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1、 147 第 11 章 动量定理 第 11 章 动量定理 11 1 汽车以 36 km h 的速度在平直道上行驶 设车轮在制动后立即停止转动 问车轮 对地面的动滑动摩擦因数f应为多大方能使汽车在制动后 6 s 停止 解解 将汽车作为质点进行研究 制动后汽车受重力 W 地面约束反力 FN和与运动方向 相反的摩擦阻力 F 作用 以汽车运动方向为轴 Ox 如图 根据动量定理在轴 x 的投影式 有 xOxx Imvmv 其中 m s 10km h 36 0 Oxx vv fWttfFFtIx N 当 t 6 s 时 有 s6m s100 fW g W f 0 17 11 2 跳伞者质量为 60 kg
2、自停留在高空中的直升飞机中跳出 落下 100 m 后 将降 落伞打开 设开伞前的空气阻力略去不计 伞重不计 开伞后所受的阻力不变 经 5 s 后跳 伞者的速度减为 4 3 m s 求阻力的大小 解解 取跳伞者为研究对象 开伞前 他受重力 mg 作用 竖直下落 令跳 伞者自由下落 100 m 后速度为 v1 则 m s 3 44m s 1008 922 1 ghv 开伞后 他受重力 mg 和阻力 F 作用 如图 11 2 所示 取铅直轴 y 向下为正 根据动量定理有 tFmgImvmv y 12 由题知 当 t 5 s 时 有 v2 4 3 m s 即 5 8 960 3 443 4 60 F
3、F 1 068 N 1 068 kN 11 3 如图 11 3a 所示浮动起重机举起质量 m1 2 000 kg 的重物 设起重机质量 m2 20 000 kg 杆长 OA 8 m 开始时杆与铅直位置成 60 角 水的阻力和杆重均略去不计 当起 重杆 OA 转到与铅直位置成 30 角时 求起重机的位移 g 1 m x ax y y F g 2 m O A 30 O a y x g 1 m g 2 m O O A 60 F a b c 图 11 3 解解 取浮动起重机与重物为研究对象 由于不受水平方向外力作用且系统原来静止 故 其质心的水平坐标不变 取坐标系xy O 其中轴y O 通过船体中心的
4、初始位置 设起重机 位移为 x 船半宽为 a 由质心坐标公式得 1 起重杆 OA 与铅直线成 60 角时 如图 11 3c 所示 60sin8 60sin 21 1 21 1 1 a mm m mm aAOm xC 2 起重杆 OA 与铅直线成 30 角时 如图 11 3b 所示 N F v W xF m 图 11 1 gm v y F 图 11 2 148 30sin8 30sin 21 1 21 21 2 a mm m x mm xmAOaxm xC 因系统质心水平坐标守恒 21CC xx 所以 m266 0m 202 2 1 2 3 28 30sin60 sin 8 21 1 mm m
5、x 故起重机位置向左移动了 0 266 m 11 4 如图 11 4a 所示水平面上放 1 均质三棱柱 A 在其斜面上又放 1 均质三棱柱 B 两 三棱柱的横截面均为直角三角形 三棱柱 A 的质量为 mA三棱柱 B 质量 mB的 3 倍 其尺寸 如图 11 4a 所示 设各处摩擦不计 初始时系统静止 求当三棱柱 B 沿三棱柱 A 滑下接触到 水平面时 三棱柱 A 移动的距离 x b O d c B A g A m g B m a x a b d c l g B m a b c 图 11 4 解解 取 A B 两三棱柱组成 1 质点系为研究对象 把坐标轴 Ox 固连于水平面上 O 在 棱柱 A
6、左下角的初始位置 由于在水平方向无外力作用 且开始时系统处于静止 故系统 质心位置在水平方向守恒 设 A B 两棱柱质心初始位置 如图 11 4b 所示 在 x 方向坐标 分别为 bdx a cx 3 2 3 2 1 当棱柱 B 接触水平面时 如图 11 4c 所示 两棱柱质心坐标分别为 3 1 a lclx 3 2 b aldbalx 系统初始时质心坐标 3 2 3 2 3 BA BA BA BA C mm bmam mm bm a m x 棱柱 B 接触水平面时系统质心坐标 3 3 3 3 3 BA BBABA BA BA C mm bmmmalmm mm b alm a lm x 因 C
7、C xx 并注意到 BA mm3 149 得 4 ba l 11 5 平台车质量kg 500 1 m 可沿水平轨道运动 平台车上站有 1 人 质量 kg 70 2 m 车与人以共同速度 0 v向右方运动 如人相对平台车以速度m s 2 r v向左方 跳出 不计平台车水平方向的阻力及摩擦 问平台车增加的速度为多少 解解 以车与人为质点系进行研究 因为质点系在水平 方向不受外力作用 见图 11 5 故系统在水平方向动量守 恒 以水平方向向右为 x 轴正向 人跳出时平台车速度为 v 则水平方向动量守恒式为 r21021 vvmvmvmm 代入数据解得 246 0 0 vv m s 246 0 0 v
8、vv 11 6 如图 11 6a 所示 均质杆 AB 长 l 直立在光滑的水平面上 求它从铅直位置无 初速地倒下时 端点 A 相对图 11 6b 所示坐标系的轨迹 A B B A x y N F C W C a b 图 11 6 解解 取均质杆 AB 为研究对象 建立图 11 6b 所示坐标系Oxy 原点 O 与杆 AB 运动初 始时的点 B 重合 因为杆只受铅垂方向的重力 W 和地面约束反力 N F作用 且系统开始时 静止 所以杆 AB 的质心沿轴 x 坐标恒为零 即 0 C x 设任意时刻杆 AB 与水平 x 轴夹角为 则点 A 坐标 sin cos 2 ly l x 从点 A 坐标中消去
9、角度 得点 A 轨迹方程 222 4lyx 椭圆 11 7 如图 11 7a 所示椭圆规尺 AB 的质量为 2m1 曲柄 OC 的质量为 m1 而滑块 A 和 B 的质量均为 m2 已知 OC AC CB l 曲柄和尺的质心分别在其中点上 曲柄绕轴 O 转 动的角速度 为常数 当开始时 曲柄水平向右 求此时质点系的动量 解解 将质点系统分为 2 部分 第 1 部分为尺 AB 和滑块 A B 由于对称其质心在点 C 第 2 部分为曲柄 OC 其质心在 OC 的中点 C1上 根据质点系的动量计算式 有 1121 22 CC mmmvvp 1 因为 vC和 vC1均垂直于曲柄 OC 故动量 p 也垂
10、直于 OC 将 lvv CC 1 2 代入式 1 得 图 11 5 150 45 2 21 mm l p 方向如图 11 7b 所示 O t B 1C v C v p 1 C A C a b 图 11 7 11 8 质量为 m1的平台 AB 放于水平面上 平台与水平面间的动滑动摩擦因数为 f 质量为 m2的小车 D 由绞车拖动 相对于平台的运动规律为 2 2 1 bts 其中 b 为已知常数 不计绞车的质量 求平台的加速度 BA S D g 2 m g 1 m r v N F v y x a b 图 11 8 解解 受力和运动分析如图 11 8b 所示 rrea r r aaaaaD AB b
11、sa btsv 1 ABD aaa ra 2 Famaam ABAB 1r2 3 gmmfF 21 4 式 1 4 代入式 3 得 fgb mm m mm bmmmfg a mmfgammbm gmmfamabm AB AB ABAB 21 2 21 221 21212 2112 11 9 求题 11 4 中三棱柱 A 运动的加速度及地面对三棱柱的约束力 N F r a B g B m g B m3 e a A a B g B m r a BN F e a a b c 图 11 9 解解 1 水平方向外力为零 设 A 的加速度为 aA 由图 11 9b 所示 re aaaB 151 0 cos
12、 3 3 re e aamam mm BAB BAA aa 即 cos4 rBAB amam cos4 rA aa 1 2 块 B 受力和加速度分析如图 c ar方向 cos sin erBB aamgm 式 1 代入上式 即 cos cos 4 sin A a a g A 2 A cos4cossinaAag 2 22 sin3 cossin cos4 cossin gg aA 3 3 图 11 9b 所示 N F方向向上 sin3 rBNBB amFgmgm 4 式 3 代入式 1 得 2 A r cos4 sin4 cos 4 ga a 上式代入式 4 得 2 B 2 B 2 2 BBN
13、 sin3 12 sin3 3 4 cos4 sin4 4 gm gm g mgmF 11 10 如图 11 10a 所示 质量为 m 的滑块 A 可以在水平光滑槽中运动 具有刚性系 数为 k 的弹簧 1 端与滑块相连接 另 1 端固定 杆 AB 长度为 l 质量忽略不计 A 端与滑 块 A 铰接 B 端装有质量 m1 在铅直平面内可绕点 A 旋转 设在力偶 M 作用下转动角速度 为常数 求滑块 A 的运动微分方程 x B M A gm N F g 1 m O kx a b 图 11 10 解解 取滑块 A 和小球 B 组成的系统为研究对象 建立向右坐标 x 原点取在运动开始时 滑块 A 的质
14、心上 则质心之 x 坐标为 t tl mm m xx mm tlxmmx x C C sin sin 2 1 1 1 1 系统质心运动定理 kxxmm C 1 x mm k tl mm m x 1 2 1 1 sin 即 tl mm m x mm k x sin 2 1 1 1 此即滑块 A 的运动微分方程 152 讨论 设0 0 0 xxt 则由上述方程得滑块 A 的稳态运动规律 特解 t mmk lm xp sin 2 1 2 1 原题力矩 M 只起保证 常数的作用 实际上 M 是随 变化的 11 11 在图 11 11a 所示曲柄滑杆机构中曲柄以等角速度 绕轴 O 转动 开始时 曲柄 O
15、A 水平向右 已知 曲柄的质量为 m1 滑块 A 的质量为 m2 滑杆的质量为 m3 曲柄的质 心在 OA 的中点 lOA 滑杆的质心在点 C 而 2 l BC 求 1 机构质量中心的运动 方程 2 作用点 O 的最大水平力 x y g 1 m g 2 m g 3 m N F A D yO F xO F O a b 图 11 11 解解 1 整个系统为研究对象 建立图示直角坐标Oxy 求得系统的质心坐标 tl mmm mm mmm tlmt l m y tl mmm mmm mmm lm mmm l tlmtlmt l m x C C sin 2 2 sinsin 2 cos 2 22 2 2
16、 cos coscos 2 321 21 321 21 321 321 321 3 321 321 2 整个系统为研究对象 其受力分析如图 11 11b 所示 在 x 方向系统只受点 O 约束 力 Ox F作用 根据质心运动定理在轴 x 上的投影式得 COx ammmF 321 其中 tl mmm mmm xa CC cos 2 22 2 321 321 则 tl mmm FOx cos 2 22 2 321 故作用在 O 处最大水平约束力为 2321 max 2 22 l mmm FOx 11 12 如图 11 12a 所示凸轮机构中 凸轮以等角速度 绕定轴 O 转动 质量为 1 m的 滑杆 I 借右端弹簧的推压而顶在凸轮上 当凸轮转动时 滑杆作往复运动 设凸轮为均质圆 盘 质量为 m2 半径为 r 偏心距为 e 求在任一瞬时机座螺钉的总动约束力 解解 取凸轮机构为研究对象 设基座重 m3g 重心在点 C 建立图示定坐标 Oxy 设运 动初始时 凸轮轮心在轴 x 上点 O 的右边 如图 11 12c 所示 根据质心坐标公式 得 153 I x 1 C 2 C a r t y O 3
