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1、课 题三 角 函 数 线-任意角三角函数的几何表示教 学 背 景1 教材地位分析： 本课时选自数学必修4（苏教版）第一章任意角的三角函数第2课时。三角函数是中学数学的重要内容之一，课标要求在整章的教学过程中突出数形结合的思想方法。三角函数线作为三角函数的几何表示，它的应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学，如：探索任意角的同名三角函数值的变化规律、比较不同名三角函数值的大小、探究三角函数的图像和性质、推导三角函数诱导公式等。可以说，三角函数线是研究三角函数的重要工具。2 学习情况分析：本班男女生人数均衡，数学基础不太扎实，学习数学兴趣较高。学习本节前，在初中已学过锐角三角函
2、数，新学了任意角三角函数的定义、三角函数值在各象限的符号规律、诱导公式（一）、为三角函数线的寻找奠定了知识基础。3 教学设计理念：这节课借助多媒体技术，遵循“观察猜想论证”的教学模式，倡导积极主动的学习精神和合作探究式的学习方式；教学中注重引导学生思维，不断提出问题，研究问题，并解决问题；重视在师生、生生互动交流的过程中渗透情感态度与价值观；提高学生的数学思维能力，注重信息技术与数学课程的合理整合。教 学 目 标1知识目标了解如何利用单位圆中的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用三角函数线表示,并能利用三角函数线解决简单的三角问题。2能力目标借助几何画板经历数学知识的形成过程，提高
3、观察、类比、猜想和实验探索的能力； 提高抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力。3情感目标激发对数学研究的热情，培养分析、探究问题的能力，促进对数形结合思想的认识和感悟。教 学 重 点 难 点1重 点三角函数线的探究与作法，及其简单应用。2难 点用有向线段表示任意角的正弦、余弦、正切函数值的几何形式。教 学 方 法 与 教 学 手 段1教学方法演示、讨论、合作学习2学法指导类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、论证，获得知识的延展。3教学资源多媒体技术，几何画板课件等教 学 过 程 设 计教学环节教 学 过 程设 计 说 明一创设问题情境引入学习主题我们在学习
4、数学知识时，常会把较为抽象的数学概念借助直观具体的图像加以理解和认识。比如：学习正数与负数的概念时，如果把向东走40米记为+40米，那么往西走40米，就记为 -40米，可以用图形表示为：+40米- 40米向西走40米向东走40米前面学习函数时，借助于函数图像，直观地认识了它们的性质。我国著名的数学家华罗庚先生就对数形结合在学习数学中的作用有精辟的论述：数缺形时少直观，形缺数时难入微。现在，我们学习了任意角的正弦、余弦、正切函数的定义。能不能也用图像的形式直观地表示任意角的三角函数值呢？这节课，我们就来一起研究，解决这个问题：（板书课题）启动数形结合意识（板书）为有向线段的引入铺垫二、探究建构数
5、学知识1、 观察讨论，归纳猜想问题引导1： 在初中我们学过锐角三角函数，锐角三角函数是通过直角三角形中边的比表示的，如果把锐角放在直角坐标系中再来看锐角函数的定义，并与任意角的三角函数的定义进行比较，能猜想一下，可以用什么几何图形直观地表示三角函数的值？学生活动：画图，思考，讨论，提出猜想。（几何画板2）学情预设：学生对初中学习的锐角三角函数的定义印象深刻。结合前节课新学的任意角三角函数的定义及问题1的思考，可以达成以下共识： 1）锐角三角函数的定义与第一象限角的三角函数的定义是一致的，体现一般到特殊。2）锐角三角函数是用三边比值定义的，也就是通过线段的比反映，所以猜想任意角的三角函数值是不是
6、也可以用线段来表示？2. 探究猜想结果问题引导2： 有了这个猜想，我们重新关注任意角的正弦是如何定义的? （再现定义）问题引导3：注意定义中文字描述，你能进一步简化正弦的表达式吗？ 学情预设：借助几何画板，拖动点P在终边上的位置，观察，可以注意到定义中“任意一点P”，确定三角函数值与点在终边上的位置无关，从而猜想若让r取1，则正弦形式可以简化为.此时，引进 单 位 圆 的定义：以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆。这样，任意角的终边上都取与单位圆的交点P，此时r=1，分别为点P的横坐标和纵坐标。从学生熟悉的知识环境入手，可以从学生最近发展区寻找知识生长点进一步认清三角函数概念 的本质 只研究特
7、殊情况，对有向线段有初步的认识相关概念在需要的时候自然引入，分散了教学难点,使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究根据对正弦线的详细研究，简明扼要地得余弦线正切线的研究对学生来说既是知识的迁移，也是思维的跨越，要先让学生类比、联想 及时归纳，把握知识间的联系，利于理解和记忆.通过练习让知识内 化培养学生发散思维能力培养知识的应用意识逆向思维，进一步体现数学概念本质，深化数学知识3.验证猜想问题引导4： 通过上面的讨论结果，任意角的正弦函数值可以用线段来表示吗？请大家在各个象限及坐标轴上找角进行讨论、验证。学情预设：学生通过讨论，得出一些猜想：角终边上取了与单位圆的交点后，正弦函数值转化为P点的
8、纵坐标，而纵坐标的绝对值就是点P到轴的距离，说明正弦函数值可以用线段长度来表示，但是还要根据不同象限角，加上正负符号才行。（这样的话，已经很接近这节课的中心了。）问题引导5：如果我们能让上面的猜想中线段的长度和符号统一起来就更完美了，有这样的统一吗？学情预设：引导学生观察前面正负数的直观表示，物理中也有矢量知识储备，只要规定正方向就可以解决这个问题了。定义有向线段：规定了方向的线段。（1）方向：按书写顺序，前为起点，后为终点，由起点指向终点. (2) 有向线段的数量（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段） 师生互动：结合有向线段进一步确定正弦函数值的几何表示：取角的终边与单位圆的交点为P,
9、过点P作轴的垂线，设垂足为M，则有向线段MP=。(学生分析的同时，教师用几何画板演示) 4实验辨析得出结论通过几何画板的演示，特别地,当角的终边在轴上时,有向线段MP变成一个点,记数值为0.定义角的正弦线。5.类比猜想，知识迁移问题引导6：仿照正弦线产生的思路，推理用哪条有向线段可以表示角的余弦比较合适? 学情预设：学生通过主动思考参与正弦线得出的过程，易得任意角的余弦线。定义角的余弦线。问题引导7：类似的，正切函数的定义？怎样简化定义中的表达式？与正弦的表达式进行类比，思考解决问题的办法。6.任意角的正切值的几何表示学情预设：仿照正弦线研究方法，学生易想到：可令=1, 即取终边上横坐标为1的
10、点，但不一定想到要做图中A的圆的切线，教师分析引导做图中A的圆的切线并找到与角终边的交点即为点P，此时，有=AT。用线段表示正切初显眉目，但是会很快发现第二、三象限角的终边上没有横坐标为1的点，若此时取的点，,有向线段的表示方法又不能统一,产生符号问题。进一步思考如何解决，怎样向靠拢，才能解决方向问题？ 师生互动：归纳合作讨论结果：（几何画板演示）1）在象限角的终边或其反向延长线上取=1的点T，则tan=AT；2）借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到注意当的终边落在Y轴上时，有向线段AT的变化。定义正切线。 定义三角函数线.7.作法总结请大家总结这三种三角函数线的作法,边说边用几何画板演示
11、：第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；第二步：过点P作轴垂线，垂足M，得正弦线MP、余弦线OM； 第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT。特别注意：三角函数线是有向线段，表示这些线段时，要注意书写顺序.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）。三、数学演练及应用1.牛刀小试：试着画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1）;（2）；（3）0；（4）学情预设：学生画图,根据完成情况做点评,并强调三角函数线的位置和方向.2开拓思考：根据单位圆中的正弦线，能发现正弦函数值有怎么样的变化规
12、律？余弦呢？正切？师生互动：利用几何画板演示，观察角的终边在各位置的情形,结合三角函数线和已学知识，合作讨论，发现规律。 学情预设：（1）当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小;（2） ()时，正切线不存在。（3）-11, -11, R (4)一些特殊角的三角函数值也可以从图中得出。（5）利用三角函数线，易比较同角或不同角的三角函数值； 根据学生探究实际情况，得出相关结论。3.数学运用：（用三角函数线可以很方便的解决哪些问题？）例1 比较下列各组数的大小：（1） 与 (2) 与（3） 与 (4) 与 师生互动：学生先做，后讲评。例2 若，则的取值范围是_。解析：
13、观察归纳角的终边与直线重合时，正、余弦函数值的关系。例3 利用三角函数线画出适合下列条件的角的终边：（1）；（2）； （3）.师生互动：共同分析（1）（几何画板5动态演示）学生活动：请学生分析（2）、(3),同时用几何画板演示. 例4. 利用几何画板画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：（1）; （2）. 师生互动：分析：先作出满足，的角的终边(例3已做)，然后根据已知条件确定角终边的范围,注意周期性.（几何画板5动态演示）四、归纳反 思，课堂延展1. 数形结合思想表现在由数到形和由形到数两方面. 自从数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系，使得对三角函数的研究大为简化，将任意角的三角函数值分别用有向线段表示出来体现了由数到形的转化；借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥了由形到数的巨大作用。它为解三角不等式、比较大小、以及研究三角函数图像与性质奠定了基础。2. 巩固练习，课本：16页 练习6，7，83.提升练习：求下列函数的定义域：（1） y = ; (2) y = lg(34sin2x) . 4.兴趣作业: 1）结合三角函数线我们已经发现了一些很有价值的结论,你还能得出哪些结论？说明理由，或是合理猜想。2）了解数学家欧拉的生平事迹,在数学方面的突出贡献。点明三角函数线在其他方面的应用,以及数形结合思
