1995圣彼得堡数学奥林匹克初中

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1、再品佳题 1995圣彼得堡数学奥林匹克 初中 苏 淳 译 中国科学技术大学统计与金融系 230026 第 一 轮 6 1 试在4 4方格表的每一个方格中 填入一个正整数 使得各行数的乘积的和能 被5整除 而各列数的乘积的和不能被5整 除 先将每一行中的4个数相乘 再把4个 乘积相加 对列作同样处理 6 2 在树林里生长着橡树和枞树 主人 砍去了橡树的三分之一和枞树的六分之一 生态组织 绿色复仇者 断言 树林中有一半 树被砍去 证明 在该断言中 包含有不正确 的成分 6 3 十进制五位数A的各位数字都是2 或3 而十进制五位数B的各位数字都是3 或4 试问 乘积AB的各位数字能否全都是 2 说明

2、理由 6 4 将正整数乘以2后 按任意顺序重 新排列它的各位数字 但是0不能排在首位 称为操作 证明 不能经过若干次这种操作 由1得出74 7 1 试将四个1 三个2和三个3排列在 圆周上 使得任何相连的三个数的和都不是 3的倍数 7 2 将正整数乘以2后 按任意顺序重 新排列它的各位数字 但是0不能排在首位 称为操作 证明 不能经过若干次这种操作 由1得出811 7 3 在某岛上居住着100个人 其中一 些人总说假话 其余人则永远说真话 岛上的 每位居民崇拜三个神之一 太阳神 月亮神和 地球神 向岛上的每位居民提了三个问题 1 您崇拜太阳神吗 2 您崇拜月亮神吗 3 您崇拜地球神吗 对第一个

3、问题有60人回答 是 对第 二个问题有40人回答 是 对第三个问题 有30人回答 是 他们中有多少人说的是 假话 7 4 如果蘑菇上面寄生着多于11条蠕 虫 则被称为 坏的 如果蠕虫只吃了它所寄 生的蘑菇的不多于 1 5 则称蠕虫为 瘦的 现 知树林里 1 4 的蘑菇是坏的 证明 有不少于 1 3 的蠕虫是瘦的 8 1 一个矩形的边长为整数 现知可以 把它分为一系列角状形 即将2 2的正方形 去掉任何一个单位正方形后所成的图形 证 明 可以把该矩形分为一系列的1 3的 矩形 8 2 能否将正整数3 4 11填入3 3 方格表 使得第一行的数的乘积等于第一列 的数的乘积 第二行的数的乘积等于第二

4、列 的数的乘积 第三行的数的乘积也等于第三 列的数的乘积 图1 8 3 如图1 设四 边 形ABCD 为菱形 点E F 分别位于边AB BC上 且AE 5BE BF 5CF 若 DEF为等边 三角形 试求 BAD的度数 8 4 有如下两类五位数 1 各位数字之和等于36 且为偶数 2 各位数字之和等于38 且为奇数 试问 哪一类数较多 说明理由 132006年第1期 第 二 轮 6 1 25个学生站成一行 现知最左面的 学生比最右面的学生高 证明 可以找到一个 学生 他的左邻高于右邻 6 2 黑板上写着数12 每一分钟可以将 黑板上的数乘以2或3 也可以除以2或3 并以计算结果代替原来的数 证

5、明 经过1小 时以后 黑板上的数不可能为54 6 3 水洼里有19条蓝色变形虫和95条 红色变形虫 有时它们会发生互变 如果2条 红色变形虫相遇 会变成1条蓝色变形虫 如 果2条蓝色变形虫相遇 在变成1条变形虫 之后又立即分裂为4条红色变形虫 而1条 红色变形虫与1条蓝色变形虫相遇 则在变 成1条变形虫之后又立即分裂为3条红色变 形虫 到了晚上 水洼里一共有100条变形 虫 试问 其中有多少条蓝色变形虫 6 4 试求方程19x yz 1 995的所有质 数解组 x y z 6 5 在9 9方格表中有19个方格被染 成红色 证明 或者可以找到两个有公共边的 红色方格 或者可以找到一个未被染红的方

6、 格 它至少与两个红色方格都有公共边 6 6 矩形形状的巧克力被凹槽分割为 17 17个方格 甲 乙两人按如下法则做游 戏 每人每次都将1块矩形形状的巧克力块 分为2个矩形 只能沿着凹槽切开 块 并且 乙每次做完后都立即吃掉他所分出的1个矩 形块 谁不能继续下去 就算谁输 甲先开始 试问 在正确的策略之下 谁将获胜 7 1 同6 1 7 2 同6 4 7 3 某大公的卫队里有1 000名武士 任 何两名武士或者互为朋友 或者互为敌人 或 者互不认识 武士们都是寡合的 他们都只同 朋友才说话 但是 现状使得每名武士都不开 心 因为对于每名武士来说 他的任何两个朋 友都互为敌人 而他的任何两个敌人

7、都互为 朋友 证明 为了使得所有武士都知道大公的 一项新决定 大公至少需要通知200名武士 7 4 矩形的方格表被分成一系列1 2 的矩形 多米诺 现知每一条方格线所穿过 的多米诺的数目都是4的倍数 证明 方格表 的一条边的边长是4的倍数 7 5 计算机的屏幕上显示着数1 每一 秒钟计算机都进行一次如下的操作 如果屏 幕上的数能被2 k 整除 则将它加上1至k 1中的任意一个正整数 证明 任何一个2的 方幂数都迟早会出现在屏幕上 7 6 矩形形状的巧克力被凹槽分割为 1 995 1 995个方格 甲 乙两人按如下法则 做游戏 每人每次都将1块矩形形状的巧克 力块分为2个矩形 只能沿着凹槽切开

8、块 并且每次做完后都可以立即吃掉所分出的1 个矩形块 也可以不吃 谁不能继续下去 就 算谁输 甲先开始 试问 在正确的策略之下 谁将获胜 7 7 一套多卷本 犬类大全 杂乱地放在 书架的两层上 上层最左端放着 德国牧羊犬 卷 每天早晨图书管理员都把放在不同层上 的两卷连号的书交换位置 某一天 突然发现 所有的书都回到了开始时所放的那一层上 证明 此时 德国牧羊犬卷 仍然放在上层最 左端 8 1 将正三角形的中心与它的三个顶点 都相连 在三条连线和三条边上各写着一个 正整数 对于其中任何三条形成一个三角形 的线段 都可以将写在它们上面的数同时加 1 证明 通过这种操作 可以使4个三角形的 各边上

9、的数的和被3除的余数相同 8 2 同7 3 8 3 以p n k 表示正整数n的不小于 k的约数的个数 试求 p 1 001 1 p 1 002 2 p 2 000 1 000 图2 8 4 如图2 在 ABC中 BD是 ABC的 平 分 线 在 ABC外取一点 E 使 得 EAB ACB AE DC 并 且线段ED与线段 AB相交 交点记为K 证明 KE KD 23中 等 数 学 8 5 一笔遗产包括若干枚钻石 价值 1 000 000 现知可以将其分成5等份 也可 以分成8等份 试求最小一枚钻石价值的最 大可能值 8 6 将正整数1至100按任意顺序分别 写在正100边形的各个顶点上 允许

10、交换任 何两个差为1的数的位置 在经过若干次这 种操作之后 每个数都移到了顺时针方向的 相邻顶点上 外接圆的直径的两个端点相互 称为对径点 证明 必有某一时刻 有两个处 于对径点上的数交换位置 8 7 矩形的方格表被分成一系列1 2 的矩形 多米诺 现知每一条与方格线平行 的非方格线的直线所穿过的多米诺的数目都 是偶数 证明 方格表的一条边的边长是4的 倍数 参 考 答 案 第 一 轮 5551 5551 5551 5551 图3 6 1 一种填法如图3 6 2 由于树林里生长着 橡树和枞树 而被砍去的橡树 不到橡树总数的一半 被砍去 的枞树也不到枞树总数的一 半 所以 被砍去的树木不到 一半

11、 6 3 乘积AB介于 22 222 33 333与33 333 44 444 之间 也就是介于 740 725 926与1 481 451 852 之间 所以 AB的首位数不可能是2 6 4 解法1 如果可以由1得到74 那么 通过重 排数字和把偶数除以2 也能由74得到1 首先 把 74的数字重排 得到47 它是奇数 不能被2整除 操作到此告终 然后 把74除以2 得到37 那么 无 论是37 还是重排后得到的73都是奇数 操作也不 能再继续 由此看来 由74出发 一共只能得到三个 不同的数 它们之中没有1 解法2 在规定的操作下 数的数字个数不会减 少 因此 一旦得到一个三位数甚至更多位

12、数的数之 后 数的位数无论如何都不会再减少到两位 图4中 给出了由1出发得到的一切可能的第一个三位数 在得到它们的过程中并没有出现74 图4 7 1 可以排为1 1 2 1 2 2 3 3 1 3 7 2 参阅6 4的解法 7 3 将永远说真话的人称为 老实人 把总说 假话的人称为 骗子 每个老实人都只会对一个问 题回答 是 而每个骗子则都对两个问题答 是 将老实人的人数记为x 将骗子的人数记为y 于是 x 2y 130 又由于在该岛上居住着100个人 所 以 x y 100 从而可知 有y 30个人说的是假 话 7 4 将坏的蘑菇数目记为k 于是 树林里的蘑 菇总数为4k 如果蠕虫吃了它所寄

13、生的蘑菇的 1 5 以 上 就将它称为 肥的 显然 在1个蘑菇上面至多 有4条肥的蠕虫 所以 肥蠕虫的数目不多于16k 既 然在每个坏的蘑菇上面至少寄生着12条蠕虫 所 以 它们当中至少有8条是瘦的 因此 坏的蘑菇上 面至少一共有8k条瘦蠕虫 因此 有不少于 1 3 的蠕 虫是瘦的 8 1 每个角状形的面积是3 所以 矩形的面积 是3的倍数 既然矩形的边长为整数 而它的面积等 于长乘宽 3又是质数 所以 矩形至少有一边之长 是3的倍数 故可把该矩形分为一系列1 3的 矩形 8 2 可以 一种填法如图5 1185 476 1039 图5图6 8 3 如图6 由题意知BE CF 在边AB上取点 K

14、 使得AK BE 易知 AKD CFD 从而 DK DF DE 故 DKE为等腰三角形 有 DKE DEK 332006年第1期 又AK BE DK DE DK A DEB 则 ADK BDE 从 而 AD BD 于 是 ABD为等边三角形 所以 BAD 60 8 4 容易看出 各位数字之和等于38的五位数 的各位数字中不可能有0 否则它的各位数字之和 不超过4 9 36 如果将每个各位数字之和等于38 的奇数的末尾两位数字各减去1 就可以得到1个各 位数字之和等于36的偶数 由不同的奇数得到不同 的偶数 所以 各位数字之和等于38的奇数不多于 各位数字之和等于36的偶数 另一方面 存在各位

15、数字之和等于36的偶五位数 如99 990 不能通过这 样的办法得到 所以 各位数字之和等于36的偶数 更多 第 二 轮 6 1 从左至右依次为学生编号 如果除了边缘 上的学生之外 每个学生的右邻都不矮于左邻 那 么 3号不矮于1号 5号不矮于3号 如此等等 最 终 就有25号不矮于1号 此与题意相矛盾 6 2 每一次操作都改变了该数中因数2和3的 总数目的奇偶性 由于开始时12 2 2 3 总数目 为奇数 两个2和一个3 所以 1小时以后 该数目 仍为奇数 但是 在54中却有一个2和三个3 总数 目为偶数 因此 黑板上的数不可能为54 6 3 由题意知 变形虫总数减少了多少条 那 么 蓝色变

16、形虫就增加了多少条 反之 变形虫总数 增加了多少条 那么 蓝色变形虫就减少了多少条 由于晚上的变形虫总数比早上少了14条 所以 蓝 色变形虫的数目比早上多了14条 从而 有 19 14 33 条 6 4 由yz 19x 1 995 19 x 105 且y和z 都是质数 所以 其中之一为19 另一个为x 105 设y 19 z x 105 于是 x和z中有一个为偶数 又由于它们都是质数 所以 x 107 z 2 对于z 19 y x 105的情形可作类似讨论 综合上述 知原方程的所有质数解组 x y z 有2个 107 19 2 107 2 19 6 5 将原方格表分为9个3 3方格表 在其中 一个3 3方格表中至少染红了3个方格 如果该 3 3方格表的某一行 或某一列 中有两个方格被染 红 那么 要求的方格自然存在 否则 任何两个红色 方格都既不同行 也不同列 此时 第二行中的那个 与红色方格相邻的未染色的方格就与两个红色方格 都有公共边 6 6 在正确的策略之下 乙将获胜 为了能够获胜 乙应当使自己在每次操作之后 所有巧克力块的形状都是各边之长均为奇数的矩 形 应当指出 开始时 17