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1、1 1 结构动力学结构动力学 教师 刘晶波 助教 王东洋 清华大学土木工程系 教师 刘晶波 助教 王东洋 清华大学土木工程系 2015年秋年秋 2 主要内容 主要内容 用简谐振动试验确定体系的粘性阻尼比 用简谐振动试验确定体系的粘性阻尼比 共振放大法 半功率点法 半功率带宽法 体系的阻尼和振动过程中的能量 体系的阻尼和振动过程中的能量 自由振动过程中的能量 粘性阻尼体系的能量耗散 等效粘性阻尼 滞变阻尼 复阻尼 理论 振动的测量 振动的测量 加速度计 强震仪 位移计 地震仪 隔振 震 原理 隔振 震 原理 力的传递和隔振 基底振动的隔离 3 结构动力学 第3章 单自由度体系 第3章 单自由度体
2、系 4 3 3 6 用简谐振动 强迫振动 试验 确定体系的粘性阻尼比 3 3 6 用简谐振动 强迫振动 试验 确定体系的粘性阻尼比 1 峰值的大小 2 曲线的胖瘦 1 峰值的大小 2 曲线的胖瘦 0123 0 1 2 3 4 5 6 1 0 8 0 5 0 2 0 1 Rd u0 ust 频率比 n 0 01 大系数动力放 可以用自由振动方法求阻 尼比 的原因是由于自振 衰减的快慢由 控制 或 说衰减规律可以明显反应 出阻尼比 的影响 而动力放大系数同样受 控制 Rd曲线形状可以反 映出 的影响 其影响主 要有两点 2 5 3 3 6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 1 峰值的大小 2 曲线的
3、胖瘦 1 峰值的大小 2 曲线的胖瘦 0123 0 1 2 3 4 5 6 1 0 8 0 5 0 2 0 1 Rd u0 ust 频率比 n 0 01 大系数动力放 利用体系对简谐荷载反 应的结果也可以得到 体系的阻尼比 有两种主要方法 共振放大法 和 半功率带宽法 其原理均是基于对动力 放大系数Rd的分析 6 3 3 6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 1 共振放大法 根据动力放大系数Rd 当发生共振 n 1 时 222 2 1 1 nn d R 2 1 00 st n st nd u u u u R n 2 2 1 0n st nd u u R 0123 0 1 2 3 4 5 6 1
4、0 8 0 5 0 2 0 1 Rd u0 ust 频率比 n 0 01 大系数动力放 7 3 3 6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 1 共振放大法 由于从动力放大曲线定u0 n 不容易 一般用u0m代替 u0m max u0 则 2 2 1 0n st nd u u R m st d u u R 0max 2 2 1 0123 0 1 2 3 4 5 6 1 0 8 0 5 0 2 0 1 Rd u0 ust 频率比 n 0 01 大系数动力放 8 3 3 6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 1 共振放大法 用共振放大法确定体系的阻尼比 方法简单 但实际工 程中测得的动力放大系数曲线一般以
5、u0 图给出 用 以上公式计算阻尼比时 还需得到零频时的静位移值 ust 实际测量静载位移无论从加载设备和记录 拾振 设 备都有一定的困难 即实现动力加荷和测量动力信号 的设备不能在零频率时工作 因此工程中往往采用半 功率点法 半功率带宽法 从动力试验中得到阻尼比 m st d u u R 0max 2 2 1 0123 0 1 2 3 4 5 6 1 0 8 0 5 0 2 0 1 Rd u0 ust 频率比 n 0 01 大 系 数动 力 放 3 9 3 3 6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 2 半功率点法 半功率带宽法 半功率点 半功率点 动力放大系数Rd 上振幅值等于1 2倍最大振
6、幅的点所对应的两个频率点 记 a和 b分别等于半功 率点对应的两个频率 则阻尼比 可由如下公式计算 n ab 2 ab ab ab ab ff ff n ab f ff 2 0 00 51 01 52 02 53 0 0 1 2 3 4 5 位 移 放 大 系 数 Rd 2 半带宽 1 2倍 最 大 振 幅 最 大 振 幅 频率比 n 10 半功率带宽法半功率带宽法 半功率点法 证明 3 60 3 61 n ab 2 由 Rd可知 Rd的最大值 2 max 12 1 d R 而振幅等于 2 1 倍 Rd max对应的频 率满足以下方程 2222 12 1 2 1 2 1 1 nn a 对式 a
7、 两边同时取倒数 并开平方 整理后得 0 1 81 21 2 22224 nn b 式 b 是关于 n 2一元二次方程 可得两个根为 222 12 21 n c 式 c 取正号时对应数值较大的根 b 负号对应较小的根 a 一般的工程结构 阻尼比 较小 式 c 中 的平方项可忽略 因此 121 n 则对应于半功率点的两个根为 1 1 n a n b d 由式 d 得到半功率点频率 b和 a与阻尼比 的关系 2 n ab e 由此得到式 4 34 若再用式 d 得关系2 n ab 代入式 e 又得到式 4 35 ab ab 3 60 3 61 11 三种阻尼比的测量方法三种阻尼比的测量方法 前面学
8、习了三种测量结构阻尼的方法 1 对数衰减率法对数衰减率法 2 共振放大法共振放大法 3 半功率带宽法半功率带宽法 虽然是针对单自由度体系推导的 但对多自由度 体系同样适用 12 1 对数衰减率法对数衰减率法 采用自由振动试验采用自由振动试验 测一阶振型的阻尼比较容易 高阶 振型的阻尼比的关键是能激发出按相应振型进行的自由 振动 2 共振放大法共振放大法 采用强迫振动试验采用强迫振动试验 由于静 零频 荷载下的位移较难确 定 应用上存在一定的技术困难 但通过一定数学上的 处理还是可用的 例如 利用接近零频的非零频位移通 过插值外推得到零频时的位移值 3 半功率带宽法半功率带宽法 采用强迫振动试验
9、采用强迫振动试验 不但能用于单自由度也可用于多自 由度体系 对多自由度体系要求共振频率稀疏 即多个 自振频率应相隔较远 保证在确定相应于某一自振频率 的半功率点时不受相邻频率的影响 4 13 第3 3章 单自由度体系 3 4 体系的阻尼和 振动过程中的能量 3 4 体系的阻尼和 振动过程中的能量 14 3 4 1 自由振动过程中的能量自由振动过程中的能量 SDOF体系中能量来源 初始位移和初始速度体系中能量来源 初始位移和初始速度 初始时刻初始时刻体系具有的总能量总能量 任意任意t时刻时刻体系的总能量总能量 EK 质点的动能 ES 弹簧的应变能 22 0 0 2 1 0 2 1 umukE 2
10、2 2 1 2 1 tukEtumE sk SK EEE 15 3 4 1 自由振动过程中的能量 无阻尼体系中的能量 无阻尼体系中的能量 无阻尼体系自由振动过程中的总能量守恒能量守恒 不随 时间变化 等于初始时刻输入的能量 2 2 2 1 2 1 tukE tumE s k t u tutu n n n sin 0 cos 0 2 22 sin 0 cos 0 2 1 cos 0 sin 0 2 1 t u tukE t u tumE n n ns n n nnk 0 22 0 2 1 0 2 1 EumukEEE sk 16 3 4 1 自由振动过程中的能量 有阻尼体系中的能量 有阻尼体系中
11、的能量 在0至t时刻由粘性阻尼耗散的能量ED为 阻尼在体系振动过程中始终在消耗能量 阻尼在体系振动过程中始终在消耗能量 随着 t 体系中的总能量将完全被阻尼所消耗 当t 时 ED E0 tt DD dtucdtuucdufE 0 2 0 5 17 3 4 2 粘性阻尼体系的能量耗散粘性阻尼体系的能量耗散 SDOF体系在简谐力简谐力p t p0sin t作用下 在一个振 动循环内的能量耗散记为 ED 阻尼引起的能量耗散 即阻尼力做的功 EI 外力做的功 ES 弹性力做的功 EK 惯性力做的功 在简谐荷载p t 作用下 SDOF的位移为 sin 0 tutu 18 3 4 2 粘性阻尼体系的能量耗
12、散 1 阻尼引起的能量耗散阻尼引起的能量耗散ED 粘性阻尼引起的能量耗散与振幅u0的平方成正比 与阻尼比 和外荷载的频率 成正比 sin 0 tutu 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 cos kuuc dttuc dtucdtuucdufE n DD 2 22 2 nnnn cmkk 19 3 4 2 粘性阻尼体系的能量耗散 2 外力做的功外力做的功EI I Input 0 sin u tut 2 0 2 0 2kuucE n D 2 0 2 00 0 2 000 sin cos sin2 I n Ep t dup t udt ptutdt p uku kp u R n
13、 d n 2 2 sin 0 0 外力做的功 EI 0 n 0 20 3 4 2 粘性阻尼体系的能量耗散 3 弹性力的功弹性力的功 ES 4 惯性力的功惯性力的功 EK Kinetic 可见在简谐振动中的一个循环内 弹性力和惯性力做功 均等于零 而由阻尼耗散的能量等于外力做的功 可见在简谐振动中的一个循环内 弹性力和惯性力做功 均等于零 而由阻尼耗散的能量等于外力做的功 sin 0 tutu 0 cos sin 0 2 0 0 2 0 dttutuk dtukudufE sS 2 0 00 2 2 0 0 cos sin dttutum dtuumdufE IK 6 21 3 4 3 等效粘性
14、阻尼等效粘性阻尼 1 粘性阻尼是一种理想化的阻尼 具有简单和便 于分析计算的优点 2 工程中结构的阻尼源于多方面 其特点和数学 描述更为复杂 这时可以将复杂的阻尼在一定 的意义上等效成粘性阻尼 3 一般采用基于能量等效能量等效的原则 4 阻尼耗散能量的大小可以用阻尼力的滞回曲线滞回曲线 反映 22 3 4 3 等效粘性阻尼 1 阻尼力的滞回曲线 阻尼力的滞回曲线 阻尼力与位移之间的关系曲 线 即fD u曲线 sin 0 tutu 0 2222 000 cos sin D fcu tc ut cuutcuut 粘性阻尼力 滞回曲线 0 c u 0u u0u u0 0 u u 0 0 u u u
15、f D 7 25 3 4 3 等效粘性阻尼 2 等效粘性阻尼比 确定等效粘性阻尼比的原则 基于能量耗散相等 的原理 具体实现方法 在一个振动循环内让等效粘性阻 尼做的功等于实际阻尼所做的功 26 2 等效粘性阻尼比 在一个循环内实际阻尼力作的功 在一个循环内等效阻尼力作的功 粘 D E D E 抗力 变形 u0 ES0 u0 变形 ES0 抗力 D E DE a b 27 2 等效粘性阻尼比 2 0 2 Deq n Eku 粘 DD EE 粘 2 0 2ku E n D eq 2 0 2 ku ED eq 0 4 S D eq E E 2 00 1 2 S Eku 令 1 n 共振 0 4 D
16、 eq ns E E 第四种测量结构阻尼比的方法 28 3 4 4滞变阻尼 复阻尼 理论滞变阻尼 复阻尼 理论 粘性阻尼由于其在建立运功方程和求解时的方便性 而 在工程中得到广泛应用 但它也存在一个严重的缺 陷 即 粘性阻尼力和能量耗散与激振频率有关 例 如在每一振动循环中耗散的能量为 对一结构体系 阻尼比 为常数 固定振幅u0 则在每一 振动循环中耗散的能量与激振频率成正比 这与结构 试验结果不符 试验结果表明 阻尼力或其耗能与频 率基本是无关的 为此 发展了滞变阻尼理论 滞变阻尼 Hysteretic 2 0 2kuE n D 8 29 3 4 4 滞变阻尼 复阻尼 理论 滞变阻尼滞变阻尼 Hysteretic 阻尼力大小与位移幅值成正比 而与速度同相 阻尼力大小与位移幅值成正比 而与速度同相 三种型式的滞变阻尼定义 克拉夫 1981 Clough 1993 Chopra 1995 其中 为滞变阻尼参数 第一种型式是直接套用滞变阻尼的定义 第二种是滞变阻尼的复数形式 第三种是从构造频率无关阻尼的构思出发 tu tu tukfD tkuifD tu k fD 30 3 4 4 滞变阻
