第三个方程好解 解之 xy 方程两边
2、三次积分 得方程的解 32 2 1 4 2 1 24 1 CxCxCxy 321 CCC为任意常数 当 4 24 1 xy 时 也满足方程 可见 32 2 1 4 2 1 24 1 CxCxCxy 包括了所有的解的形式 则称它为通解 定义 2 称满足微分方程的函数为方程的解 若方程的解种含有相互独立的任意常数 常数的个数恰好等于方程的阶数 则 称此解为方程的通解 称不含任意常数的解为方程的特解 注 1 通解与特解只是方程的两类解 一阶方程的解要么是通解 要么是特解 注 2 一阶方程的几种形式 一般形式 0 y yxF 从这个方程种有可能解出 y 也有可能解不出来 一阶显 式方程 yxfy 对称
3、形式 yxQ yxP dx dy 或0 QdyPdx 注 3 在一阶方程种 x和y的关系是等价的 因此 有时可将x看成函数 y看做变量 第二节 可分离变量方程 定义 1 称能改写为形式 dxxgdyyf 的一阶方程为可分离变量方程 注 不是所有的方程都能这样 故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况 定理 1 若 yfyF xgxG 则dxxgdyyf 的通解为CxGyF 证 1 先证CxGyF 是方程的解 两边对x求导 得 xg dx dy yf 即dxxgdyyf 故CxGyF 是方程的解 2 设 xy 是方程的任一解 则dxxgdxxxf 两边关于x积分 得 dxxgdxxxf 又 xF
4、是 xf的一个原函数 xG是 xg的一个原函数 则CxGxF 即 xy 在CxGyF 中 所以 CxGyF 为dxxgdyyf 的通解 注 1 可分离变量方程的解法 先分离变量 再两边积分 即得通解 注 2 用来确定通解中的任意常数的条件 称为方程的初始条件 例1 求0sincoscossin ydyxydxx的通解 并求满足初始条件 4 0 y的特解 解 方程可变为dy y y dx x x cos sin cos sin 两边积分 得Cyxlncoslncosln 即 xCycoscos 为方程的通解 又 4 0 y 代入 得 0cos 4 cosC 2 2 C 即满足初始条件的特解为 x
5、ycos 2 2 cos 例2 求 yx ey 的通解 解 由 yxyx eeey 分离变量 得dxe e dy x y 两边积分 得 cee xy 即为方程的隐式通解 二 可化为齐次方程的方程 经 kYy hXx 变换将行如 111 cybxa cbyax dx dy 方程化为齐次方程 例3 求 1 1 yx yx dx dy 的通解 解 令 kYy hXx 则 1 1 khYX khYX dX dY 令 01 01 kh kh 1 0 k h 即 1Yy Xx 方程变为 YX YX dX dY 令 X Y u 代入 得 X dX du uu u 2 21 1 积分 得 22 21CXuu
6、由 X Y u 代回 得 通解为 2 2 11 21Cx x y x y 其中C为任意常数 第三节 齐次方程 一 齐次方程 定义 1 称能改写成形式 x y f dx dy 的微分方程为一阶齐次方程 我们下面来看看齐次方程解的情形 令 x y u 即uxy 代入方程 得 uf dx du xu 分离变量 得 x dx ufu du 两边积分 解出u 再将 x y u 回代 即得通解 例1 求 0 22 xdydxyxy 的通解 解 原方程可化为 2 1 x y x y dx dy 令 x y u 即uxy 代入方程 得 2 1 uu dx du xu 化简 x dx u du 2 1 积分 得
7、 x c uu 2 1 将 x y u 回代 得通解为cyxy 22 二 可化为齐次方程的方程 经 kYy hXx 变换将行如 111 cybxa cbyax dx dy 方程化为齐次方程 例4 求 1 1 yx yx dx dy 的通解 解 令 kYy hXx 则 1 1 khYX khYX dX dY 令 01 01 kh kh 1 0 k h 即 1Yy Xx 方程变为 YX YX dX dY 令 X Y u 代入 得 X dX du uu u 2 21 1 积分 得 22 21CXuu 由 X Y u 代回 得 通解为 2 2 11 21Cx x y x y 其中C为任意常数 第四节
8、一阶线性方程 一 一阶线性微分方程 定义 1 称可转化为形式 xQyxP dx dy 1 的方程为一阶线性方程 若0 xQ 则 1 式称为一阶线性 齐次方程 0 xQ 1 式称为一阶线性非齐次方程 下面我们来看看方程 1 的解的情形 先看齐次方程 0 yxP dx dy 2 显然是可分离变量方程 得dxxP y dy 两边积分 得 dxxP cey 3 为一阶线性齐次方程 2 的通解 下面我们求 1 的解 由方程 1 和 2 形式的相似性 那它们的解也具有某种相似性 我们用一种常数变易法来求 1 的解 假设 dxxP excy 为非齐次方程 1 的解 代入方程 得 dxxP exc dxxP
9、excxP xQexcxP dxxP 则 xQexc dxxP xQexc dxxP 积分 得 CdxexQxc dxxP 则 dxxPdxxP eCdxexQy 4 即为方程 1 的通解 例 1 求xytgxysec 的通解 解 由于xytgxysec 为一阶线性非齐次方程 且xxQtgxxPsec 代入 4 得其通解为 tgxdxtgxdx eCdxxeysec xCxsec 例 2 求 2 2yx y dx dy 的通解 解 若将y看成函数 x作为变量 此方程不是一阶线性方程 故将x看成函数 y作为变量 则原方程化为 y yx dy dx 2 2 进一步化简 yx ydy dx 2 为一
10、阶线性方程 yyQ y yP 2 代入 4 得方程的通解为 ln yCyx 二 贝努力方程 可化为一阶线性方程的方程 定义 2 称形如 n yxQyxP dx dy 的方程为一阶贝努力方程 下面我们看看贝努力方程的解的情形 将方程变形为 1 xQyxP dx dy y nn 令 n yz 1 则方程化为 1 1 xQnzxPn dx dz 为一阶线性方程 故可用上述方法求解 最后将 n yz 1 代回 即得通解 例 3 求0ln 2 xyyyx的通解 解 将方程变形 得 x x y x yy ln1 12 为贝努力方程 令 1 yz 代入 x x z xdx dzln1 利用 4 得 Cxxz
11、 1ln 又 1 yz 所以 1ln 1 cxx y为原方程的通解 第五节 全微分方程 定义 1 如果存在可微函数 yxu 使dyyxQdxyxPdu 则称0 dyyxQdxyxP 微全微分方程 命题 1 0 QdyPdx为全微分方程 y P x Q 2 0 QdyPdx的通解为 Cyxu 其中 y y x x dyyxQdxyxPyxu 00 0 例 1 求0 1 2 2 dy y x xydx的通解 解 令 y x QxyP 1 2 2 由于 y P x Q 故方程为全微分方程 所以 y y x x dyyxQdxyxPyxu 00 0 yx dy y x xdx 1 2 0 1 2 Cy
12、 yx ln 2 2 二 可化为全微分方程的方程 积分因子 定义 2 设0 QdyPdx不是全微分方程 如果存在可微函数 yxu使0 uQdyuPdx为全微分方程 则 称 yxu为原方程的积分因子 注 积分因子不唯一 而且一般也没有什么固定的方法求解积分因子 故只有多积累才能有效的解题 例 2 1 0 ydxxdy 2 0 222 dxxyxydyxdx 解 1 0 1 2 x ydxxdy 0 1 2 dx x y dy x 0 x y d c x y 2 0 1 22 222 yx dxxyxydyxdx 0 2 22 dxx yx ydyxdx 0 3 1 ln 2 1 322 xdyx
13、d cxyx 322 3 1 ln 2 1 第六节 可降阶的高阶微分方程 定义 1 称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方程 一 xfy n 连续积分 n 次即得其通解 例 1 x ey 连续积分两次 得 21 cxcey x 二 yxfy 跟标准形式相比 缺少y 令yp 则yp 则 pxfp 设其通解为 cxp 则 cxy 两边积分即得通解 例 2 求 2 xyy 的通解 解 令令yp 则yp 则 2 xpp 一阶线性方程 利用 4 得通解 x ecxxp 1 2 22 又yp 所以通解 21 23 2 3 1 cecxxxy x 三 yyfy 缺少x 令yp 则 dy dp p dx dy
14、 dy yd y 代入 得 pyf dy dp p 设其通解为 cyp 则 cyy 即dx cy dy 积分即得 例 3 3 2yy 1 0 0 yy 求特解 解 令yp 则 dy dp py 从而 3 2y dy dp p dyypdp 3 2 积分 得 22 1 2 1 1 42 c yp 由1 0 0 yy 得0 1 c 所以 2 yp 由1 0 y 知 dx dy yp 2 所以 2 1 cx y 由1 0 y知1 2 c x y 1 1 例5 求 2 1yy 的通解 解 此题既缺少x 又缺少y 从理论上 按以上两种方法都能算出结果 但可能难度有差别 此题课堂上当场做 检查学生的能力
15、第七节 二阶线性微分方程解的结构 一 函数的线性相关与线性无关 定义 1 设 21 xyxyxy n 是定义在区间 I 上的函数 如果存在不全为零的数 n kkk 21 使得 0 2211 nny kykyk 则 称 21 xyxyxy n 在 区 间I上 线 性 相 关 否 则 称 21 xyxyxy n 在区间 I 上线性无关 命题 1 设 21 xyxy是定义在 I 上的函数 则 21 xyxy线性无关 2 1 xy xy 不恒为常数 注 1 若 21 xyxy线性无关 则 2211 xykxyk 无法合并成 xky 但当 21 xyxy线性相关可以合 并 二 二阶线性微分方程及其解的结
16、构 定义 2 称形如 xfyxQyxPy 的方程为二阶线性非齐次方程 若0 xf 则方程为齐次的 若0 xf 则称方程为非齐次的 定理 1 设 21 xyxy是0 yxQyxPy的两个线性无关的解 则 2211 xycxyc 为方程的 通解 定理 2 设 y是 xfyxQyxPy 的特解 2211 xycxyc 是对应的齐次方程的通解 则 y y 2211 xycxyc 是 xfyxQyxPy 的通解 定理 3 设 1 y 2 y分别是 1 xfyxQyxPy 与 2 xfyxQyxPy 则 1 y 2 y 是 21 xfxfyxQyxPy 的解 例 1 设 xxxxxxx eexeyexeyexey 2 32 2 1 是某二阶线性非齐次方程的解 求该方程的通 解 解 211 yyY 312 yyY 又 xx xx ee ee Y Y 2 2 2 1 不恒为常数 所以 21 Y Y线性无关 故通解为 xxxxx exeeececy 22 21 第八节 二阶常系数齐次微分方程的解法 一 二阶常系数线性齐次方程的解 二 定义 称形如0 qyypy 1 其中qp 为常数的方程为二阶常系数线性
