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1、数学思维的特征与方法张鹤一、 目前数学教学的现状大概是去年（2012年）十月份左右，我给国培班讲的是“通过课例分析讲有意义的教学”，主题是关键性教学。这次我稍作调整，从数学教学的这个层面和各位老师做一个交流，题目是“数学的思维特征与方法”。想到这个主题与我做教研员，经常到一线听课、交流的经验有关。我发现现在的数学课堂上存在一个很值得关注的问题，即数学知识的教学中，缺乏对学生学科思维、学科观念的培养。当前，社会更关注学生的分数，教师也更加在意学生是不是能取得一个比较满意的成绩。然而，数学教师在数学课堂的教学所承载的责任或者说是使命，绝对不是仅仅是一个分数。数学教学本身承载的教育的价值和教学的意义
2、应该远大于此。数学教学如果仅仅为了一个升学目标或者成绩，那么老师们的心态就容易变得非常浮躁。现在很多数学课都不像课，而像“题”。上课就是讲题，上来“咔”一道题，学生就开始做，做完以后，老师讲解，再来一道题，学生们再做。这样如此反复，一节课做三道题，虽然有师生交流，但那无非就是说说解答过程。这样的课堂没有整体性，更没有思维的碰撞。实际上，一个学生在高考数学中考了满分，作为老师的我们，也没有任何值得夸耀的。而作为一名教师真正值得骄傲的是，你教的这个班学生在毕业了之后，甚至走上大学之后，确实能感觉到，老师教的东西在大学、甚至在将来走向工作之后都非常有用。那么，什么才能叫做有用？我认为是教师教给他们的
3、一种思维，这种思维能够让学生们建立起一种扎实的逻辑思维的基础。“高分低能”，很早就有这种提法了，就是说学生到了大学不会学习，而这个问题的端倪很可能出现在中学。某种程度上说，我们当前的数学教学实际上是一种失败的教育。这种失败就在于我们仅仅满足于应试，满足于一个好的分数，而没有教给学生思维的方法。在学生学习最佳的年龄阶段，我们让他们记忆了大量的东西，做了大量重复性的习题，而其中很多练习都是没有什么思维含量的，大量都是模仿、重复。数学有很多公式，学生题做不好，我们老师就说“你怎么没记下来”，或是“我讲的你怎么没记住”、“我昨天刚讲的你怎么就又忘了”等等。这样一种教导，实际上就是引导学生靠“记”，靠“
4、勤奋”来学习。什么叫勤奋呢？就是多做题，而那个题往往是重复性的，大量都是模仿、重复，为了一个公式在那儿来回的套用。这种方式也许能够帮助学生得到一个满意的高分，但从实际长远价值来看，我认为没有太大的意义。所以我认为，从目前课堂教学现状来看，一个很重要的问题就是：教师应该树立一个“好”的数学教育理念。我们教学的价值最终要归于让学生爱听，激发他们对学科的兴趣，这样才能让他们从中真正受益，学到东西。我认为当前许多老师对数学教学理解存在一个非常大的偏差，就是认为教学的目标在于让学生会做题，取得好成绩。我认为每一个有责任心、立志当一名好的数学老师，上每节课之前，每次接触学生之前，应该重新思考一下“你的数学
5、教育目的是什么”这个问题。这不仅是每一位老师需要思考的，更是我们整个行业应该反思的。我想我们应该将教学的目标放得更高远一些。二、 数学知识的思维特征与观念性教学教师的数学教学任务，很大的程度上是要通过你的教学活动，让学生领悟数学的各个学科的思维特征，并能够用这种学科的思维方法理解数学问题并解决数学问题。对学生数学能力的提高起决定作用的是学生的数学思维水平的提高，在这一点上，作为数学教师要有充分的认识。下面我就高中数学中的几个重要的单元的思维特征谈一谈自己的认识和理解，供老师们参考。1. 集合部分知识的思维特征高一就要开始学习集合，在集合内容的教学中，我们应该教给学生什么样的思维层面的东西？其实
6、集合的定义已经告诉我们集合由对象的全体构成，所以对象是集合的本质。在谈集合之间的关系的时候，无论是子集关系或者是真子集关系也好，核心都是元素，一个集合的元素和另外一个集合之间具备着什么关系。再比如说集合的运算也渗透着利用集合和元素的关系来判断集合之间的关系，然后再进行集合之间的运算。这就是我们在集合教学中要渗透的，而不仅仅是告诉学生交集、并集、补集的概念。举一个课例，我们来探讨一下这个课是简洁还是简单。教师板书“补集运算”，先告诉学生全集的概念，然后下面就说什么叫补集运算呢？给了一个全集、集合A和集合B，集合A的补集、集合B的补集。这样非常直观，也的确易于掌握，但是这样的教学呢，学生就没有机会
7、去体会和研究集合的思维方法及思维方式。也就是通过元素与几何集合的关系来刻画几何集合之间的关系，以及几何集合的运算。如果老师就讲到这个层面的话，那就一点数学思维的东西都没有。尽管学生可能会很熟练进行交并补的运算，但无从知道这种运算背后的数学观点和数学原理。对于一个刚步入高中的学生来说，如果他面临的是这么浅显的教学，他可能会觉得太简单了。集合本身是一种很重要的数学语言，虽然概念比较简单，但是必须让学生感受到里面蕴含的数学思维。2. 函数部分知识的思维特征函数是中学数学中的重要内容，常定位为重点内容，核心内容，主轴内容。函数部分知识的价值毋庸置疑，函数在我们数学教学中尽管是讲的比较多的内容，但这部分
8、内容对于学生来说，不管是高一的学生还是高三的学生，学习的效果总是不佳，原因何在呢？这里最大的问题就是教师在函数教学的过程中无法渗透思维层面的东西，思维的含量的东西讲不出来。在函数的教学中如何体现函数的思维特征呢？关键是教学中要能够揭示自变量是如何引起因变量变化的，要关注自变量以及因变量的关系。对于函数性质的讨论，我们要教给学生用函数的思维去解决函数性质的有关问题，因此在函数这一单元的学习或复习中，教学的重点是要让学生理解并逐步掌握函数的思维特征，即：理解函数问题、研究函数问题、就要分析函数在自变量变化下函数值相应的变化。比如说函数的奇偶性，我们现在要问一个高三学生，什么叫奇函数，好一点的学生能
9、说出，但是大部分答的是“定义域关于原点对称”或者“图象关于原点对称”。学生答的是图象，而最原始、最本质的东西反而不知道。原因在哪里？显然是在老师身上，老师不让他这么想。我们应该让学生把这种符号的语言，用自己的语言表述，如果是奇函数，那么它的自变量取相反的两个值的时候，对应的函数值相反。这才是奇函数的本质，或者说是它的代数特征。为什么函数图象关于原点对称呢？不是拿计算机演示一下就是这个结果，那是结论。我们应该要让学生从这个函数表达式，符号语言中分析出来。在直角坐标系下的几何含义是什么？是这一个动点，在直角坐标系下是点。那么我们就可以问学生，这样的两个点的特征是什么？这样的点当然不仅是一个或者一组
10、，从而得到图像本身是原点对称的。我们还可以拓展这个问题：1) 是奇函数，能不能用符号语言来描述？2) 如果关于对称，那么满足什么性质？3) 若，那么这个函数的的图象有什么性质，函数有什么性质？4) 将上题改成呢？同样，对于是偶函数也在教学中用函数思维的角度去落实。要让学生既能够从代数的角度认识偶函数的本质，又要能够从偶函数的本质出发理解其图象关于y轴对称的原因。如果满足，那么称这个函数是偶函数。其代数表达式的含义是：当自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值相等，这就是偶函数的本质；再从几何的角度看，在偶函数的图象上，总有这个的两个点，和，这两个点是关于y轴对称的。我们多做这样一些练习，比如
11、。就是图象关于对称，看着好像挺悬乎的，其实是自变量x取了两个相反数，一个，一个是，函数值相等。反过来，如果不是这个，是，或者都可以试着让学生写出描述性语言。学生应该知道，当这个函数的自变量，分别取以1为中点的两个自变量的值的时候，函数值应该是相等的，让学生试图这样去想。然后学生便可以取以1为中点的两个自变量，、也行，、也可以，学生便可以真正体会是关于对称的。函数的周期性也是教学的一个难点，进行三角函数的时候，要引入周期函数的概念。老师在教学中，一个问题是容易讲错，另一个问题是容易非常激进和机械。比如，认为非得套着，才把那个对上，才知道那是周期。我们要让学生认识到，其实这个括号里面的两个值，自变
12、量取得两个值，他什么样的都行。比如和，没关系的，我不用费力去还原。先看看这两个自变量，是相等，是和为常数，还是差为常数。如果和为常数，那么是对称的；差为常数，那常数就是函数的周期。我们要解放学生的思维，而不是拧，或者是让学生的思维僵化。反过来你要会描述，如果一个函数的最小正周期是2，怎么表述？其实这每一次的问题都是在逼着学生去想，谁是那个函数的自变量。如果写那绝对是错误的。首先要让学生看清哪个量是自变量，自变量是。当分别取，函数值相等，这就是周期概念。如果你写，可以，函数值还是相等的，这就是周期。你写符号，得让学生会读。我们常常出现一个问题，教了三年的学生，他们也仅仅知道可以取任意值，但不能完
13、全读懂符号。如果我们当数学课是一种类似英语一样的语言学科的话，那么学生没读懂函数符号，就等于完全没学会数学的语言。这张图是我自己总结的函数知识结构图，竖着来看是思维层面的东西。思维层面提供思维特征至关重要，如果一个函数，满足函数值相等的话，那么我们要分析这个函数的两个自变量和的关系。如果这两个自变量和为常数，比如说等于，那这个函数的图像就关于直线对称；如果差为常数，周期为；如果，这还是看自变量，我们在教学中引导学生盯住自变量。那么这个自变量如果和为常数，它就是关于点为中心，如果差为，是个常数，那么周期就是。这是实际上我借着我自己总结的知识结构图，把刚才所说的简单概括一下。接下来我再谈谈函数的研
14、究方法。竖着从思维的载体来看，也可以再加一个图像语言。图像语言可能就是这种描述性语言和符号语言之间的关系，中间的过渡可能借助于图像语言，函数图象可以不画，但是不能不想。解决函数教学的重点和难点，都在于语言的掌握。为什么产生了特值法，产生了特殊函数法，往往就是回避函数的符号语言，但是其实这样的教学实际上是回避了教学的本质。到了高中阶段，如果学生还没有一种抽象的函数概念的话，到了大学怎么去学习？所以我觉得呢，这点是不能回避的。从研究方法来看，我认为可以从两个途径来研究函数。一个是从解析式研究，一个是从图象研究。从解析式研究，不是拿解析式去画图，有的解析式是画不了图的，而是要研究函数的性质。这个性质
15、一开始要研究什么？要研究对称性。因为首先要看函数整体，如果明明是个偶函数，还从负无穷到正无穷去研究它的单调性，那就显得复杂了。所以一定要先研究对称性，特别是研究奇偶性。如果具备，那再研究单调性，那就缩小了研究的范围。还要研究函数的周期性，研究函数值的分布。最后画示意图，把这些性质直观地呈现出来。比如说，和这种两个初等函数相加而成的函数，老师其实有的时候就教给学生图象组合的那种方法，当然本质是就是描点法，但这实际上是增加教学难度。研究函数的性质，利用性质的一些特征，去画示意图，就完全可以解决问题了，所以没必要让学生用描点法来画复杂的函数图象。例题1已知函数很多学生奋不顾身的就要往里代，讨论一下方
16、和是正还是负，思维灵活一点的呢，讨论四次，要是不管不顾的呢，可能就瞎代一个，上头一个，下头一个就完了。当然那个也能做对，因为他实际上是对任何情况都是这样的。这反映了学生怎样的思维呢？学生缺乏研究函数性质的意识。学生还是以计算作为解决数学问题的主要方法。其实如果学生有这种倾向，其实我们甚至可以就不提问题，我们可以仅给出解析式，问问学生，你能从这个解析式得到函数的什么性质？有一学生说那我画图，可以。画图本身，给解析式画图，也是一种训练，画出一个图象，一看是单调递增，那我们也可以问学生，如果不画图，你能不能研究出它的性质。单调性你知道，有没有奇偶性呢？学生会发现自变量相反时，函数值相反，这个时候可能更比单纯的解这道题有价值。那我们看一下这道题，从这个问题来看，首先，要用性质来解决，所以要探索这个函数，特别是是跟单调性有关的性质，画图是一种办法。我们稍微改一下这个问题，就能逼着学生去分析它的奇偶性，怎么办？要让学生看到，我首先把这个式子变成，那这个负号如果能进
