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1、第四章 随机变量的数字特征 1 在下列句子中随机地取一个单词 以 X 表示取到的单词所包含的字 母个数 写出 X 的分布律并求 E X THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT 在上述句子的 个字母中随机地取一个字母 以 Y 表示取到的字母所 在单词所包含的字母数 写出 Y 的分布律并求 E Y 一人掷骰子 如得 点则掷第 次 此时得分为 第二次得到的点数 否则得分为他第一次掷得的点数 且不能再掷 求得分 X 的分布律及 E X 解 随机试验属等可能概型 所给句子共 个单词 其中含 个字母 含 个字母 含 个字母的各有一个单词 另有 个单词含 个字母 所以 X
2、 的分布 律为 X pk 数学期望 E X 随机试验属等可能概型 Y 的可能值也是 样本空间 S 由各个 字母组成 共有 个样本点 其中样本点属于Y 的有 个 属于 Y 的有 个 属于 Y 的有 个 属于Y 的有 个 所以 Y 的分布律为 Y pk 数学期望 E Y 分布律为 X pk E X 2 某产品的次品率为 畅 检验员每天检验 次 每次随机地取 件产品进 行检验 如发现其中的次品数多于 就去调整设备 以 X 表示一天中调整设备 的次数 试求 E X 设诸产品是否为次品是相互独立的 解先求检验一次 决定需要调整设备的概率 设抽检出次品件数为 Y 则 Y b 畅 记需调整设备一次的概率为
3、p 则 p P Y P Y P Y 畅 畅 畅 畅 又因各次检验结果相互独立 故 X b 畅 X 的分布律为 X pk p p p p p p p p 于是 E X p p p p p p p p 畅 畅 以后将会知道若 X b n p 则 E X np 3 有 只球 个盒子 盒子的编号为 将球逐个独立地 随机地放 入 个盒子中去 以 X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码 例如 X 表 示第 号 第 号盒子是空的 第 个盒子至少有一只球 试求 E X 解法 i 由于每只球都有 种放法 由乘法原理共有 种放法 其中 只球都放在 号盒中的放置法仅有 种 从而 P X 又 X 表示事件 号盒子都
4、是空的 而 号盒子不空 因 号盒子 都空 球只能放置在 号两个盒子中 共有 种放置法 但其中有一种是 只 球都放在 号盒子中 即 号盒子是空的 这不符合 X 的要求需除去 故有 P X 88概率论与数理统计习题全解指南 同理可得P X P X 因此 E X 钞 k kP X k 注 P X 也可由 P X P X P X 求得 解法 ii 以 Ai i 记事件 第 i个盒子是空盒 X 表示事件 第一个盒子中至少有一只球 因此 X A 故 P X P A P A 因第一个盒子为空盒 只球的每一只都只有 个盒子可以放 故 P A X 表示事件 第一个盒子为空盒且第二个盒子中至少有一只球 因 此 X
5、 A A 故 P X P A A P A A P A P A A P A 因在第一个盒子是空盒的条件下 第二个盒子也是空盒 则 只球都只有 个 盒子可以放 故 P A A 类似地 P X P A A A P A A A P A A P A P X 因此 E X 钞 k kP X k 解法 iii 将球编号 以 X X X 分别记 号 号 号球所落入的盒子 的号码数 则 X X X 都是随机变量 记 X min X X X 按题意 本题 需要求的是 98第四章 随机变量的数字特征 E X E min X X X 因 X X X 具有相同的分布律 Xj pk 因而 X X X 具有相同的分布函数
6、F z z z z z z 于是 X min X X X 的分布函数为 Fmin z F z z z z z z X min X X X 的分布律为 X pk 得E X 4 设随机变量 X 的分布律为 P X j j j j j 说明 X 的数学期望不存在 一盒中装有一只黑球 一只白球 作摸球游戏 规则如下 一次从盒中随 机摸一只球 若摸到白球 则游戏结束 若摸到黑球放回再放入一只黑球 然后再 09概率论与数理统计习题全解指南 从盒中随机地摸一只球 试说明要游戏结束的摸球次数 X 的数学期望不存在 解 因级数 钞 j j j j PX j j j 钞 j j j j j 钞 j j j 不绝对
7、收敛 按定义 X 的数学期望不存在 以 Ak记事件 第 k 次摸球摸到黑球 以 Ak记事件 第 k 次摸球摸到白 球 以 Ck表示事件 游戏在第 k 次摸球时结束 k 按题意 Ck A A Ak A k P Ck P A k A A Ak P Ak A A Ak P A A P A P X P A P X P A A P A A P A P X P A A A P A A A P A A P A X k 时 盒中共 k 只球 其中只有一只是白球 故 P X k P A Ak A k P A k A A Ak P Ak A A Ak P A A P A k k k k k k k 若 E X 存
8、在 则它应等于 钞 k kP X k 但 钞 k kP X k 钞 k k k k 钞 k k 故 X 的数学期望不存在 5 设在某一规定的时间间隔里 某电气设备用于最大负荷的时间 X 以 min 计 是一个随机变量 其概率密度为 f x x x x x 其他 19第四章 随机变量的数字特征 求 E X 解按连续型随机变量的数学期望的定义 有 E X xf x dx xf x dx xf x dx xf x dx xf x dx x dx x x dx x x dx x d x x x x min 6 设随机变量 X 的分布律为 X pk 畅 畅 畅 求 E X E X E X 设 X 求 E
9、 X 解 X 的分布律为 X pk 畅 畅 畅 E X 畅 畅 畅 畅 由关于随机变量函数的数学期望的定理 知 E X 畅 畅 畅 畅 E X 畅 畅 畅 畅 如利用数学期望的性质 则有 E X E X 畅 畅 因 X 故 P X k ke k 29概率论与数理统计习题全解指南 E X 钞 k k P X k 钞 k k ke k 钞 k ke k e 钞 k k k e 钞 j j j e 钞 j j j e e e 7 设随机变量 X 的概率密度为 f x e x x x 求 i Y X ii Y e X 的数学期望 设随机变量 X X Xn相互独立 且都服从 上的均匀分布 i 求U ma
10、x X X Xn 的数学期望 ii 求 V min X X Xn 的 数学期望 解 由关于随机变量函数的数学期望的定理 知 i E Y E X xf x d x x dx xe x d x xe x e x dx e x ii E Y E e X e x e x dx e xdx e x 因 Xi U i n Xi的分布函数为 F x x x x x 因 X X Xn相互独立 故 U max X X Xn 的分布函数为 FU u u u n u u U 的概率密度为 fU u nu n u 其他 E U uf U u du u nu n du n u ndu n n 39第四章 随机变量的数字
11、特征 V min X X Xn 的分布函数为 FV v v v n v v V 的概率密度为 fV v n v n v 其他 E V vf V v dv vn v n dv v v n v ndv v n n n 8 设随机变量 X Y 的分布律为 X Y 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 求 E X E Y 设 Z Y X 求 E Z 设Z X Y 求 E Z 解由关于随机变量函数的数学期望 E g X Y 的定理 得 E X 钞 i 钞 j xip ij 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 E Y 钞 j 钞 i yjp ij 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 E Z E Y X P X Y P X
12、Y P X Y 49概率论与数理统计习题全解指南 P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y 畅 畅 畅 畅 畅 E Z E X Y 钞 j 钞 i xi yj p ij 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 注 i 可先求出边缘分布律 然后求出 E X E Y ii 在 中可先算出 Z X Y 的分布律 Z pk 畅 畅 畅 畅 然后求得 E Z 钞 k zkpk 题 畅 图 9 设随机变量 X Y 的概率密度为 f x y y y x 其他 求 E X E Y E XY E X Y 设随机变量 X Y 的联合密度为 f x y y e y x y x y 其他 求 E X
13、 E Y E XY 解 各数学期望均可按照 E g X Y g x y f x y dxdy 计 算 因 f x y 仅在有限区域 G x y y x 内不为零 故各数学期望 均化为 G 如题 畅 图 上相应积分的计算 E X xf x y d xdy G x y d xdy dx x xy dy 59第四章 随机变量的数字特征 E Y G y y d xdy dx x y dy E XY G xy y dxdy dx x xy dy E X Y G x y y dxdy dx x x y y dy E X xf x y d xdy x y e y x y dxdy e y xe x yd x
14、 y dy e y xe x y e x ydx dy e y ydy E Y e y x y dxdy e y e x ydxdy e y ye x y dy e y ydy E XY xy f x y dxdy xe y x y d xdy e y xe x ydx dy 而 xe x yd x y xe x yd x y y 故 E XY y e y dy 10 设随机变量 X N Y N 且 X Y 相互独立 求 E X X Y 一飞机进行空投物资作业 设目标点为原点 O 物资着陆点为 X Y X Y 相互独立 且设 X N Y N 求原点到点 X Y 间 距离的数学期望 解 由对称性
15、知 E X X Y E Y X Y 69概率论与数理统计习题全解指南 函数 x e xd x 它具有性质 n n n n n 为正整数 而E X X Y E Y X Y E 故E X X Y 记原点到点 X Y 的距离为 R R X Y 由题设 X Y 的密度 函数为 f x y e x e y e x y x y E R E X Y x y e x y d xdy 采用极坐标 E R d r e r rdr r e r dr r e r dr rd e r re r e r dr e r dr e r dr 11 一工厂生产的某种设备的寿命 X 以年计 服从指数分布 概率密度为 f x e
16、x x x 工厂规定 出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换 若工厂售出一台设备 赢利 元 调换一台设备厂方需花费 元 试求厂方出售一台设备净赢利的 数学期望 解一台设备在一年内调换的概率为 p P X e x dx e x e 以 Y 记工厂售出一台设备的净赢利值 则 Y 具有分布律 Y pke e 79第四章 随机变量的数字特征 故有 E Y e e e 畅 元 12 某车间生产的圆盘直径在区间 a b 服从均匀分布 试求圆盘面积的数 学期望 解设圆盘直径为 X 按题设 X 具有概率密度 fX x b a a x b 其他 故圆盘面积 A X 的数学期望为 E X b a x b adx b a x b a b ab a 13 设电压 以 V 计 X N 将电压施加于一检波器 其输出电压为 Y X 求输出电压 Y 的均值 解由 X N 即有 E X D X E Y E X E X D X E X V 另法 X 的概率密度为 fX x e x x E Y E X E X x e x dx xe x e x dx e x dx fX x dx V 14 设随机变量 X X 的概率密度
