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1、11.4 古典概型核心考点精准研析考点一古典概型1.在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数,则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是()A.14B.13C.12D.342.(2018天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.【解
2、析】1.选A.在1,2,3,6中随机取出3个数,所有的结果为123,126,136,236,共4种,其中数字2是这3个数的平均数的结果只有123,所以由古典概型的概率公式得所求概率为14.2.(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G,E,F,E,G,F,G,共21种.由,不
3、妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C,B,C,D,E,F,G,共5种.所以,事件M发生的概率为P(M)=521.1.求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;(3)利用公式P(A)=mn,求出事件A的概率.2.求基本事件个数的三种方法(1)列举法:把所有的基本事件一一列举出来,此方法适用于情况相对简单的问题.(2)列表法:将基本事件用表格的方式表示出来,通过表
4、格可以弄清基本事件的总数,以及要求的事件所包含的基本事件数.(3)树状图法:树状图法是使用树的图形把基本事件列举出来的一种方法,树状图法便于分析基本事件间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段. 考点二古典概型与统计的交汇问题【典例】A市某校学生社团针对“A市的发展环境”对男、女各10名学生进行问卷调查评分，得到如图所示茎叶图：(1)计算女生打分的平均分，并用茎叶图(1)的数字特征评价男生、女生打分谁更分散(通过观察茎叶图，不必说明理由).(2)如图(2)是按该20名学生评分绘制的频率分布直方图(每个分组包含左端点，不包含右端点)，求最高矩形的高a.(3)从打分在70分以
5、下(不含70分)的同学中抽取2人，求有女生被抽中的概率.【解析】(1)由茎叶图知：女生打分平均数110(68+69+75+76+70+79+78+82+87+96)=78，由茎叶图得：男生打分数据比较分散. (2)由茎叶图知20名学生中分数在70，80)内的学生人数最多，共有9人，所以最高矩形的高a=92010=0.045.统计分析(3)设“有女生被抽中”为事件A，打分在70分以下(不含70分)的同学中，女生有2人，设为a，b，男生有4人，设为c，d，e，f.基本事件有：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种，求基本事件总数其中有女生
6、的有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，共9种，求事件A包含的基本事件总数所以有女生被抽中的概率P(A)=35.求P(A)求解古典概型与统计交汇问题的思路(1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出的信息，提炼出需要的信息.(2)判断概率的类型并求解.某质检机构检测某产品的质量是否合格，在甲、乙两厂匀速运行的自动包装传送带上每隔10分钟抽一包产品，称其质量(单位：克)，分别记录抽查数据，获得质量数据茎叶图(如图).(1)根据样本数据，求甲、乙两厂产品质量的平均数和中位数.(2)若从甲厂6件样品中随机抽取两件，列举出所有可能的抽取结果；记它们的质量分别是a
7、克，b克，求|a-b|3的概率.【解析】(1)甲厂产品质量的平均数x=16(108+111+112+114+116+123)=114，甲的中位数是113，乙厂产品质量的平均数是y=16(108+109+112+114+115+126)=114，乙的中位数是113.(2)从甲厂6件样品中随机抽两件，结果共有15个，分别为：108，111，108，112，108，114，108，116，108，123，111，112，111，114，111，116，111，123，112，114，112，116，112，123，114，116，114，123，116，123.设“|a-b|3”为事件A，则事件A共
8、有5个结果：108，111，111，112，111，114，112，114，114，116，所以|a-b|3的概率P(A)=13.考点三古典概型的综合问题命题精解读考什么：(1)考查数学文化背景下的古典概型问题(2)考查与实际生活有关的概率问题怎么考：以数学文化或实际生活为载体考查概率问题新趋势：考查实际问题的概率问题学霸好方法1.解决数学文化背景下或实际生活中的概率问题的方法充分读取题目信息，恰当转化为古典概型，代入概率公式求解.2.考查与向量、函数等知识交汇的概率问题 脱去向量、函数的“外衣”，构造概率模型求解.与数学文化有关的古典概型问题【典例】为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了三
9、国演义水浒传红楼梦和西游记若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一(1)班本学期领到三国演义和水浒传的概率为()A.23B.12C.14D.16【解析】选D.记三国演义水浒传红楼梦和西游记为a 、b、c、d，则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有ab、ac、ad、bc、bd、 cd，共6种，符合条件的情况为ab共1种，故概率为16.如何解决与数学文化有关的古典概型问题？提示：读取数学文化背景下的题目信息，构建出古典概型的数学模型，然后利用概率公式求解.与向量知识交汇的古典概型问题【典例】小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点，再从A1，A
10、2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X0就去打球，若X=0就去唱歌，若Xn，有(2，1)，(3，1)，(6，5)，共1+2+3+4+5=15种情况，因此P(A)=1536=512.答案：5121.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.1【解题指南】先对产品标号，然后列举出可能出现的结果，根据古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】选B.5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(
11、a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6种，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，设事件A为“恰有一件次品”，则P(A)=610=0.6.2.现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_.【解析】因为正整数m的选取有1，2，3，4，5，6，7，共7种情况，而对于m的每一种取法，n可以取1，2，3，4，5，6，7，8，9，共9种方法，所以基本事件空间中有79=63个元素，其中事件“m，n都取到奇数”包含的基本
12、事件数为45=20，所以所求的概率为2063.答案：20631.若a，b-1，0，1，2，则使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的概率为_.【解析】要使方程有实数解，则a=0或ab1,a0,所有可能的结果为(-1，-1)，(-1，0)，(-1，1)，(-1，2)，(0，-1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，-1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共16个，其中符合要求的有13个，故所求概率P=1316.答案：13162.甲、乙两人玩一种游戏，在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先摸出
13、一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率.(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由.【解析】(1)设“两个编号和为8”为事件A，则事件A包括的基本事件有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5个.又甲、乙两人取出的数字共有66=36种等可能的结果，故P(A)=536.(2)这种游戏规则是公平的.设甲赢为事件B，乙赢为事件C，由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，(
