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1、2008 年全国硕士研究生入学统一考试 2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题数学三试题 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项 符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项 符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设函数 f x在区间 1上连续 则 1 0 x 是函数 0 x f t dt g x x 的 A跳跃间断点 B可去间断点 无穷间断点 C D振荡间断点 2 设f连续且可导 22 1xy 222 xyu 1 u 则 22 22 D f
2、 uv F u vdudv uv 则 F u A 2 vfu B 2 ufu C 2 vfv D 2 ufv 3 设 24 xy f x ye 则函数在原点偏导数存在的情况是 A 0 0 0 0 xy ff 存在存在 B 0 0 0 0 xy ff 存在不存在 C 0 0 0 0 xy ff 不存在存在 D 0 0 0 0 xy ff 不存在不存在 4 设函数f连续 若 22 22 uv D f xy f u vdxdy xy 其中 uv D为图中阴影部分 则 F u A B 2 vf u 2 v f u u C D vf u v f u u 5 设为阶非 0 矩阵为阶单位矩阵若AE 3 0A
3、 则 AEA 不可逆 不可逆 EA BEA 不可逆 可逆 EA 可逆 可逆 CEA EA DEA 可逆 不可逆 EA 6 设 则在实数域上域与 12 21 A A合同矩阵为 A 21 12 B 21 12 C 21 12 D 12 21 7 随机变量 X Y独立同分布且X分布函数为 F x 则 max ZX Y 分布函数为 A 2 Fx B F x F y C 2 11F x D 11F xF y 8 随机变量 0 1XN 1 4YN 且相关系数1 XY 则 A 21P YX1 B 21P YX1 C 21P YX1 D 21P YX1 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小
4、题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 设函数 2 1 2 xxc f x xc x 在 内连续 则c 10 函数 3 4 1 1 xx fx xx 求积分 2 2 2 f x dx 11 2 D xy dxdy 其中 22 1D xy 12 微分方程0 1 1 xyyy 求方程的特解y 13 设 3 阶矩阵A的特征值 1 2 2 E 为三阶单位矩阵 则 1 4AE 14 设随机变量X服从参数为 1 的泊松分布 则 2 P XEX 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写
5、在答题纸指定的位置上 解答应写出文字说 明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说 明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 9 分 求极限 2 0 1sin limln x x xx 16 本题满分 10 分 设 z z x y 是由方程 22 xyzxyz 所确定的函数 其中 具有 2 阶 导数且1 时 1 求 dz 2 记 1 zz u x y xyxy 求 u x 17 本题满分 11 分 求二重积分max 1 D xydxdy 其中 02 02 Dx yxy 18 本题满分 10 分 f x是周期为 2 的连续函数 1 证明对任意实数都有 22 0 t t fx dxf x dx 2 证
6、明是周期为 2 的周期函数 2 0 2 xt t g xf tf s ds dt 19 本题满分 10 分 设银行存款的年利率为 0 05 并以年复利计算 某基金会希望通过存款 A 万元实现第 一年提取 19 万元 第二年取出 28 万元 第 n 年取出 10 9n 万元 问 A 至少为多 少时 可以一直取下去 20 本题满分 11 分 设 矩 阵 2 2 21 2 1 2 n n a aa A aa 现 矩 阵A满 足 方 程AXB 其 中 1 T n Xxx 1 0 0B 1 求证 1 n Ana 2 为何值 方程组有唯一解 a 3 a为何值 方程组有无穷多解 21 本题满分 11 分 设
7、A为 3 阶矩阵 为 12 a aA的分别属于特征值1 1 特征向量 向量满足 3 a 32 Aaaa 3 证明 1 线性无关 123 a a a 2 令 求 123 Pa a a 1 P AP 22 本题满分 11 分 设随机变量X与Y相互独立 X概率分布为 1 1 0 1 3 P Xii 1 0 Y y fy 其它 Y的概率密 度为 记 10 ZXY 1 求 1 0 2 P ZX 2 求Z的概率密度 23 本题满分 11 分 12 n XXX 是总体为 2 N 的简单随机样本 记 1 1 n i i XX n 22 1 1 1 n i i SXX n 2 2 1 S n TX 1 证 是T
8、 2 的无偏估计量 2 当0 1 时 求 DT 2008 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学三答案数学三答案 一 选择题一 选择题 1 答案 B 解 0 000 lim limlim0 x xxx f t dt g xf xf x 所以0 x 是函数的可去间 断点 g x 2 答案 A 解 用极坐标得 2 22 2 22011 vuu f r r D f uv F u vdudvdvrdrvf r dr uv 2 F vfu u 3 答案 C 解 24 0 00 11 0 0 limlim 00 xx x xx ee f xx 0 00 11 limlim1 00
9、xx xx ee xx 0 0 1 lim1 0 x x e x 故 0 00 0 11 limlim 00 xx xx ee xx 所以偏导数不存在 242 0 00 11 0 0 limlim0 00 yy y yy ee f yy 所以偏导数存在 故选 C 4 答案 A 解 用极坐标得 2 22 2 22011 vuu f r r D f uv F u vdudvdvrdrvf r dr uv 所以 2 F vf u u 5 答案 C 解 23 EA EAAEAE 23 EA EAAEAE 故 EA EA 均可逆 6 答案 D 解 2 2 12 142313 21 EA 0 则 12 1
10、 3 记 12 21 D 则 2 2 12 142313 21 ED 0 则 12 1 3 正 负惯性指数相同 故选 D 7 答案 A 解 max F ZP ZzPX Yz 2 P Xz P YzF z F zFz 8 答案 D 解 设Ya 由Xb 1 XY 知道 X Y正相关 得 排除 A C 0a 由 得 0 1 1 4 XNYN0 1 EXEYE YE aXbaEXb 1 10 abb 排除 C 故选择 D 二 填空题二 填空题 9 答案 1 解 由 2 2 limlim11 xcxc f xf xcc c 10 答案 1 ln3 2 解 2 2 2 11 1 1 1 2 xx xx f
11、x x x x x x 所以 2 2 t f t t 2 22 22 2 2 2 222 11 ln2ln6ln2ln3 2222 x f x dxdxx x 1 11 答案 2 解 2222 1 2 DDD xy dxdyx dxdyxy dxdy 11 2 00 11 2 222 rdrr 12 答案 1 y x 解 由 lnln dyy dydx yx dxxyx 所以 1 x y 又 1 1y 所以 1 y x 13 答案 3 解 A的特征值为 1 2 2 则存在可逆矩阵 使得 P 11 1 2 2 P APB APBPAPB P 111 11111111 44444 1 AEPB P
12、EPB PPEPPBE PBE 因 1 1 1 2 1 2 B 则 1 3 41 1 BE 3 14 答案 1 1 2 e 解 因为 所以 2 DXEXEX 22 2EX X 服从参数为 1 的泊松分布 所以 1 1 2 2 P Xe 三 解答题三 解答题 15 解 22 00 1sin1sin limlnlimln 11 xx xx xxxx 32 000 sincos1sin1 limlimlim 36 xxx xxxx xxx 6 16 解 1 22xdxydydzxyzdxdydz 122dzx dxy dy 22 1 x dxy dy dz 1 2 1 12 11 1222 11 z
13、z u x y xyxy 2xy xy yx xy 223 2 2 1 2 1 2 12 2 12 1 111 x z ux x x 3 1 x 17 解 曲线 xy 1 将区域分成两 18 证明 1 对于 2t t f x dx 令2xu 则 2 0 2 tt t f x dxfu du 因为 f x的周期为 2 所以 2 20 tt f x dxf x dx 所以 20222 020 tt tt f x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 2 22 0 22 xt t g xf tf s ds dt 222 0 22 xtxt txt f tf s ds dtf tf s
14、 ds dt 22 2 xt xt g xf tf s ds dt 222 2 xxt xxt g xf t dtf s dsdt 因为 22 0 t t f x dxf x dx 所以 2222 0 xtx xtx f s dsdtf s dsdt 2 22 00 2 x x tf s dsf s ds 22 0 22 x x f x dxf x dx 所以 22 00 222g xg xf t dtf s dsg x 所以是周期为 2 的周期函数 g x 19 解 设An 为用于第n年的贴现值 则 109 1 n n n A r 故 11111 10911 1092009 1 111 n
15、n nnn nnnnn nn AA r rrr n 设 1 1 1 n n S xnxx 因为 2 1 1 1 1 1 n n xx S xxxxx x x 所以 11 11 0 SS r5 420 万元 故 A 200 9 420 3980 万元 即至少应存入 3980 万元 20 解 1 2 2 2 2 2 21 21 3 2101 2 2 2 1 1 2 2 21 3 01 2 4 034 1 2 3 23 1 1 0 n a a a aa aa aa A aa aa a a a aana an n na n 1 a 2 方程组有唯一解 由 知AxB 0A 又 1 n Ana 故0a 记
16、 由克莱默法则知 n n AA 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 22 22 22 1 21 11 21 021 2 2 1 1 2 2 2121 2121 22 11 22 1 1 nn nn n n n n a aa a aa aa aaA Aaa x aaAA aaaa aaaa aaaa nan nana 3 方程组有无穷多解 由0A 有 则 0a 011 010 0 01 0 0 A B 故 1r A Br An 0Ax 的同解方程组为 2 3 0 0 0 n x x x 则基础解系为 为任意常数 1 0 0 0 T k k 0 k 又 0101 0110 00 01 000 故可取特解为 0 1 0 0 所以的通解为为任意常数 AxB 10 01 00 00 k 21 解 1 假设 123 线性相关 则 3 可由 12 线性表出 不妨设 3112 ll 2 其中不全为零 若同时为 0 则 12 l l 12 l l 3 为 0 由 32 A 3 可知 2 0 11 A 22 A 3232112 Al 2 l 又 31122112 AA llll 2 1122211
