微分流形与微分形式资料

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1、 137 第七章 微分流形 第七章 微分流形 这一章我们将讨论怎样将微积分的理论推广到更一般的空间上 我们将给出微分流形的定义 讨论外代数 微分形式和外微分 并在微 分流形上定义积分 研究推广的 Stokes 定理 我们的目的一方面是对 微积分的理论进行一些总结 使读者能够更好的理解前面学过的定理 及定理所需的条件 另一方面也为读者介绍一些现代数学的基本概念 研究对象和研究方法 需要说明的是下面讨论中我们并不追求定义和 定理的广泛性 但我们希望用到的概念和定理在本书中都能找到 7 1 微分流形 7 1 微分流形 前面我们讨论了极限 微分和积分 给出了微积分的各种定理 我们的讨论对象都是 n 维

2、欧氏空间中的区域及区域上的函数 而如果 将平面看作曲面的特殊情况 n 维欧氏空间看作 n 维曲面的特殊情况 假定我们就置身于曲面之中 我们的问题是怎样将前面讨论过的微积 分的各种理论推广到曲面上 对此我们先从极限理论的推广开始 在实数的极限理论中 序列 n x趋于 0 x可以表示为对于包含 0 x 的任意开集U 存在N 使得只要nN 就有 n xU 在这一定义 中 我们将开集看作是其所包含的所有点的邻域 利用开集来描述接 近 取极限 的过程 同样的 设 f p是区域 n UR 上的函数 不难 验证 f p在U上连续的充分必要条件是对于实轴R中的任意开集 O 1 fO 是U中的开集 我们看到 对

3、于连续 我们同样只需知道 什么集合是开集即可 因此 如果我们希望对于一般的集合以及集合 之间的映射推广极限和连续的概念 我们只需推广开集的概念即可 对此 我们可以将欧氏空间中开集满足的基本性质作为公理 给出下 面定义 定义定义 集合X称为拓扑空间 如果指定了X的某些子集作为X 中的开集 并且这些开集满足 138 1 X本身和空集 都是开集 2 X中任意有限个多个开集的交是开集 3 X中任意多个开集的并仍然是开集 我们将拓扑空间X的所有开集组成的集合记为 T 即 TOX O 是开集 T称为X的一个拓扑结构 这时可以将拓扑空间X记为 X T 显 然一个集合上可以有各种不同的拓扑结构 对于一个拓扑空

4、间X 我们将X中开集的余集称为闭集 由开 集满足的性质不难得到闭集满足 1 X和空集 都是闭集 2 任意 有限个多个闭集的并是闭集 3 任意多个闭集的交是闭集 如果SX 是拓扑空间X的任意子集 令 X T SOS O 是 的开集 则 S T S也是一拓扑空间 其称为X的子空间 特别的欧氏空间 中任意子集 n UR U作为子空间 其在 n R中的拓扑称为 n R的相 对拓扑 其开集和闭集分别称为U在 n R中的相对开集和相对闭集 另一方面 如果SX 是拓扑空间X的任意子集 令 X SB BS 是 的闭集 由于任意多个闭集的交是闭集 得S是闭集 其是X中所有包含S的 闭集里最小的一个 称为S的闭包

5、 例例 1 设X是任意集合 令T为由X中的所有子集构成的集合 则显然T满足上面拓扑空间开集的定义 因而构成X的一个拓扑结 构 称为X的离散拓扑 这时X的每一个点自身就是开集 作为邻域 其不含别的点 例例 2 设X是任意集合 令 TX 则T满足上面定义 因 而也构成X的一个拓扑结构 139 例例 3 设 1 2 3 4 X 令 1 2 TX 则T构成X的一 个拓扑结构 设 X T是一给定的拓扑空间 称X中的序列 n x趋于 0 x 如 果对于包含 0 x的任意开集U 都存在N 使得只要nN 就有 n xU 记为 0 lim n n xx 设 12 XX都是拓扑空间 映射 12 fXX 称为在点

6、01 xX 连 续 如果对于 2 X中任意包含 0 f x的开集 2 O 存在 1 X中包含 0 x的 开集 1 O 使得 12 f OO 称映射f在 1 X上连续 如果f在 1 X的 每一点都是连续的 不难验证 12 fXX 连续的充分必要条件是对 于 2 X中的任意开集 2 O 1 2 fO 都是 1 X中的开集 例如 如果 S T S是拓扑空间X的子空间 则映射 I SX I pp 是连 续的 设 12 fXX 是 连 续 映 射 如 果f有 连 续 的 逆 映 射 1 21 fXX 则称f为拓扑同胚 称 12 XX是拓扑同胚的空间 这时 1 X中的子集 1 O是开集的充分必要条件是 1

7、 f O是 2 X中的开集 这时我们称 12 XX的拓扑结构相同 如果 1 X是上面例 1 中定义的离散拓扑空间 则对于任意拓扑空 间 2 X以及任意的映射 12 fXX f都是连续的 而如果 1 X是上 面例 2 中定义的拓扑空间 则对于任意 1 X上的函数 1 fXR f 140 是连续的充分必要条件是f是常值函数 如果令 1 2 3 4 X 是例 3 中给出的拓扑空间 fRX 是 实轴到X的映射 满足 1f x 这时当R中的任意序列 n x趋于 任意 0 x时 显然 1 n f x 但由于在X中 1和2总是在同一邻域内 因而同样也有 2 n f x 这时极限并不唯一 因而要得到极限的唯

8、一性 我们还需在上面定义中加上新的条件 定义定义 拓扑空间 X T称为 Hausdorff 空间 如果对于任意两个 不同的点 12 p pX 都存在包含 12 p p的开集 12 O O 使得 11 pO 22 pO 而 12 OO 在 Hausdorff 空间上 极限有唯一性 其中每一个点都是闭集 另一方面 如果我们进一步希望将有界闭区间上连续函数的性质 推广到拓扑空间上 则我们需要对空间加上紧致性的条件 定义定义 拓扑空间X中的集合S称为紧集 如果对于是S的任意 一个开覆盖 A U 即U 都是开集 而 A SU 在 A U 中总可取出有限个元素使之也构成S的开覆盖 X称为紧致拓扑空 间 如

9、果X自身是紧集 定理定理 1 设SX 是紧集 f p是S上的连续函数 则 f p 在S上有界 并取到其在S上的上下确界 证明留给读者作为练习 为了推广连续函数的介值定理 我们需要对空间加上连通的条件 定义定义 拓扑空间X称为连通的 如果不存在X的两个非空开集 12 O O 使得 12 XOO 而 12 OO X的子集合SX 称为 连通的 如果不存在X的两个非空开集 12 O O 使得 12 SOSOS 141 而 12 OSOS 但 12 OSOS 例如实轴R中的子集S是连通的 当且仅当S是一开的 或者闭 的 或者半开半闭的区间 定理定理 2 设 12 XX都是拓扑空间 12 fXX 是连续映

10、射 则 对于 1 X的任意连通子集S f S在 2 X中连通 证明证明 反证法 设 f S在 2 X中不连通 则存在 2 X的非空开集 12 O O 使得 12 f SOf SOf S 而 12 Of SOf S 12 Of SOf S 由f的 连 续 性 得 1 1 fO 和 1 2 fO 都 是 1 X的 开 集 且 1 1 fOS 1 2 fOS 而 11 12 fOSfOS 与S的连通性矛盾 得 f S在 2 X中连通 推论推论 如果 fXR 是X上的连续函数 SX 是X中的连 通子集 则 f S是实轴R中的区间 因而f在S上满足介值定理 为了在拓扑空间的讨论中能够应用归纳法 通常我们

11、还要对所讨 论的拓扑空间加上可分的条件 定义定义 称拓扑空间X具有可数基 如果存在X的一列开集 142 1 2 nn O 使得X 的任意开集都可表示为 1 2 nn O 中元素的并 例例 4 将 n R中所有坐标分量都是有理数的点排成一列 12 q q 而对每一个 i q 令 1 i B q n 为以 i q为球心 1 n 为半径的球 则可将所 有 1 2 1 2 1 i i n B q n 排成一列 这时不难看出 n R中所有的开集都可表 示为集合 1 2 1 2 1 i i n B q n 中有限或者无穷多个元素的并 因而 n R具 有可数基 显然 如果拓扑空间X具有可数基 则X的任意子空

12、间也有可 数基 因而特别的 n R中的子空间都有可数基 例例 5 令X为 0 1 中所有点构成的集合 并按上面例 1 将其所有 子集都作为开集 这时 X的每一个点都是X的开集 而X的点是 不可数集 因而X无可数基 上面我们将微积分中极限和连续等慨念利用开集推广到了拓扑空 间上 然而我们如果进一步希望推广函数的微分和积分 则仅有开集 就不够了 我们还需要对空间加上坐标的条件 定义定义 连通且具有可数基的 Hausdorff 空间M称为 r C的n 维微 分流形 如果存在M的一个开覆盖 A U 以及对每一个U 给 定了一个拓扑同胚 UO 使得 n OR 是 n R中区域 满足当UU 时 映射 1

13、UUUU 是 n R中区域 UU 到 UU 的 r C的微分同胚 在上面定义中 如果0r 则M称为拓扑流形 如果r 则 M称为光滑流形 143 设M是n 维微分流形 A U 和 UO 分别是上面定 义中给出的覆盖和映射 设 1 n pUpxpxp 则 称 A U 为M的坐标覆盖 称 1 n xpxp 为p点的局部坐 标 映射 1 UUUU 11 nn xpxpxpxp 称为流形的坐标变换 一般的 设UM 是开集 n f UR 是U到 n R中区域 f U的 拓 扑 同 胚 如 果 对 于M的 坐 标 覆 盖 A U 当 UU 时 映射 1 fUUf UU 也是微分同胚 则我们将 U f也称为流

14、形的局部坐标 在下面的使 用时与 A U 中的元素没有区别 例例 6 设 F x y z是 3 R上的C 函数 令 0 x y z F x y z 如果 是连通的 且对于任意 0 x y zgrad Fx y z 则 是一 2 维的微分流形 事实上 由于 是 3 R的子集 利用 3 R的拓 扑 我们得到 是一具有可数基的 Hausdorff 空间 而对于任意 x y z 由于 0grad Fx y z 假定 0 F x y z x 利 用隐函数定理 我们知道存在 y z的一个邻域O和 x y z的一个 144 邻域U 使得U 可以表示为映射 y zx y zy z 的图像 其中 x y z是由

15、方程 0F x y z 确定的隐函数 这时映射给出了 O到U 的拓扑同胚 而如果我们进一步假设 0 F x y z y 设 yy x z 是由方程 0F x y z 确定的隐函数 则我们有坐标变 换 y zx y zy zx y z zx z F x y z是 3 R上 的C 函数 因而 0F x y z 确定的隐函数也是C 的函数 上面 的坐标变换都是C 的 是光滑流形 例例 6 一 般 的 设 11 1 mm m r F xxFxx 是 区 域 m DR 上C 的函数 令 111 1 0 0 mmm m r xxF xxFxx 如果 是连通的 且对于任意 0 p 1 0 1 m r m F

16、F rankpmr xx 则利用例 5 同样的方法 利用隐函数定理不难看出 是一 r 维光滑流形 利用流形的局部坐标 我们可以将微积分中可微函数和可微映射 的概念推广到流形上 下面的讨论中如无特别说明 都假定所考虑的 流形是光滑流形 定义定义 设M是一光滑流形 UM 是连通开集 f UR 是 U上的函数 称f是U上的光滑函数 如果对于任意 0 pU 存在 0 p点的局部坐标 1 n xx 使得函数 1 n f xx 是光滑函数 145 定义定义 设 12 M M是微分流形 映射 12 F MM 称为光滑映射 如果对于任意 01 pM 存在 0 p点的局部坐标 1 n xx 和 0 F p 点的局部坐标 1 m yy 使得利用局部坐标将F表示为映射 11 nm xxyy 时 其是光滑的映射 光滑映射 12 F MM 称为微分同胚 如果F 有光滑的逆映射 1 21 FMM 这时称微分流形 1 M与 2 M微分同 胚 7 2 微分形式与外微分 7 2 微分形式与外微分 设M是一光滑流形 利用M的局部坐标 我们可以定义M上 函数的可微性 但是 利用局部坐标定义的偏导数没有意义 事实上 设UM