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1、幂级数的和函数幂级数的和函数 一 幂级数的运算 设与 0 n n n ax 0 n n n bx 两个幂级数 收敛半径分别为 1 R 2 R 则在它们 的公共收敛域内可以进行如下的四则运算 i 加法和减法 00 nn nn nn axbx 0 n nn n ab x 其中 为常数 当 12 RR 时 上式的收敛半径为 12 min RR R ii 乘法和除法 0 000 nn nn nnn a xb xc x n 1 其中 011nnnn ca baba b 二 和函数 设的收敛半径为 R R 0 为和函数 则有以下性质 成立 0 n n n a x 0 n n n S xa x i 和函数在
2、 R R 内可导 并且有逐项求导 公式 1 00 nn nn nn S xa xna x 且 同时求导之后 幂级数的收敛半径不变 ii 由此 和函数 S x 在 R R 内任意次 可导 并有逐项求导公式 0 0 1 2 1 knk n n n k n n Sxa x n nnnka x 它的收敛半径仍然为 R iii 在 R R 内逐项积分公式成立 1 00 00 1 xx nn n n nn a S t dta t dtx n 并且 逐项积分后收敛半径也不变 iv 若幂级数在 X R R 出收敛 则该幂级数 0 n n n a x A 0 lim n n xR n S xa R 0 lim
3、n n xR n S xaR B 可以在 0 R 或者 R 0 上逐项积 分 即 1 0 0 1 R n n n a S x dxR n 0 1 0 1 n n n R a S x dxR n C 逐项求导之后的级数 1 00 nn nn nn S xa xna x 在 X R R 处可能发散 D 若在X R R 处发散 则逐项 求导之后的级数在 X R R 一定发 散 0 n n n a x E 若在X R R 处发散 则逐项 求积分之后的级数 0 n n n a x 1 00 00 1 xx nn n n nn a S t dta t dtx n 在X R R 可能收敛 三 和函数的性质 1 性质 1 设幂级数的收敛半径为 R R 0 则其和函数 S x 在区间 R R 连续 如果幂级数 在X R或者 R也收敛 则其和函数在R或者 R也连续 0 n n n a x 2 性质 2 和函数求导公式 3 性质 3 和函数求积分公式 四 幂级数的求和 第一 步 经过适当变性 对和函数求导 第二 步 然后对导函数求积分 第三 步 确定和函数的定义域 根据和函数性质 1 五 补充知识 1 2 1 1 1 n xxxx x 11 2 2 1 1 1 1 1 nn xxxx x 1
