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1、第五章 大数定律及中心极限定理 1 据以往经验 某种电器元件的寿命服从均值为 h 的指数分布 现随 机地取 只 设它们的寿命是相互独立的 求这 只元件的寿命的总和大于 h 的概率 解以 Xi i 记第 i只元件的寿命 以 T 记 只 元件寿命的 总和 T 钞 i Xi 按题设 E Xi D Xi 由中心极限定理知 T 近似地服从 N 分布 故所求概率为 P T P T P T 畅 畅 2 一保险公司有 个汽车投保人 每个投保人索赔金额的数学期 望为 美元 标准差为 美元 求索赔总金额超过 美元的概率 一公司有 张签约保险单 各张保险单的索赔金额为 Xi i 以千美元计 服从韦布尔 Weibul
2、l 分布 均值 E Xi 方差 D Xi 求 张保险单索赔的合计金额大于 的概率 设各保险单索赔金额是相互独 立的 解 记第 i 人的索赔金额为 Xi 则由已知条件 E Xi D Xi 要计算 p P 钞 i Xi 因各投保人索赔金额是独立的 n 很大 故由中心极限定理 近似地有 X 钞 i Xi N 故 p P X 畅 畅 E Xi D Xi n 故 p P 钞 i Xi 畅 畅 这与情况 相反 的概率为 畅 表明可能性很大 而 表明可能性太 小了 大约 次索赔中出现 的只有一次 3 计算器在进行加法时 将每个加数舍入最靠近它的整数 设所有舍入误 差相互独立且在 畅 畅 上服从均匀分布 将
3、个数相加 问误差总和的绝对值超过 的概率是多少 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于 的概率不小于 畅 解设第 k 个加数的舍入误差为 Xk k 已知 Xk在 畅 畅 上服从均匀分布 故知 E Xk D Xk 记 X 钞 k Xk 由中心极限定理 当 n 充分大时有近似公式 P 钞 k Xk x x 于是 P X P X P X P X 畅 畅 畅 即误差总和的绝对值超过 的概率近似地为 畅 设最多有 n个数相加 使误差总和 Y 钞 n k Xk符合要求 即要确定 n 使 P Y 畅 由中心极限定理 当 n 充分大时有近似公式 P Y n x x 811概率论与数理统计习题全解指南 于是
4、 P Y P Y P n Y n n n n n 因而 n 需满足 n 亦即 n 需满足 n 畅 畅 即 n应满足 n 畅 由此得 n 畅 因 n为正整数 因而所求的 n为 故最多只能有 个数加在一起 才能使得 误差总和的绝对值小于 的概率不小于 畅 4 设各零件的重量都是随机变量 它们相互独立 且服从相同的分布 其数 学期望为 畅 kg 均方差为 畅 kg 问 个零件的总重量超过 kg 的概 率是多少 解以 Xi i 记第 i个零件的重量 以 W 记 个零件 的总重量 W 钞 i Xi 按题设 E Xi D Xi 畅 由中心极限定理 可 知 W 畅 畅 近似地服从 N 分布 故所求概率为 P
5、 W P W P W 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 5 有一批建筑房屋用的木柱 其中 的长度不小于 m 现从这批木柱 中随机地取 根 求其中至少有 根短于 m 的概率 解按题意 可认为 根木柱是从为数甚多的木柱中抽取得到的 因而可 当作放回抽样来看待 将检查一根木柱看它是否短于 m 看成是一次试验 检查 根木柱相当于做 重伯努利试验 以 X记被抽取的 根木柱中长度短于 m 的根数 则 X b 畅 于是由教材第五章 定理三得 P X P X 911第五章 大数定律及中心极限定理 P 畅 畅 畅 X 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 本题也可以这样做 引入随机变量 Xk 若第 k 根木
6、柱短于 m 若第 k 根木柱不短于 m k 畅 于是 E Xk D Xk 畅 畅 以 X 表示 根木柱中短于 m 的根 数 则 X 钞 k Xk 由中心极限定理有 P X P X P 畅 畅 畅 钞 k Xk 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 6 一工人修理一台机器需两个阶段 第一阶段所需时间 小时 服从均值为 的指数分布 第二阶段服从均值为 畅 的指数分布 且与第一阶段独立 现有 台机器需要修理 求他在 小时内完成的概率 解设修理第 i i 台机器 第一阶段耗时 Xi 第二阶段为 Yi 则共耗时 Zi Xi Yi 今已知 E Xi 畅 E Yi 畅 故 E Zi 畅 D Zi D Xi D
7、 Yi 畅 畅 畅 畅 台机器需要修理的时间可认 为近似服从正态分布 即有 钞 i Zi N 畅 畅 N 畅 所求概率 p P 钞 i Zi 畅 畅 畅 畅 畅 即不大可能在 小时内完成全部工作 7 一食品店有三种蛋糕出售 由于售出哪一种蛋糕是随机的 因而售出一 只蛋糕的价格是一个随机变量 它取 元 畅 元 畅 元各个值的概率分别为 畅 畅 畅 畅 若售出 只蛋糕 021概率论与数理统计习题全解指南 求收入至少 元的概率 求售出价格为 畅 元的蛋糕多于 只的概率 解设第 i 只蛋糕的价格为 Xi i 则 Xi有分布律为 Xi 畅 畅 pk 畅 畅 畅 由此得 E Xi 畅 畅 畅 畅 畅 畅
8、E X i 畅 畅 畅 畅 畅 畅 故 D Xi E X i E Xi 畅 畅 以 X 表示这天的总收入 则 X 钞 i Xi 由中心极限定理得 P X P X P 畅 畅 钞 i Xi 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 以 Y 记 只蛋糕中售价为 畅 元的蛋糕的只数 于是 Y b 畅 E Y 畅 D Y 畅 畅 由棣莫弗 拉普拉斯定理得 P Y P Y P Y 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 8 一复杂的系统由 个相互独立起作用的部件所组成 在整个运行期间 每个部件损坏的概率为 畅 为了使整个系统起作用 至少必须有 个部件正 常工作 求整个系统起作用的概率 解将观察一个部件是否正常工作看成
9、是一次试验 由于各部件是否正常 工作是相互独立的 因而观察 个部件是否正常工作是做 重伯努利试验 以 X表示 个部件中正常工作的部件数 则 X b 畅 按题意需求概率 P X 由棣莫弗 拉普拉斯定理知 X 畅 畅 畅 近似地服从标准正态 分布 N 故所求概率为 121第五章 大数定律及中心极限定理 P X P X P 畅 畅 畅 X 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 9 已知在某十字路口 一周事故发生数的数学期望为 畅 标准差为 畅 以 X 表示一年 以 周计 此十字路口事故发生数的算术平均 试用中 心极限定理求 X 的近似分布 并求 P X 求一年事故发生数小于 的概率 解 E X E X 畅 D
10、 X D X 畅 由中心极限定理 可认为 X N 畅 畅 P X 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 一年 周 设各周事故发生数为 X X X 则需计算 p P 钞 i Xi 即 P X 用中心极限定理可知所求概率为 p P X P X 畅 畅 畅 畅 畅 10 某 种小汽车氧化氮的排放量的数学期望为 g km 标准差为 畅 g km 某 汽车公司有这种小汽车 辆 以 X 表示这些车辆氧化氮排放量 的算术平均 问当 L 为何值时 X L 的概率不超过 畅 解 设以 Xi i 表示第 i 辆小汽车氧化氮的排放量 则 X 钞 i Xi 由已知条件 E Xi 畅 D Xi 畅 得 E X 畅 D X 畅
11、 各辆汽车氧化氮的排放量相互独立 故可认为近似地有 221概率论与数理统计习题全解指南 X N 畅 畅 需要计算的是满足 P X L 畅 的最小值 L 由中心极限定理 P X L P X 畅 畅 L 畅 畅 畅 畅 L 应为满足 L 畅 畅 畅 的最小值 即 L 畅 畅 畅 畅 即 L 畅 畅 畅 故L 畅 畅 畅 畅 应取 L 畅 g km畅 11 随机地选取两组学生 每组 人 分别在两个实验室里测量某种化合 物的 pH 各人测量的结果是随机变量 它们相互独立 服从同一分布 数学期望 为 方差为 畅 以 X Y 分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均 求 P 畅 X 畅 求 P 畅 X Y
12、 畅 解由题设 E X D X D Y 畅 由中心极限定理知 X 近似服从 N 畅 故 P 畅 X 畅 P 畅 畅 X 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 因 E X Y E X E Y D X Y D X D Y 畅 由中心极限定理 P 畅 X Y 畅 321第五章 大数定律及中心极限定理 P 畅 畅 X Y 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 12 一公寓有 户住户 一户住户拥有汽车辆数 X 的分布律为 X pk 畅 畅 畅 问需要多少车位 才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为 畅 畅 解 设需要车位数为 n 且设第 i i 户有车辆数为 Xi 则由 Xi的分布律知 E Xi
13、畅 畅 畅 畅 E X i 畅 畅 畅 畅 故D Xi E X i E Xi 畅 畅 畅 因共有 户 各户占有车位数相互独立 从而近似地有 钞 i Xi N 畅 畅 今要求车位数 n 满足 畅 P 钞 i Xi n 由正态近似知 上式中 n 应满足 畅 n 畅 畅 n 因 畅 畅 从而由 x 的单调性知 n 畅 故 n 畅 畅 由此知至少需 个车位畅 13 某种电子器件的寿命 小时 具有数学期望 未知 方差 为 了估计 随机地取 n只这种器件 在时刻 t 投入测试 测试是相互独立的 直 到失效 测得其寿命为 X X Xn 以 X n 钞 n i Xi作为 的估计 为使 P X 畅 问 n 至少
14、为多少 解由教材第五章 定理一可知 当 n 充分大时 421概率论与数理统计习题全解指南 钞 n i Xi n n n 钞 n i Xi n 近似地 N 即 X n 近似地 N 由题设 D Xi i n 即有 于是 X n X n 近似地服从 N 分布 即有 P X P X P n X n n n n n 现在要求 P X 畅 即要求 n 畅 亦即要求 n 畅 畅 故需要 n 畅 即 n 畅 畅 畅 因 n为正整数 故 n至少为 14 某药厂断言 该厂生产的某种药品对于医治一种疑难血液病的治愈率 为 畅 医院任意抽查 个服用此药品的病人 若其中多于 人治愈 就接受 此断言 否则就拒绝此断言 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 畅 畅 问接受这一断言的概率 是多少 若实际上此药品对这种疾病的治愈率为 畅 问接受这一断言的概率是 多少 解由药厂断言来看 人中治愈人数 X b 畅 在治愈率与实际情况相符合条件下 接受药厂断言的概率即为 P X 521第五章 大数定律及中心极限定理 由中心极限定理知近似地有 X N 畅 畅 畅 N 于是 p P X 畅 畅 若实际上治疗率为 畅 即 X b 畅 则治愈人数 X 近似地服从 正态分布 即有 X N 畅 畅 畅 所求概率 p P X 畅 畅 畅 畅 畅 畅 621概率论与数理统计习题全解指南
