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1、2017-18学年高二年级第二学期期末考试数学试卷（理数）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分考试时间120分钟，满分150分第I卷（选择题，共60分）注意事项： 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则集合的子集个数为（ ）.3 .4 . 7 .82若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）. .
2、 . .3命题“ ， ”的否定为(). . . ， .，4已知函数 在单调递减，且为奇函数，若 ，则满足的的取值范围是( ）. . . .5已知函数，若，则(). . . .6已知函数 ，的值域是，则实数的取值范围是(). . . .7已知函数 是奇函数，则使成立的取值范围是 ( ). . . .8若 ，则 ( ). . . .9已知函数为偶函数，记 ， ，则的大小关系为 ( ). . . .10已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）. . . .11已知函数若关于的方程有7个不等实根，则实数的取值范围是( ). . . .12. 已知函数， 与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的
3、取值范围是(). . . .第II卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知函数，则 .14函数的定义域为_15若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 _16设是奇函数的导函数，当时，则使成立的的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17(本小题满分12分)在中,角所对的边分别为且.（1）求角的值；（2）若为锐角三角形,且,求的取值范围.18(本小题满分12分)从
4、某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：）落在各个小组的频数分布如下表：数据分组频数（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；（2）求这件产品尺寸的样本平均数；（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸服从正态分布；其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得，利用正态分布，求19.(本小题满分12分）如图，三棱柱中，（1）证明：；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值20. (本小题满分12分) 已知三点，曲线上任意一点满足（1） 求的方程；（2） 动点在曲线上，是曲线在处的切线问：是否存在定点使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比为常数？若存在，求的值；
5、若不存在，说明理由21.(本小题满分12分）已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）求证：函数和在公共定义域内，恒成立；（3）若存在两个不同的实数，满足，求证：（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.22.(本小题满分10分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上（1）求的值及直线的直角坐标方程；（2）圆的参数方程为（为参数），试判断直线与圆的位置关系23. (本小题满分10分)已知函数，.（1）若不等式有解，求实数的取值范围；（2）当时，函数的最小值为，求实数的值
6、（2）当时，函数的最小值为3，求实数的值.高二年级数学答案及评分标准（理数）1-1213、 14、 15、 16、17. 解:(),即,为三角形内角,; -6分 ()由()得,即,又为锐角三角形,解得:,由正弦定理得:,即,则. -12分18. 解：（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在内的概率.。4分（2）样本平均数.。8分（3）依题意.而，则.即为所求. -8分19. （）取的中点，连接。因为，所以。由于，故为等边三角形，所以。因为，所以平面，又平面，故-4分（）由（）知。又平面平面，交线为，所以平面，故两两互相垂直。以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
7、，由题设知，则，设是平面的法向量，则，即。可取，故，所以与平面所成角的正弦值为-12分20. （1）依题意可得，由已知得，化简得曲线C的方程： -4分（2）假设存在点满足条件，则直线的方程是，直线的方程是，曲线C在点Q处的切线l的方程为:,它与y轴的交点为，由于，因此当时，存在，使得，即l与直线平行，故当时与题意不符当时，所以l 与直线一定相交，分别联立方程组，解得的横坐标分别是则，又，有，又于是对任意，要使与的面积之比是常数，只需t满足，解得，此时与的面积之比为2，故存在，使与的面积之比是常数2。 -12分21. 解:(1)函数的定义域为,故当时,当时,故函数的单调增区间为,单调减区间为;-
8、4分(2)证明:函数和的公共定义域为,设,则在上单调递增,故;设,当时有极大值点,;故;故函数和在公共定义域内,. -8分(3)证明:不妨设,由题意得,;所以;而要证,只需证明;即证明;即证明;即证明,;令,则;即证明;设;则,故函数在区间上是增函数,所以,即;所以不等式成立.-12分22. （1）由点在直线上，可得，所以直线的方程可化为，从而直线的直角坐标方程为-5分（2）根据圆的参数方程可以得到对应的直角坐标方程为，所以圆心为，半径，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交-10分23. （）由题，即为而由绝对值的几何意义知，由不等式有解，即实数的取值范围-5分（）函数的零点为和，当时知 -7分如图可知在单调递减，在单调递增，得（合题意），即-10分- 10 -
