《第一届全国大学生数学竞赛 非数学类 决赛试题及解答20 09》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一届全国大学生数学竞赛 非数学类 决赛试题及解答20 09（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 6 页 专业 线 年级 封 所在院校 密 身份证号 姓名 首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 非数学类 2009 非数学类 2009 考试形式 闭卷 考试时间 120 分钟 满分 100 分 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 满 分 20 5 15 15 10 10 15 10 100 得 分 注意 1 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边 写在其它纸上一律无效 2 密封线左边请勿答题 密封线外不得有姓名及相关标记 一 填空题 每小题 5 分 共 20 分 1 计算 dxdy yx x y yx D 1 1ln 其中 区域D由直线
2、1 yx与两坐标轴所围三角形区域 2 设 f x是 连 续 函 数 满 足 2 2 0 3 2f xxf x dx 则 f x 3 曲面 2 2 2 2 x zy 平行平面 220 xyz 的切平面方程是 4 设函数 yy x 由方程 ln29 fyy xee 确定 其中 f具有二阶导数 且 1f 则 2 2 d y dx 答案 16 15 2 10 3 3 x 2250 xyz 2 23 1 1 fyfy xfy 得得 分分 评阅人评阅人 第 2 页 共 6 页 二 5分 求极限 2 0 lim exxnx x x eee n 其中 n是给定 的正整数 解 原式 2 0 limexp ln
3、xxnx x eeee xn 2 0 ln ln exp lim xxnx x eeeen x 2分 其中大括号内的极限是 0 0 型未定式 由 L Hospital 法则 有 2 0 ln ln lim xxnx x eeeen x 2 0 2 lim xxnx xxnx x e eene eee 12 1 2 enn e n 于是 原式 1 2 n e e 5分 三 15分 设 函 数 f x连 续 1 0 g xf xt dt 且 0 lim x f x A x A为常数 求 g x 并讨论 g x 在0 x 处的连续性 解 由题设 知 0 0f 0 0g 2分 令uxt 得 0 x f
4、 u du g x x 0 x 5分 从而 0 2 x xf xf u du g x x 0 x 8分 由导数定义有 0 2 00 0 limlim 22 x xx f u du f xA g xx 11分 由于 00 22 0000 lim limlimlim 0 22 xx xxxx xf xf u duf u du f xAA g xAg xxx 从而知 g x 在 0 x 处连续 15分 得得 分分 评阅人评阅人 得得 分分 评阅人评阅人 第 3 页 共 6 页 专业 线 年级 封 所在院校 密 身份证号 姓名 四 15分 已知平面区域 0 0 Dx yxy L为D的正向边界 试证 1
5、 sinsinsinsinyxyx LL xedyyedxxedyyedx 2 sinsin2 5 2 yx L xedyyedx 证法一 由于区域D为一正方形 可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算 1 左边 0 sinsinsinsin 00 yxxx edyedxeedx 4分 右边 0 sinsinsinsin 00 yxxx edyedxeedx 8分 所以 sinsinsinsinyxyx LL xedyyedxxedyyedx 10分 2 由于 sinsin2 2sin xx eex 12分 sinsinsinsin2 0 5 2 yxxx L xedyyedxeedx 15分 证
6、法二 1 根据 Green公式 将曲线积分化为区域D上的二重积分 sinsinsinsin yxyx LD xedyyedxeed 4分 sinsinsinsin yxyx LD xedyyedxeed 8分 因为 关于 yx 对称 所以 sinsinsinsin yxyx DD eedeed 故 sinsinsinsinyxyx LL xedyyedxxedyyedx 10分 2 由 2 2 0 22 2 n tt n t eet n sinsinsinsinsinsin2 5 2 yxyxxx LDD xedyyedxeedeed 15分 得得 分分 评阅人评阅人 第 4 页 共 6 页
7、五 10分 已 知 2 1 xx yxee 2 xx yxee 2 3 xxx yxeee 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三 个解 试求此微分方程 解 根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识 由题设可知 2x e 与 x e 是 相应齐次方程两个线性无关的解 且 x xe 是非齐次的一个特解 因此可以用下述两种解 法 6分 解法一 故此方程式 2 yyyf x 8分 将 x yxe 代入上式 得 2222 xxxxxxxxxx f xxexexeexeexexeexe 因此所求方程为 22 xx yyyexe 10分 解法二 故 2 12 xxx yxec ec e 是所求方程的通解
8、 8分 由 2 12 2 xxxx yexec ec e 2 12 24 xxxx yexec ec e 消去 12 cc 得所求方程 为 22 xx yyyexe 10分 六 10分 设抛物线 2 2lnyaxbxc 过原点 当 0 1x 时 0y 又已知该抛物线与x轴及直线 1x 所围图形的面 积为 1 3 试确定 a b c 使此图形绕 x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小 解 因抛物线过原点 故 1c 由题设有 1 2 0 1 323 ab axbx dx 即 2 1 3 ba 2分 而 1 2222 0 111 523 Vaxbx dxaabb 22 111 4 1 1 533 9
9、aaaa 5分 令 2128 1 0 53327 dv aaa da 得 5 4 a 代入 b的表达式 得 3 2 b 所以 0y 8分 得得 分分 评阅人评阅人 得得 分分 评阅人评阅人 第 5 页 共 6 页 专业 线 年级 封 所在院校 密 身份证号 姓名 又 因 2 5 2 4 2284 0 5327135 a d v da 及 实 际 情 况 当 53 1 42 abc 时 体积最小 10分 七 15分 已知 n ux 满足 1 nx nn uxuxxe n为正整数 且 1 n e u n 求函数项级数 1 n n ux 之和 解 先解一阶常系数微分方程 求出 n ux 的表达式 然
10、后再求 1 n n ux 的和 由已知条件可知 1 nx nn uxuxxe 是关于 n ux 的一个一阶常系 数线性微分方程 故其通解为 1 n dxdx nxx n x uxexe edxcec n 6分 由条件 1 n e u n 得 0c 故 nx n x e ux n 从而 111 nxn x n nnn x ex uxe nn 8分 1 n n x s x n 其 收 敛 域 为 1 1 当 1 1 x 时 有 1 1 1 1 n n s xx x 10分 故 0 1 ln 1 1 x s xdtx t 12分 当 1x 时 1 1 ln2 n n uxe 13分 于是 当 11x 时 有 1 ln 1 x n n uxex 15分 得得 分分 评阅人评阅人 第 6 页 共 6 页 八 10分 求1x 时 与 2 0 n n x 等价的无穷大量 解解 222 00 0 1 tnt n x dtxx dt 3分 2 2 1 ln 00 t t x x dtedt 7分 2 0 11 1 21 ln ln t edt x x 1 21x 10分 得得 分分 评阅人评阅人
