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1、 . 圆的概念与垂径定理 知识点一、圆的定义1、圆的第一定义： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆 这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径以O点为圆心的圆记作：O，读作圆O2战国时期的墨经中对圆的定义是：圆，一中同长也3圆的第二定义： 由圆的定义可知： (1)圆上的各点到圆心的距离都等于定长（即半径r)；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在圆上因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形(2)要确定一个圆，需要两个基本条件：一个是圆心，另一个是半径，其中，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 注意：由圆的概念可知：
2、“圆”指的是“圆周”，即一条封闭的曲线，而不是圆面。 确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径。例题1：下列说法错误的有（ ） 经过P点的圆有无数个； 以P为圆心的圆有无数个； 半径为3cm且经过P点的圆有无数个； 以p为圆心，以3cm为半径的圆有无数个。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个知识点二、圆的有关概念1 弦： 连结圆上任意两点间的线段叫做弦经过圆心的弦叫做直径并且直径是同一圆中最长的弦 2. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作， 读作圆弧AC或弧AC 3圆的直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆4在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧；（如图所示叫做
3、优弧） 小于半圆的弧叫做劣弧（如图所示）或叫做劣弧5半径相等的两个圆叫做等圆反过来，等圆的半径相等；在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。例题2：下列命题中，正确的个数是（ ）。 直径是圆中最长的弦；弧是半圆； 过圆心的直线是直径； 半圆不是弧。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 例题3：下列几个命题中，正确的是（ ） A两条弧的长度相等，那么他们是等弧 B. 等弧只有在同圆中存在 C. 度数相等的弧的长度相等 D. 等弧的长度相等巩固练习 如下图，(1)若点O为O的圆心，则线段_是圆O的半径；线段_是圆O的弦，其中最长的弦是_；_是劣弧；_是半圆(2)若A=40，则ABO=_，C=
4、_，ABC=_综合讲练讲练1：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点(1)求证：AOC=BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论讲练2：如图，已知AB是O的直径，CD是O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，E=18，求C及AOC的度数知识点三、垂直于弦的直径（垂径定理）1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 说明：圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径本身 圆有无数条对称轴2垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 用符号语言描述：O中CD是直径、AB是弦，且CDAB于M，AMBM，你能试着证明吗？说明：垂径定理中的直径可
5、以是过圆心的的直线或线段； 在有关计算直径或半径、弦长以及圆心到弦的距离等问题中，垂径定理常常和勾股定理结合使用， 即：（弦的一半）2（圆心到弦的距离）2（半径）2例1 如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是AMP与RN的大小关系不定 B.MP=RNC.MPRN D.MPRN例2 如图，AB是O的弦，半径OCAB于D点，且AB6cm，OD4cm，求DC的长【课堂操练】1如图，O的直径CDAB，AOC=50，则CDB大小为（）A、25B、30 C、40D、50ABCDOM第2题图2如图，在直径AB12的O中，弦CDAB于M，且M是半径OB的中点，求弦CD的长（结果保留根号）.3如图
6、，O的直径CD10cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，OM：OC3：5，求AB的长知识点四、垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧推论2：平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论3：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。问：你能分别用符号语言描述吗？请试着表示！概念理解：1下面四个命题中正确的一个是（ ）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（）A过弦的中点的直线平分弦所对
7、的弧 B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧跟踪练习：1、如图，CD为O的直径，ABCD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=_cm1题图2如图，O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=_cm，AOB=_2题图3如图，AB为O的弦，AOB=90，AB=a，则OA=_，O点到AB的距离=_3题图4如图，O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是_4题图5如图，P为O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，O的半径为5，则OP=_5题图6如图，O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC
8、=4cm，则O的半径等于_cm6题图综合讲练：讲练1已知：如图，AB是O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，AEC=30，求CD的长讲练2已知：如图，试用尺规将它四等分讲练3已知：O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，ABCD求这两条平行弦AB，CD之间的距离讲练4已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是O的直径，AOD=80，B是的中点(1)在CD上求作一点P，使得APPB最短；(2)若CD=4cm，求APPB的最小值随堂练习：1如图所示，O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，CEA=30，求CD的长 2、如图，AB、AC为O的两条弦，D
9、、E分别为、中点，求证：AM=AN. CABDE3、如图所示，在RtABC中，C900，AC3，BC4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。4、如图，已知：在中，是直径，是弦，交于，交于求证：OAPBC5、如图所示，P为弦AB上一点，CPOP交O于点C，AB8，AP:PB1:3，求PC的长。6如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。已知：AB=24cm，CD=8cm（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径.7、如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为多少？ .下载可编辑.
