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1、1 1 质点作曲线运动 在时刻t 质点的位矢为r 速度为v 速率为v t 至 t t 时间内的 位移为 r 路程为 s 位矢大小的变化量为 r 或称 r 平均速度为v 平均速率为v 1 根据上述情况 则必有 A r s r B r s r 当 t 0 时有 dr ds dr C r r s 当 t 0 时有 dr dr ds D r s r 当 t 0 时有 dr dr ds 2 根据上述情况 则必有 A v v v v B v v v v C v v v v D v v v v 分析与解分析与解 1 质点在t 至 t t 时间内沿曲线从P 点运动到P 点 各量关系如图所示 其中路程 s PP
2、 位移大小 r PP 而 r r r 表示质点位矢大小的变化量 三个量的物理含义不同 在曲线运动中大小也不相等 注 在直线运动中有相等的可能 但当 t 0 时 点P 无限趋近P点 则有 dr ds 但却不等于dr 故选 B 2 由于 r s 故 t s t r 即 v v 但由于 dr ds 故 t s td d d d r 即 v v 由此可见 应选 C 1 2 一运动质点在某瞬时位于位矢r x y 的端点处 对其速度的大小有四种意见 即 1 t r d d 2 t d dr 3 t s d d 4 22 d d d d t y t x 下述判断正确的是 A 只有 1 2 正确 B 只有 2
3、 正确 C 只有 2 3 正确 D 只有 3 4 正确 分析与解分析与解 t r d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率 在极坐标系中叫径向速 率 通常用符号vr表示 这是速度矢量在位矢方向上的一个分量 t d dr 表示速度矢量 在自然 坐标系中速度大小可用公式 t s d d v计算 在直角坐标系中则可由公式 22 d d d d t y t x v 求解 故选 D 1 3 质点作曲线运动 r 表示位置矢量 v表示速度 a表示加速度 s 表示路程 a 表示切 向加速度 对下列表达式 即 1 d v dt a 2 dr dt v 3 ds dt v 4 d v dt a 下述判断正确
4、的是 A 只有 1 4 是对的 B 只有 2 4 是对的 C 只有 2 是对的 D 只有 3 是对的 分析与解分析与解 t d dv 表示切向加速度a 它表示速度大小随时间的变化率 是加速度矢量沿速 度方向的一个分量 起改变速度大小的作用 t r d d 在极坐标系中表示径向速率vr 如题1 2 所 述 t s d d 在自然坐标系中表示质点的速率v 而 t d dv 表示加速度的大小而不是切向加速度a 因此只有 3 式表达是正确的 故选 D 1 4 一个质点在做圆周运动时 则有 A 切向加速度一定改变 法向加速度也改变 B 切向加速度可能不变 法向加速度一定改变 C 切向加速度可能不变 法向
5、加速度不变 D 切向加速度一定改变 法向加速度不变 分析与解分析与解 加速度的切向分量a 起改变速度大小的作用 而法向分量an起改变速度方向 的作用 质点作圆周运动时 由于速度方向不断改变 相应法向加速度的方向也在不断改变 因而法向加速度是一定改变的 至于a 是否改变 则要视质点的速率情况而定 质点作匀速 率圆周运动时 a 恒为零 质点作匀变速率圆周运动时 a 为一不为零的恒量 当a 改变时 质 点则作一般的变速率圆周运动 由此可见 应选 B 1 5 如图所示 湖中有一小船 有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向 岸边运动 设该人以匀速率v0 收绳 绳不伸长且湖水静止 小船的速率为v
6、则小船作 A 匀加速运动 cos 0 v v B 匀减速运动 cos 0 vv C 变加速运动 cos 0 v v D 变减速运动 cos 0 vv E 匀速直线运动 0 vv 分析与解分析与解 本题关键是先求得小船速度表达式 进而判断运动性质 为此建立如图所示 坐标系 设定滑轮距水面高度为h t 时刻定滑轮距小船的绳长为l 则小船的运动方程为 22 hlx 其中绳长l 随时间t 而变化 小船速度 22 d d d d hl t l l t x v 式中 t l d d 表示绳长l 随时间的变化率 其大小即为v0 代入整理后为 lhl cos 0 22 0 vv v 方向沿x 轴负向 由 速度
7、表达式 可判断小船作变加速运动 故选 C 讨论讨论 有人会将绳子速率v0按x y 两个方向分解 则小船速度 cos 0 vv 这样做对 吗 1 6 已知质点沿x 轴作直线运动 其运动方程为 32 262ttx 式中x 的单位为m t 的单位为 s 求 1 质点在运动开始后4 0 s内的位移的大小 2 质点在该时间内所通过的路程 3 t 4 s时质点的速度和加速度 分析 位移和路程是两个完全不同的概念 只有当质点作直线运动且运动方向不改变时 位移的大小才会与路程相等 质点在t 时间内的位移 x 的大小可直接由运动方程得到 0 xxx t 而在求路程时 就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向
8、 此时 位移 的大小和路程就不同了 为此 需根据0 d d t x 来确定其运动方向改变的时刻tp 求出0 tp 和 tp t 内的位移大小 x1 x2 则t 时间内的路程 21 xxs 如图所示 至于t 4 0 s 时 质点速度和加速度可用 t x d d 和 2 2 d d t x 两式计算 解解 1 质点在4 0 s内位移的大小m32 04 xxx 2 由 0 d d t x 得知质点的换向时刻为s2 p t t 0不合题意 则m0 8 021 xxx m40 242 xxx 所以 质点在4 0 s时间间隔内的路程为m48 21 xxs 3 t 4 0 s时 1 s0 4 sm48 d
9、d tt x v 2 s0 4 2 2 m s36 d d tt x a 1 7 一质点沿x 轴方向作直线运动 其速度与时间的关系如图 a 所示 设t 0 时 x 0 试根据已知的v t 图 画出a t 图以及x t 图 分析分析 根据加速度的定义可知 在直线运动中v t曲线的斜率为加速度的大小 图中AB CD 段斜率为定值 即匀变速直线运动 而线段BC 的斜率为0 加速度为零 即匀速直线运 动 加速度为恒量 在a t 图上是平行于t 轴的直线 由v t 图中求出各段的斜率 即可作出a t 图线 又由速度的定义可知 x t 曲线的斜率为速度的大小 因此 匀速直线运动所对应的x t 图应是一直线
10、 而匀变速直线运动所对应的x t 图为t 的二次曲线 根据各段时间内的运动方 程x x t 求出不同时刻t 的位置x 采用描数据点的方法 可作出x t 图 解解 将曲线分为AB BC CD 三个过程 它们对应的加速度值分别为 2 sm20 AB AB AB tt a vv 匀加速直线运动 0 BC a 匀速直线运动 2 sm10 CD CD CD tt a vv 匀减速直线运动 根据上述结果即可作出质点的a t 图 图 B 在匀变速直线运动中 有 2 0 2 1 ttxx v 由此 可计算在0 2 和4 6 时间间隔内各时刻的位置分别为 用描数据点的作图方法 由表中数据可作0 2 和4 6 时
11、间内的x t 图 在2 4 时 间内 质点是作 1 sm20 v的匀速直线运动 其x t 图是斜率k 20的一段直线 图 c 1 8 已知质点的运动方程为jir 2 2 2 tt 式中r 的单位为m t 的单位为 求 1 质点的运动轨迹 2 t 0 及t 2 时 质点的位矢 3 由t 0 到t 2 内质点的位移 r 和径向增量 r 4 2 内质点所走过的路程s 分析分析 质点的轨迹方程为y f x 可由运动方程的两个分量式x t 和y t 中消去t 即可得 到 对于r r r s 来说 物理含义不同 可根据其定义计算 其中对s的求解用到积分方 法 先在轨迹上任取一段微元ds 则 22 d d
12、dyxs 最后用 ssd积分求 解解 1 由x t 和y t 中消去t 后得质点轨迹方程为 2 4 1 2xy 这是一个抛物线方程 轨迹如图 a 所示 2 将t 0 和t 2 分别代入运动方程 可得相应位矢分别为 jr2 0 jir24 2 图 a 中的P Q 两点 即为t 0 和t 2 时质点所在位置 3 由位移表达式 得 jijirrr24 020212 yyxx 其中位移大小m66 5 22 yxr 而径向增量m47 2 2 0 2 0 2 2 2 202 yxyxrrrr 4 如图 B 所示 所求 s 即为图中PQ段长度 先在其间任意处取AB 微元ds 则 22 d d dyxs 由轨
13、道方程可得xxyd 2 1 d 代入ds 则2 内路程为 m91 5d4d 4 0 2 xxss Q P 1 9 质点的运动方程为 2 3010ttx 2 2015tty 式中x y 的单位为m t 的单位为 试求 1 初速度的大小和方向 2 加速度的大小和方向 分析分析 由运动方程的分量式可分别求出速度 加速度的分量 再由运动合成算出速度和 加速度的大小和方向 解解 1 速度的分量式为 t t x x 6010 d d v t t y y 4015 d d v 当t 0 时 vox 10 m 1 voy 15 m 1 则初速度大小为 1 2 0 2 00 sm0 18 yx vvv 设vo与
14、x 轴的夹角为 则 2 3 tan 0 0 x y v v 123 41 2 加速度的分量式为 2 sm60 d d t a x x v 2 sm40 d d t a y y v 则加速度的大小为 2 22 sm1 72 yx aaa 设a 与x 轴的夹角为 则 3 2 tan x y a a 33 41 或326 19 1 10 一升降机以加速度1 22 m 2上升 当上升速度为2 44 m 1时 有一螺丝自升降 机的天花板上松脱 天花板与升降机的底面相距2 74 m 计算 1 螺丝从天花板落到底面所 需要的时间 2 螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离 分析分析 在升降机与螺丝之间有相对运动
15、的情况下 一种处理方法是取地面为参考系 分别 讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动 列出这两种运动 在同一坐标系中的运动方程y1 y1 t 和y2 y2 t 并考虑它们相遇 即位矢相同这一条件 问 题即可解 另一种方法是取升降机 或螺丝 为参考系 这时 螺丝 或升降机 相对它作匀加速运 动 但是 此加速度应该是相对加速度 升降机厢的高度就是螺丝 或升降机 运动的路程 解1 1 以地面为参考系 取如图所示的坐标系 升降机与螺丝的运动方程分别为 2 01 2 1 atty v 2 02 2 1 gtthy v 当螺丝落至底面时 有y1 y2 即 2 0 2 0 2 1
16、2 1 gtthatt vv s705 0 2 ag h t 2 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 m716 0 2 1 2 02 gttyhdv 解解2 1 以升降机为参考系 此时 螺丝相对它的加速度大小a g a 螺丝落至底面时 有 2 2 1 0tagh s705 0 2 ag h t 2 由于升降机在t 时间内上升的高度为 2 0 2 1 atth v 则 m716 0 hhd 1 11 一质点P 沿半径R 3 0 m的圆周作匀速率运动 运动一周所需时间为20 0 设t 0 时 质点位于O 点 按 a 图中所示Oxy 坐标系 求 1 质点P 在任意时刻的位矢 2 5 时的速度和加速度 分析分析 该题属于运动学的第一类问题 即已知运动方程r r t 求质点运动的一切信息 如位置矢量 位移 速度 加速度 在确定运动方程时 若取以点 0 3 为原点的O x y 坐标 系 并采用参数方程x x t 和y y t 来表示圆周运动是比较方便的 然后 运用坐标变换x x0 x 和y y0 y 将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中 即得Oxy 坐标系中质点P 在任 意时刻的位矢 采用对运动
