《大学线性代数-Laplace展开定理和行列式计算方法小结资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学线性代数-Laplace展开定理和行列式计算方法小结资料（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、Laplace 展开定理展开定理 二 二 Laplace定理定理 行列式按某几行或几列展开行列式按某几行或几列展开 定义定义 12 1 k iii 2211 1 kk jjjiii M 即即 中中 kn 1 个元素 个元素 按原来的顺序按原来的顺序 余下的元素按原来的顺序余下的元素按原来的顺序 余子式余子式 其中其中 k i ii 12 k jjj 12 12k jjj 1112131415 2122232425 3132333435 4142434445 5152535455 aaaaa aaaaa aaaaaD aaaaa aaaaa 行 行 行 行 5 3 列列列列 42 M aaa a
2、aa aaa 111315 212325 414345 M 111315 aaa 212325 aaa 414345 aaa 141 1 M 3234 aa 5254 aa 3 5 24 如如 M M D aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa 1112131415 2122232425 3132333435 4142434445 5152535455 5 3 1 4 3 1 M 1 aa aa 2225 4245 aaa 111314 aaa 313334 aaa 515354 aa 4245 aa aa 2225 4245 13 5 134 aa 2225 Laplac
3、e 定理定理 例例1 1 aa bbb cccc dddd 12 123 1234 1234 00 0 12 12 aa bb 1 13 0a bb 2 23 0a bb 1 1 1 12 12 12 13 12 23 34 cc 34 dd 24 cc 24 dd 14 cc 14 dd 6 0000 0000 0000 0000 0000 0000 b b b b b a a a b a a a D a a b b 例例2 2 00 00 00 00 a a a b b b ba 1 34 34 3 22 ab 1 23 23 a a b b ab ba ab ba 3 ab ba a a
4、 b b 00 00 00 00 a a a b b b ba n a a a b b b b a b D b a a 2 1 n n 例例3 3 k kkk r rrrkr k r ccbb bcb a c aa a 11 111 1 1 1 1 11 1 00 00 krkr k kkk aa aa 111 1 r rrr bb bb 111 1 例例4 4 111 1 111 111 1 1 00 00 r kkr k k r rr kk r aa a bb b acc b cc r rrr bb bb 111 1 k kkk aa aa 111 1 krkr 例例5 5 111 1 1
5、1 1 11 1 1 1 00 00 k r k kk k k rrrr r ccbb b aa aa bcc krkr 例例6 6 1 利用行列式定义直接计算 利用行列式定义直接计算 2 利用行列式的性质计算 利用行列式的性质计算 3 化为三角形行列式 化为三角形行列式 4 降阶法 降阶法 5 逆推公式法 逆推公式法 6 利用 利用已知行列式 已知行列式 范德蒙行列式范德蒙行列式 7 加边法 升阶法 加边法 升阶法 8 数学归纳法 数学归纳法 9 分拆法分拆法 1 利用行列式定义直接计算 利用行列式定义直接计算 0010 0200 1000 000 n D n n 2 利用行列式的性质计算
6、利用行列式的性质计算 12131 12232 13233 123 0 0 0 0 n n nn nnn aaa aaa Daaa aaa 3 化为三角形行列式化为三角形行列式 abbb babb Dbbab bbba 4 降阶法 降阶法是按某一行 或一列 展开行列式 这样可以降低一阶 更一般地是用 Laplace 定理 0001 0000 0000 0000 1000 n a a a D a a 1 000000 000000 1 000 000 0001000 n aa aa aa a a 12 1 1 nnnn aa 2nn aa 5 递推公式法 1221 1000 0100 0001 n
7、 nnn x x D x aaaaax 12321 1000 0100 0001 nnn x x x x aaaaax 1 1000 100 1 001 n n x a x 1nn axD 6 利用 利用已知行列式已知行列式 Vandermonder行列式行列式 12 222 1122 121212 1122 111 111 n nn nnnnnn nn xxx Dxxxxxx xxxxxx 12 222 12 111 12 1 111 n n nnn n ij n ij xxx xxx xxx xx 7 加边法 升阶法 加边法 又称升阶法 是在原行列式中增加一行一列 且保持原行列式不变的方
8、法 12 12 12 12 n n nn n xaaa axaa Daaa aaxa 1 1 0 0 n n aa D 12 1 100 2 1 100 100 n i aaa x inx x 第 行减第1行 12 1 1 000 000 000 n j n j a aaa x x x x 箭形行列式 8 数学归纳法 1221 1000 0100 0001 n nnn x x D x aaaaax 9 拆开法 分拆法 112 122 12 n n nn n aaa aaa D aaa 12 122 12 n n nn aaa aaa aaa 2 12 22 0 0 n n nn aa aa aa 12 2 00 00 n n aaa 11n D 12 1 1 n i n i i a
