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1、第一节第一节 点估计点估计 一 点估计问题的提法一 点估计问题的提法 二 估计量的求法二 估计量的求法 三 小结三 小结 一 点估计问题的提法一 点估计问题的提法 设总体设总体 X 的分布函数形式已知的分布函数形式已知 但它的一个但它的一个 或多个参数为未知或多个参数为未知 借助于总体借助于总体 X 的一个样本来的一个样本来 估计总体未知参数的值的问题称为估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题点估计问题 0 试估计参数试估计参数 设有以下的样本值设有以下的样本值为未知为未知参数参数数的泊松分布数的泊松分布 为参为参假设它服从以假设它服从以是一个随机变量是一个随机变量次数次数 一天中发生着火现
2、象的一天中发生着火现象的在某炸药制造厂在某炸药制造厂 X 例例1 25012622549075 6543210 k n k k 火的天数火的天数 次着次着发生发生 着火次数着火次数 解解 X因为因为 XE 所以所以 用样本均值来估计总体的均值用样本均值来估计总体的均值 E X 6 0 6 0 k k k k n kn x 162564 223542901750 250 1 22 1 22 1 的估计为的估计为故故 XE 点估计问题的一般提法点估计问题的一般提法 21 21 为相应的一个样本值为相应的一个样本值本本 的一个样的一个样是是是待估参数是待估参数知知 的形式为已的形式为已的分布函数的分
3、布函数设总体设总体 n n xxx XXXX xFX 2121 来估计未知参数来估计未知参数 用它的观察值用它的观察值 一个适当的统计量一个适当的统计量点估计问题就是要构造点估计问题就是要构造 nn xxxXXX 21 的估计量的估计量称为称为 n XXX 21 的估计值的估计值称为称为 n xxx 简记为简记为 通称估计通称估计 150 0 试估计参数试估计参数数据如下数据如下内断头的次数内断头的次数 只纱锭在某一时间段只纱锭在某一时间段现检查了现检查了为未知为未知参数参数 为参数的泊松分布为参数的泊松分布假设它服从以假设它服从以随机变量随机变量 是一个是一个断头次数断头次数在某纺织厂细纱机
4、上的在某纺织厂细纱机上的 X 1501129326045 6543210 k nk k 次的纱锭数次的纱锭数断头断头 断头次数断头次数 的估计值的估计值作为参数作为参数把把 的观察值的观察值再计算出再计算出先确定一个统计量先确定一个统计量 x xXX解解 133 1 x 133 1的估计值为的估计值为 例例2 二 估计量的求法二 估计量的求法 由于估计量是样本的函数由于估计量是样本的函数 是随机变量是随机变量 故故 对不同的样本值对不同的样本值 得到的参数值往往不同得到的参数值往往不同 如何如何 求估计量是关键问题求估计量是关键问题 常用构造估计量的方法常用构造估计量的方法 两种两种 矩估计法
5、和最大似然估计法矩估计法和最大似然估计法 1 矩估计法矩估计法 21 21 21 为待估参数为待估参数其中其中 其分布律为其分布律为 为离散型随机变量为离散型随机变量或或 其概率密度为其概率密度为为连续型随机变量为连续型随机变量设设 k k k xpxXP Xxf X 的样本 的样本 为来自为来自若若XXXX n 21 阶矩存在阶矩存在的前的前假设总体假设总体kX 21 即即的函数的函数且均为且均为 k xxfxXE k ll l d 21 X为连续型为连续型 21k Rx ll l xpxXE X 或或 X为离散型为离散型 klxRX 2 1 可能取值的范围可能取值的范围是是其中其中 2 1
6、 1 1 kl X n A l n i l il 总体矩总体矩 依概率收敛于相应的依概率收敛于相应的因为样本矩因为样本矩 的连续函数的连续函数 率收敛于相应的总体矩率收敛于相应的总体矩样本矩的连续函数依概样本矩的连续函数依概 矩估计法的定义矩估计法的定义 用样本矩来估计总体矩用样本矩来估计总体矩 用样本矩的连续函用样本矩的连续函 数来估计总体矩的连续函数数来估计总体矩的连续函数 这种估计法称为这种估计法称为矩矩 估计法估计法 矩估计法的具体做法矩估计法的具体做法 2 1 klAl l 令令 21 的方程组的方程组个未知参数个未知参数这是一个包含这是一个包含 k k 21k 解出其中解出其中 2
7、121 量量这个估计量称为矩估计这个估计量称为矩估计估计量估计量 的的分别作为分别作为用方程组的解用方程组的解 kk 矩估计量的观察值称为矩估计值矩估计量的观察值称为矩估计值 0 0 21 的估计量的估计量求求 的样本的样本是来自总体是来自总体未知未知 其中其中上服从均匀分布上服从均匀分布在在设总体设总体 XXXX X n 解解 1 XE 因为因为 2 根据矩估计法根据矩估计法 2 1 XA 令令 2 的估计量的估计量为所求为所求所以所以 X 例例3 21 的估计量的估计量 求求的样本的样本是来自总体是来自总体未知未知 其中其中上服从均匀分布上服从均匀分布在在设总体设总体 b aXXXXb a
8、baX n 解解 1 XE 2 ba 2 2 XE 412 22 baba 2 XEXD 1 2 1 1 n i i X n A ba 令令 2 22 4 12 A baba 1 1 2 n i i X n 例例4 12 2 2 12 1 AAab Aba 即即 解方程组得到解方程组得到a b的矩估计量分别为的矩估计量分别为 3 2 121 AAAa 3 1 2 n i i XX n X 3 2 121 AAAb 3 1 2 n i i XX n X 10 2 1 1 21 1 的估计量的估计量求求的样本的样本体体 是来自总是来自总未知未知其中其中 即有分布律即有分布律服从几何分布服从几何分布
9、设总体设总体 pX XXXpp kppkXP X n k 解解 1 XE 1 1 1 k k ppk 1 p 1 1 XA p 令令 1 的估计量的估计量为所求为所求所以所以p X p 例例5 0 2 21 22 2 的矩估计量的矩估计量和和求求一个样本一个样本 是是又设又设均为未知均为未知和和但但 且有且有都存在都存在和方差和方差的均值的均值设总体设总体 n XXX X 解解 1 XE 2 2 XE 22 2 XEXD 2 22 1 A A 令令 解方程组得到矩估计量分别为解方程组得到矩估计量分别为 1 XA 2 12 2 AA n i i XX n 1 2 21 1 1 2 n i i X
10、X n 例例6 上例表明上例表明 总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不 同的总体分布而异同的总体分布而异 的矩估计量的矩估计量即得即得未知未知例例 222 NX X 2 1 1 2 n i i XX n 一般地一般地 1 1 的均值的矩估计的均值的矩估计作为总体作为总体用样本均值用样本均值XX n X n i i 1 2 1 2 的方差的矩估计的方差的矩估计 作为总体作为总体用样本二阶中心矩用样本二阶中心矩 X XX n B n i i 2 最大似然估计法最大似然估计法 属离散型属离散型设总体设总体 X 1 为待估参数为待估参数设分布律设分布律xpkXP
11、 21 的样本的样本是来自总体是来自总体XXXX n 1 21 n i in xpXXX 的联合分布律为的联合分布律为则则 似然函数的定义似然函数的定义 可能的取值范围可能的取值范围是是其中其中 2121 的概率的概率取到观察值取到观察值则样本则样本 nn xxxXXX 发生的概率为发生的概率为即事件即事件 nn xXxXxX 2211 1 21 n i in xpxxxLL 称为样本似然函数称为样本似然函数 L 2121 一个样本值一个样本值 的的为相应于样本为相应于样本又设又设 nn XXXxxx 最大似然估计法最大似然估计法 21 Lxxx n 选取使似然函数选取使似然函数时时得到样本值
12、得到样本值 的估计值的估计值作为未知参数作为未知参数取得最大值的取得最大值的 max 2121 nn xxxLxxxL 即即 可能的取值范围可能的取值范围是是其中其中 21 21 n n xxx xxx 记为记为有关有关与样本值与样本值这样得到的这样得到的 21n XXX 的最大似然估计值的最大似然估计值参数参数 的最大似然估计量的最大似然估计量参数参数 属连续型属连续型设总体设总体 X 2 为待估参数为待估参数设概率密度为设概率密度为xf 21 的样本的样本是来自总体是来自总体 XXXX n 1 21 n i in xfXXX 的联合密度为的联合密度为则则 似然函数的定义似然函数的定义 可能
13、的取值范围可能的取值范围是是其中其中 2121 一个样本值一个样本值 的的为相应于样本为相应于样本又设又设 nn XXXxxx 概率近似地为概率近似地为的的 内内维立方体维立方体的的边长分别为边长分别为邻域邻域 的的落在点落在点则随机点则随机点 d d d 21 2121 nxxx xxxXXX n nn d 1 i n i i xxf 1 21 n i in xfxxxLL 称为样本的似然函数称为样本的似然函数 L max 2121 nn xxxLxxxL 若若 21n xxx 21n XXX 的最大似然估计值的最大似然估计值参数参数 的最大似然估计量的最大似然估计量参数参数 求最大似然估计
14、量的步骤求最大似然估计量的步骤 1 21 1 21 n i in n i in xfxxxLL xpxxxLL 或或 写出似然函数写出似然函数一一 ln ln ln ln 11 n i i n i i xfLxpL或或 取对数取对数二二 费舍尔费舍尔 最大似然估计法是由费舍尔引进的最大似然估计法是由费舍尔引进的 0 d lnd d lnd 的最大似然估计值的最大似然估计值解方程即得未知参数解方程即得未知参数 并令并令求导求导对对三三 LL 最大似然估计法也适用于分布中含有多个最大似然估计法也适用于分布中含有多个 未知参数的情况未知参数的情况 此时只需令此时只需令 2 1 0lnkiL i 2
15、1 ii ki k 的最大似然估计值的最大似然估计值数数 即可得各未知参即可得各未知参个方程组成的方程组个方程组成的方程组解出由解出由 对数似然方程组对数似然方程组 对数似对数似 然方程然方程 1 21 的最大似然估计量的最大似然估计量求求个样本个样本 的一的一是来自是来自设设 p XXXXpBX n 2121 一个样本值一个样本值 的的为相应于样本为相应于样本设设 nn XXXxxx 解解 1 0 1 1 xppxXPX xx 的分布律为的分布律为 似然函数似然函数 ii x n i x pppL 1 1 1 1 11 n i i n i i xnx pp 例例7 1ln ln ln 11
16、pxnpxpL n i i n i i 0 1 ln d d 11 p xn p x pL p n i i n i i 令令 的最大似然估计值的最大似然估计值解得解得 p 1 1 xx n p n i i 的最大似然估计量为的最大似然估计量为p 1 1 XX n p n i i 这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的 0 21 似然估计量似然估计量 的最大的最大求求的一个样本的一个样本是来自是来自 的泊松分布的泊松分布服从参数为服从参数为设设 XXXX X n 解解 的分布律为的分布律为因为因为X 2 1 0 e nx x xXP x n ii x x L i 1 e e 1 1 n i i x n x n i i 的似然函数为的似然函数为所以所以 例例8 ln ln 11 n i i n i i xxnL 0 ln d d 1 n i i x nL令令 的最大似然估计值的最大似然估计值解得解得 1 1 xx n n i i 的最大似然估计量为的最大似然估计量为 1 1 XX n n i i 这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的 2 21 22 的
