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1、1 51 51 51 5信号的瞬时频率信号的瞬时频率信号的瞬时频率信号的瞬时频率 如果是复信号 可把它写成 的形式 若是实信号 可通过Hilbert变换得 到与相对应的解析信号 也可写作 的形式 瞬时频率定义为 tj etAtx tx tx txc tj etA t i tt dt td i 瞬时频率 傅里叶频率 瞬时频率 傅里叶频率 瞬时频率 傅里叶频率 瞬时频率 傅里叶频率 傅立叶频率是一个独立的量 而瞬时频率是时 间的函数 傅立叶频率和瞬时频率有如下几方面的区别 傅立叶频率和瞬时频率有如下几方面的区别 2 tx 信号的均值频率 中心频率 是其瞬时频率在整个 时间轴上的加权平均 而权函数即
2、是 只有当 信号为纯正弦时 其均值频率才等于其瞬时频率 傅立叶频率是一个 全局性 的量 它是信号在 整个时间区间内的体现 而瞬时频率是信号在特 定时间上的 局部 体现 理论上讲 它应是信号 在该时刻所具有的频率 傅立叶频率和傅立叶变换相联系 而瞬时频率 和Hilbert变换相联系 tt dt td i 是时间的函数 t 若在任意时刻 都是单值的 则称该信号为 单频率分量 mono component 信号 否则 称为 多频率分量 multi component 信号 t i t 瞬时频率的定义是否适 用于多分量信号 瞬时频率的定义是否适 用于多分量信号 瞬时频率的定义是否适 用于多分量信号 瞬
3、时频率的定义是否适 用于多分量信号 设由两个chirp信号相加而成 它们有 着相同的幅度 第一个chirp信号的频率在0 0 3之 间线性变化 第二个在0 2 0 5之间线性变化 tx 020406080100120140 2 0 2 real x t 20406080100120 0 0 2 0 4 frequency 20406080100120 0 0 2 0 4 Time Normalized frequency 20406080100120 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 0 4 0 45 STFT 2 Lh 16 Nf 64 lin scale
4、contour Thld 5 Time s Frequency Hz 例 图 a 是信号的时域波形 c 是实际的瞬时频率 显然 在任一时刻 该信号都包含两个频率分量 图 b 是按定义计算出的瞬时频率 它在任一时刻 都是单值的 其形状不能反映该信号频率变化的 实际内容 实际上 式对瞬时频率的定义只 是对单分量信号适应 而对多分量信号 该定义给 出的结果是在该时刻其瞬时频率的平均值 更确切 地说 应是信号的 平均瞬时频率平均瞬时频率 t tt dt td i 关于解析信号的解释 jt z tx tjx ta t e 始终有 意义 只有当和的频谱能完全分开时 这 样构成的解析信号才有物理意义 因此才
5、能用 1 5 2 式去求信号的瞬时频率 a t t 00 00 cos HTsin sin HTcos tt tt 互为正 交分量 0 0 cos HT sin x ta tt x ta tt 什么条件下 如果的频谱只在区间 的范围内有值 即是低通信号 0 00 cos sin jt z tx tjx t a ttja tt a t e 上述结论给出了一个实信号和其Hilbert变换构 成正交分量的条件 实际上也是将一个实信号构成 解析信号是否有物理意义的条件 和瞬时频率相对偶的另一个概念是 群延迟 Group Delay GD jX j eX p f f p f 2 1 tx为的 相位延迟
6、定义 tx d d g df fd g f 2 1 为的 群延迟 定义 设是一低通滤波器 通带为B 设输入信号是一幅度调制信号 且是一慢变信号 那么该系统的输 出 即群延迟反映了x t 包络的延迟 而相位延迟反映了 x t 载波的延迟 j eHjH cos 0t txtx a 0 ji ji ji 0 1 Step1Step1 N n nn x 1 1 1 N jnnj n N nnjj n x Step2Step2 做内积 jj x tt dt jj x nn 如果是完备的 线性相关的 那么 由上式的表示必然会存在信息的冗余 对偶 向量也不唯一 这时 我们称 构成空间的一个 标架 frame
7、 n n Z X n n Z n n Z 如果空间中的任一元素都可按下式 X 作分解 那么我们称这一组向量是 完备 complete 的 N n nn x 1 N 21 可能的几种情况 如果是完备的 且是线性无关的 则 是中的一组基向量 这时 存在且唯一 即存如下双正交关系 n n Z n n Z X n n Z ji ji ji 0 1 互为双正交基 如果 意味着 那 么是完备的正交基 则构成的一组正交基 如果 1 ii iN n X 0 n xnZ 0 x n TT 12 0 1 2 1 TT 12 0 5 1 0 5 0 12 21 不是正交的 也不是正交的 但 12 12 1 2 2
8、1 11 2 1 如何求出对偶基 由于和都假定是 N 维空间中的基向量 所以可表为的线性组合 n n n n 1 1 2 N jjkk k bjN 11 NN jijkkijkki kk bb ij 111 1 N NNN bb bb B令 111 1 N NNN 1 B 则 BI 注意 上述求解方法只适用于双正交基 对 标架的情况不适用 1 71 71 71 7正交变换正交变换正交变换正交变换 1 1 111 1 Nx x NNN N x x 1 正交变换的重要性质 正交变换的重要性质 正交变换的重要性质 正交变换的重要性质 性质性质2 2 展开系数是信号在基向量上的准确投影 展开系数是信号
9、在基向量上的准确投影 性质1 正交变换的基向量即是其对偶基向量 因 此在计算上最为简单 xxxxxxxxd 22 性质4 信号正交分解具有最小平方近似性质 性质5 正交变换的系数具有去除相关和集中能 量的性质 0 2 1 2 0 1 1 1 0 xxx xxx xxx T x rNrNr Nrrr Nrrr E xxR 0 2 1 2 0 1 1 1 0 rNrNr Nrrr Nrrr E T R 1 0 N ji ji xx jiR 1 0 N ji ji jiR x 1 若 是一组正交基 则 tk Zk k k1 2 2 1 tk 2 tk 1122 0tktk 21 k k 12 2 2
10、 0 k kk t 定理定理1 7 1 定理定理定理定理1 7 11 7 1 是一个原型函数 其傅立叶变换为 若是两组正交基 即 证明 因为 是一组正交基 所以 tk Zk k k xatk j t k k jk k k X jatk edt ja e 线性组合 FT s jkTjkj kk kk a ea eA e DTFT j X jjA jA jA e 2222 2 1 22 2 2 22 0 11 22 1 2 1 2 2 k k k k xXdAd Ad Akd Parseval 关系 2 222 0 1 2 k k xaAd Parseval 关系 k k1 2 2 正交变换的实例
11、 FS DFT DCT DST DHT K L 2 exp kN jnk k kX 0 0 jkt k e 正交基的选择正交基的选择正交基的选择正交基的选择 原则原则原则原则 具有所希望的物理意义或实用意义 具有所希望的物理意义或实用意义 正交基函数应尽量简单 计算量小 正交基函数应尽量简单 计算量小 最大限度浓缩信号能量 去除相关性 最大限度浓缩信号能量 去除相关性 基函数应能同时具有频域和时域的定位功能 基函数应能同时具有频域和时域的定位功能 1 8 1 8 1 8 1 8 标架标架标架标架 frame frame frame frame 的基本概念的基本概念的基本概念的基本概念 问题的提
12、出 1 对信号一维分解 用于分解的一组函 数 可能是线性相关的 线性独立 的或是正交基 在非正交基的情况下存在信号 分解的完备性和重建的稳定性问题 n nZ 2 本课要重点讨论的多是时间 频率的二 维联合分布 如短时傅里叶变换 Gabor变换 Wigner分布及小波变换等 即 t 找到 实现 x ttX t 时频联 合分析 如何找到二维的正交基函数 t 当我们在计算机上实现上述内积时 应 离散化 得到时频栅格 即 tm n m n tm nZ 构成一组正交基 构成一组基 如果它们不能构成一组基 线性相关 那 么在什么条件下可保证对信号的分解是完备 的 并且可以稳定地实现信号的重建 如何保证 m
13、 n m nZ 在二维平面的离散栅格上 求得正交基较为困难 有 时 信息冗余对分解的稳定性有好处 因此 一般性 地讨论在非正交基的情况下信号分解的完备性和重建 的稳定性有着重要的意义 1 8 1 8 1 8 1 8 标架的基本概念标架的基本概念标架的基本概念标架的基本概念 设是Hilbert空间H中的一组向量 对任 一信号如果存在常数 满足 并使下式成立 则称构成一个标架 显然 标架是Hilbert 空间中的一组向量 n Hx BA 0AB 2 x 信号能量 2 n n x 变换域能量 为保证重建原 信号 它必须是有界的 0AB 因此 3 如果是正交基 则 n nZ 1AB 现仅要求 所以可能
14、线性相关0AB 则 3 如果和很接近 那么和也应 很接近 此性质称为反变换的连续性 即 k k 1 x 2 x 22 k k xA x 将上面两个式中合起来 即是标架的定义 如果 则称 BA Zk k 构成了一个 紧 tight 标架 B A 22 n n xA x 冗余度测量 紧标架时 1B A 如果构成一紧标架 且 则是一正交基 n 1 A n 标架理论最早提出于1952年 后来被引入 信号处理领域 用来研究信号离散表示的完备 性 稳定性 冗余性 1 n 总之 满足标架条件的一组向量在 用于信号的分解时 可以给出完备的 稳定 的信号分解 但是 这种分解很可能是有冗 余的 在紧标架的情况下
15、其冗余的程度由 参数来度量 n B A 定理定理1 8 1 定理定理定理定理1 8 11 8 1 是二维平面中互相垂直的单位向量 显然并不正交 且是线性相关的 用 来分解信号 在分解系数上必然存在冗余 11 e 22 3 12 1 2 ee 22 3 12 1 3 ee 12 e e 123 例 令 2 1 3 2 e 1 e T xxx 21 所以构成紧标架 它用它们 来表示信号 将产生冗余 123 设是一个标架 定义标架算子为 n def nn n Sxxg 定义定义1 8 2 为讨论信号重建问题 需要引人标架算子的概念 S 即标架算子将映射为 x g 思考 正交基 情况 如果是标架算子
16、则可证明如下结论 1 是有界的 即 S S AISBI 定理定理1 8 2 定理定理定理定理1 8 21 8 2 Ixx 恒等算 子 即 I 2 是可逆的 记其逆算子为 则 也是有界的 且 1 S S 1 S 111 BISAI 3 也构成一个标架 标架界 1 n S 11 AB 1 nnn S 的对偶标架 12212 n n BxxAx 4 Hilbert 空间中信号的分解可表为 1 nnnn nn xx Sx 1 nnnn nn xxSx 对标架问题 信号重建的关键是求出对偶标架 1 对紧标架 有 1 nn nZ A 1 kk k xx A 所以 2 对非紧标架 如果比较接近 则 A B 2 nn nZ AB 3 如果不很接近 则对偶标架的求解相当 困难 需要用迭代的方法 当然 重建误差越大 A B Hilbert空间的Riesz基 一组向量被说成是Hilbert空间的Riesz 基 如果 1 是线性无关的 2 存在常数 使得 Riesz基也是一个标架 但其要求要比一般的 标架严 即应是线性无关的 k kZ k kZ 0 0AB 222 j J A xxBx 1 1 1 1 9 9
