固体物理学答案 黄昆原著 韩汝琦改编资料

《固体物理学答案 黄昆原著 韩汝琦改编资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《固体物理学答案 黄昆原著 韩汝琦改编资料（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 1 固体物理学 习题解答 固体物理学 习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 第一章第一章 晶体结构晶体结构 1 11 1 解解 实验表明 很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构 因此 可以把这些原子或 离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成 这样 一个单原子的晶体原胞就可以看作是相 同的小球按点阵排列堆积起来的 它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体 积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比 即 晶体原胞的空间利用率 Vc nV x 1 对于简立方结构 见教材P2图1 1 a 2r V 3 r 3 4 Vc a 3 n 1 52 0 6r8 r 3 4 a

2、r 3 4 x 3 3 3 3 2 对于体心立方 晶胞的体对角线BG x 3 34 ar4a3 n 2 Vc a 3 68 0 8 3 r 3 34 r 3 4 2 a r 3 4 2 x 3 3 3 3 3 对于面心立方 晶胞面对角线BC r22a r4a2 n 4 Vc a 3 74 0 6 2 r22 r 3 4 4 a r 3 4 4 x 3 3 3 3 4 对于六角密排 a 2r晶胞面积 S 6 2 60sinaa 6S ABO 2 a 2 33 晶胞的体积 V 332 r224a23a 3 8 a 2 33 CS n 123 2 1 2 6 1 12 6个 74 0 6 2 r22

3、4 r 3 4 6 x 3 3 5 对于金刚石结构 晶胞的体对角线BG 3 r8 ar24a3 n 8 Vc a 3 2 34 0 6 3 r 33 8 r 3 4 8 a r 3 4 8 x 3 3 3 3 3 1 21 2 试证 六方密排堆积结构中试证 六方密排堆积结构中633 1 3 8 a c 2 1 证明 在六角密堆积结构中 第一层硬球A B O的中心联线形成一个边长a 2r的正三角形 第二 层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切 于是 NA NB NO a 2R 即图中NABO构成一个正四面体 1 31 3 证明 面心立方的倒格子是体心立方 体心立方的倒格子是面心立方

4、 证明 面心立方的倒格子是体心立方 体心立方的倒格子是面心立方 证明 1 面心立方的正格子基矢 固体物理学原胞基矢 1 2 3 2 2 2 a ajk a aik a aij 由倒格子基矢的定义 123 2 baa 3 123 0 22 0 224 0 22 aa aaa aaa aa 2 23 0 224 0 22 ijk aaa aaijk aa 2 1 3 42 2 4 a bijkijk aa 同理可得 2 3 2 2 bijk a bijk a 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同 所以 面心立方的倒格子是体心立方 2 体心立方的正格子基矢 固体物理学原胞基矢 1 2 3

5、2 2 2 a aijk a aijk a aijk 由倒格子基矢的定义 123 2 baa 3 3 123 222 2222 222 aaa aaaa aaa aaa 2 23 2222 222 ijk aaaa aajk aaa 2 1 3 22 2 2 a bjkjk aa 同理可得 2 3 2 2 bik a bij a 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同 所以 体心立方的倒格子是面心立方 1 51 5 证明倒格子矢量证明倒格子矢量 1 12 23 3 Ghbh bh b 垂直于密勒指数为垂直于密勒指数为 1 23 hh h的晶面系 的晶面系 证明 因为 3312 1323

6、 aaaa CACB hhhh 1 12 23 3 Ghbh bh b 利用2 ijij a b 容易证明 1 2 3 1 2 3 0 0 h h h h h h GCA GCB 所以 倒格子矢量 1 12 23 3 Ghbh bh b 垂直于密勒指数为 1 23 hh h的晶面系 1 61 6 对于简单立方晶格 证明密勒指数为对于简单立方晶格 证明密勒指数为 h k l的晶面系 面间距的晶面系 面间距d满足 满足 22222 dahkl 其中其中a为立方边长 并说明面指数简单的晶面 其面密度较大 容易解理 为立方边长 并说明面指数简单的晶面 其面密度较大 容易解理 解 简单立方晶格 123

7、aaa 123 aaiaajaak 由倒格子基矢的定义 23 1 123 2 aa b a aa 31 2 123 2 aa b a aa 12 3 123 2 aa b a aa 倒格子基矢 123 222 bibj bk aaa 倒格子矢量 123 Ghbkblb 222 Ghikjlk aaa 4 晶面族 hkl的面间距 2 d G 222 1 hkl aaa 2 2 222 a d hkl 面指数越简单的晶面 其晶面的间距越大 晶面上格点的密度越大 单位表面的能量越小 这样 的晶面越容易解理 1 91 9 画出立方晶格 画出立方晶格 111111 面 面 100100 面 面 1101

8、10 面 并指出 面 并指出 111111 面与 面与 100100 面 面 111111 面 面 与 与 110110 面的交线的晶向 面的交线的晶向 解 111 1 111 面与 100 面的交线的 AB AB 平移 A 与 O 点重合 B 点位矢 B Rajak 111 面与 100 面的交线的晶向ABajak 晶向指数 011 111 2 111 面与 110 面的交线的 AB 将 AB 平移 A 与原点 O 重合 B 点位矢 B Raiaj 111 面与 110 面的交线的晶向ABaiaj 晶向指数 110 第二章第二章 固体结合固体结合 2 12 1 两种一价离子组成的一维晶格的马

9、德隆常数 两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数 2ln2 和库仑相互作用能 设离子的总 和库仑相互作用能 设离子的总 数为数为2N 解 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键 取任一负离子作参考离子 这样马德隆常数中的正负号可以这样取 即遇正离子取正号 遇负离子取负号 用 r 表示相邻 离子间的距离 于是有 1 1111 2 234 j ij rrrrrr 前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 i r的离子 一个在参考离子左面 一个在其右面 故对 5 一边求和后要乘 2 马德隆常数为 234 1 34 n xxx xx x 当 X 1 时 有 111 1 2 234 n 2 32

10、 3 若一晶体的相互作用能可以表示为 若一晶体的相互作用能可以表示为 mn u r rr 试求 试求 1 1 平衡间距 平衡间距 0 r 2 2 结合能 结合能W 单个原子的 单个原子的 3 3 体弹性模量 体弹性模量 4 4 若取 若取 0 2 10 3 4mnrA WeV 计算 计算 及及 的值 的值 解解 1 1 求平衡间距求平衡间距 r r0 0 由0 0 rr dr rdu 有 mn nm nm m n n m r r n r m 1 1 0 1 0 1 0 0 结合能 设想把分散的原子 离子或分子 结合成为晶体 将有一定的能量释放出来 这 个能量称为结合能 用 w 表示 2 2 求

11、结合能求结合能 w w 单个原子的 单个原子的 题中标明单个原子是为了使问题简化 说明组成晶体的基本单元是单个原子 而非原子团 离子基团 或其它复杂的基元 显然结合能就是平衡时 晶体的势能 即 Umin 即 nm rr rUW 00 0 可代入 r0值 也可不代入 3 3 体弹性模量 体弹性模量 由体弹性模量公式 0 2 2 0 2 0 9 r r U V r k 4 4 m m 2 2 n n 10 10 Ar3 0 w w 4 4eVeV 求 求 8 1 8 1 0 5 2 10 r 5 5 4 8 0 2 0 10 2 0 0 代入 r rrr rU eV r rUW4 5 4 2 0

12、0 111 2 1 234 22 n 6 将 Ar3 0 JeV 19 10602 11 代入 2115 238 10459 9 10209 7 mN mN 1 平衡间距 r0的计算 晶体内能 2 mn N U r rr 平衡条件 0 0 r r dU dr 11 00 0 mn mn rr 1 0 n m n r m 2 单个原子的结合能 0 1 2 Wu r 0 0 mn r r u r rr 1 0 n m n r m 1 1 2 m n m mn W nm 3 体弹性模量 0 2 0 2 V U KV V 晶体的体积 3 VNAr A 为常数 N 为原胞数目 晶体内能 2 mn N U

13、 r rr UUr VrV 112 1 23 mn Nmn rrNAr 2 2112 1 23 mn UNrmn VVrrrNAr 0 222 22 00000 1 2 9 mnmn V V UNmnmn VVrrrr 由平衡条件 0 112 000 1 0 23 mn V V UNmn VrrNAr 得 00 mn mn rr 0 222 22 000 1 2 9 mn V V UNmn VVrr 0 2 22 000 1 2 9 mn V V UNmn mn VVrr 2 000 2 9 mn N nm Vrr 0 00 2 mn N U rr 0 2 0 22 0 9 V V Umn U

14、 VV 7 体弹性模量 0 0 9 mn KU V 4 若取 0 2 10 3 4mnrA WeV 1 0 n m n r m 1 1 2 m n m mn W nm 10 0 2 W r 2 0 10 0 2 rW r 9510 1 2 10eV m 192 9 0 10eV m 2 62 6 bccbcc 和和 fcc Nefcc Ne 的结合能 用林纳德的结合能 用林纳德 琼斯琼斯 Lennard Lennard Jones Jones 势计算势计算 NeNe 在在 bccbcc 和和 fccfcc 结构中结构中 的结合能之比值 的结合能之比值 解 126126 1 4 4 2 nl u

15、 ru rNAA rrrr 2 66 612 00 612 1 02 2 r AAdu r ruN rAA 22 066 2 01212 12 25 9 11 0 957 14 45 12 13 bccbcc fccfcc u rAA u rAA 2 72 7 对于对于 2 H 从气体的测量得到 从气体的测量得到 LennardLennard JonesJones 参数为参数为 6 50 10 2 96 JA 计算计算 fccfcc 结构结构 的的 2 H的结合能的结合能 以以 KJ molKJ mol 单位单位 每个氢分子可当做球形来处理 结合能的实验值为 每个氢分子可当做球形来处理 结合能

16、的实验值为 0 751kJ0 751kJ mo1mo1 试与计算值比较 试与计算值比较 解 以 2 H为基团 组成 fcc 结构的晶体 如略去动能 分子间按 Lennard Jones 势相互 作用 则晶体的总相互作用能为 126 126 2 ijij ij UNPP RR 612 14 45392 12 13188 ijij ji PP 1623 50 10 2 96 6 022 10 ergA Nmol 126 2816 2 962 96 2 6 022 10 50 1012 1314 452 55 3 163 16 U UmolergKJ mol 0 将R 代入得到平衡时的晶体总能量为 因此 计算得 到的 2 H晶体的结合能为 2 55KJ mol 远大于实验观察值 0 75lKJ mo1 对于 2 H的晶体 量子修正是很重要的 我们计算中没有考虑零点能的量子修正 这正是造成理论和实验值之 间巨大差别的原因 8 第三章第三章 固格振动与晶体的热学性质固格振动与晶体的热学性质 3 13 1 已知一维单原子链 其中第已知一维单原子链 其中第j个格波 在第个格波 在第n个格点引起的位移