《15年10月第七届全国大学生数学竞赛非数学类预赛答案非数学类专业答案资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《15年10月第七届全国大学生数学竞赛非数学类预赛答案非数学类专业答案资料（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2015 年第七届预赛 非数学类 参考答案年第七届预赛 非数学类 参考答案 一 每小题 6 分 共计 30 分 1 极限 222 2 sinsin sin2 lim 12 n nn n nnnn L 解 由于 11 sin 1 sin 1 nn ii i i n i nn n n 1 1 sin n i i nn 而 1 1 limsin 1 n n i i nn 0 1 12 limsinsin 1 n n i ni xdx nnn 1 1 limsin n n i i nn 1 1 limsin n n i i nn 0 12 sin xdx 所以所求极限是 2 2 设函数 zz x y
2、 由方程 0 zz F xy yx 所决定 其中 F u v具有连续偏导 数 且0 uv xFyF 则 zz xyzxy xy 本小题结果要求不显含 F 及其 偏导数 解 方程对 x 求导 得到 2 11 10 uv zzz FF yxxxx 即 2 vu uv zy zFx F x xxFyF 同样 方程对 y 求导 得到 2 uv uv zx zFy F y yxFyF 于是 uvuv uv zzz xFyFxy xFyF xyzxy xyxFyF 3 曲面 22 1zxy 在点 M 1 1 3 的切平面与曲面 22 zxy 所围区域的体积为 2 解 曲面 22 1zxy 在点 M 1 1
3、 3 的切平面 2 1 2 1 3 0 xyz 即221zxy 联立 22 221 zxy zxy 得到所围区域的投影 D 为 22 1 1 1xy 所求体积 2222 221 1 1 1 DD Vxyxydxdyxydxdy 令 1cos 1sin xrt yrt 21 2 00 1 2 Vdtrrdr 4 函数 3 5 0 0 0 5 x f x x 在 5 5 的傅立叶级数在 x 0 收敛的值 3 2 解 由傅里叶收敛定理 易知 f 0 3 2 5 设区间 0 上的函数 u x定义为 2 0 xt u xedt 则 u x的初等函数表达式为 2 x 解解 由于 2222 2 00 0 0
4、 xtxsx st st uxedtedsedsdt 故有 222 2 22 000 0 444 xxx uxdededxe xxx 所以 2 u x x 二 12 分 设 M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面 求其方程 解 显然 O 0 0 0 为 M 的顶点 A 1 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 在 M 上 由 A B C 三点决定的平 面1xyz 与球面 222 1xyz 的交线 L 是 M 的准线 4 分 设P x y z 是M上的点 u v w 是M的母线OP与L的交点 则OP的方程为 1xyz uvwt 即 u xt v yt w zt 8 分 代入准线方程 得 2222
5、1 1 xyz t xyzt 消除 t 得到圆锥面 M 的方程0 xyyzzx 12 分 三 12 分 设 f x在 a b内二次可导 且存在常数 使得对于 xa b fxf xfx 则 f x在 a b内无穷次可导 证明 1 若0 对于 xa b 有 fxf x 2 fxfxf x L nn fxf x 从而 f x在 a b内无穷次可导 4 分 2 若0 对于 xa b 有 11 fxf x fxA fxB f x 1 其中 11 1 AB 6 分 因为 1 右端可导 从而 11 fxA fxB fx 8 分 设 1 2 11 1 nnn fxA fxB fx n 则 1 1 11 nnn
6、 fxA fxB fx 故 f x任意阶可导 12 分 四 14 分 求幂级数 0n 3 1 1 2 n x n n 的收敛域与和函数 解 因 0 2 2 2 1 3 3 1 limlim nn n a a n n n n 固收敛半径 R 收敛域为 4 分 由 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 nnnnn n n nnn n n 2 n 及幂级数 n n x n 1 2 1 2 n n x n 1 1 0 和 n n x n 1 1 1 0 的收敛域皆为 得 n n n n n n n x n x n x n x n n 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 0
7、020n 3 7 分 用 1 xS 2 xS和 3 xS分别表示上式右端三个幂级数的和函数 依据 x e的展开式得到 0 122 1 1 1 1 1 n xn exx n xxS 1 2 x exS 再由 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 3 xn n n n ex n x n xSx 得到 当1 x时 1 1 1 1 3 x e x xS 10 分 又1 1 3 S 12 分 综合以上讨论 最终得到所给幂级数的和函数 xS 1 1 1 1 22 112 xe x exx xx 2 1 x 14 分 五 16 分 设函数f在 0 1 上连续 且 11 00 0 1f x dxxf x
8、 dx 试证 1 0 0 1 x 使 0 4f x 2 1 0 1 x 使 1 4f x 证明 1 若 0 1 x 4f x 则 111 000 111 1 41 222 xf x dxxf x dxxdx 4 分 因此 1 0 1 1 2 xf x dx 而 1 0 1 41 2 xdx 故 1 0 1 4 0 2 xf xdx 8 分 所以对于任意的 0 1 x 4 f x 由连续性知 4f x 或 4f x 这就与条件 1 0 0f x dx 矛盾 故 0 0 1 4xf x 0 使 10 分 2 先证 2 0 1 x 使4f x 2 若不然 对任何 0 1 x 4f x 成立 则 4f
9、 x 恒成立 或者 4f x 恒成立 与 1 0 0f x dx 矛盾 再由 f x的连续性及 1 的结果 利用介值定理 1 0 1 x 使4f x 1 16 分 六 16 分 设 f x y在 22 1xy 上有连续的二阶偏导数 222 2 xxxyyy fffM 若 0 0 0f 0 0 0 0 0 xy ff 证明 22 1 4 xy M f x y dxdy 证明 在点 0 0 展开 f x y得 2 222 22 22 11 2 22 f x yxyfxyxxyyfxy xyxx yy 其中 0 1 6 分 记 222 22 u v wfxy xx yy 则 22 1 2 2 f x yuxvxywy 由于 222 2 2uv wuvwM 以及 2222 2 xxy yxy 我们有 2222 2 2 uv wxxy yMxy 即 22 1 2 f x yM xy 13 分 从而 2222 22 11 24 xyxy MM f x y dxdyxy dxdy 16 分
