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1、全国 卷数学 理 第 1 页 共 6 页 全国 卷数学 理 第 2 页 共 6 页 2020届重庆市南开中学高考冲刺 预测卷 理科数学 全国 卷 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 全卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的准考证号 姓名填写在答题卡上 考生要认真核对答题卡上粘贴 的条形码的 准考证号 姓名 考试科目 与考生本人准考证号 姓名是否一致 2 第 卷每小题选出答案后 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 在选涂其他答案标号 第 卷必须用0 5 毫米黑色签字笔书写作答 若在试题卷上 作答 答案无效
2、3 考试结束 请将试题卷 答题卡一并收回 第 卷 选择题共 60分 一 选择题 本大题共12小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 1 已知复数123zii 其中i是虚数单位 则z在复平面内对应点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2 已知集合 22 1 650AxBy yy x 则 ABU A 0 5B 0 5C 0 3D 0 3 3 今有一组实验数据如下 x 1 99 3 0 4 0 5 1 6 12 y1 5 4 04 7 5 12 18 01 分别用下列函数模型来拟合变量y与x的相关关系 其中拟合效果最好的是 A 21 1 2 yx
3、B 1 2 logyxC 2 logyxD 22 yx 4 四元玉鉴 是元朝著名数学家朱世杰阐述多年研究成果的一部力著 是宋元数学集大成者 全 书共分 3 卷 24门 288问 书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关 其中有一首诗 我有 一壶酒 携着游春走 遇店添一倍 逢友饮一斗 店友经三处 没了壶中酒 借问此壶中 当原多 少酒 店友经三处 意思是 经过酒店三次 碰到朋友三次 用程序框图表达如图所示 即 最终输出的0 x 斗 则一开始输入的x的值为 A 3 4 B 7 8 C 15 16 D 31 32 5 已知向量 a b满足 3a 23b 且 a ab 则a在b方向上的投影为 A 3 B
4、 3 C 3 3 2 D 3 3 2 6 实数xy 满足 22 20 2 yx xy x 则z xy 的最大值是 A 2 B 4 C 2 2D 8 7 给出下列4 个命题 方程 22 1 84 xy aa 表示双曲线的一个充分不必要条件是4a 命题 p 存在 x0 R 使得 2 00 10 xx 的否定是 对任意的x R 均有 2 10 xx 回归直线 yabx 恒过样本数据的中心 x y 若直线a平行于平面内的一条直线b 则a 其中真命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 全国 卷数学 理 第 3 页 共 6 页 全国 卷数学 理 第 4 页 共 6 页 8 ABC的三内角A B C所
5、对边长分别是a b c 设向量n 3a c sin B sin A m a b sin C 若m n 则角B的大小为 A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 9 下图是某市3 月 1日至 14日的空气质量指数趋势图 空气质量指数小于100表示空气质量 优良 空气质量指数大于200表示空气 重度污染 某人随机选择3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该 市 并停留两天 于第二天晚上离开 以下由统计图所做的推断中 不正确的是 A 此人停留的2 天空气质量都 优良 的概率为 4 13 B 此人到达当日空气 重度污染 的概率为 2 13 C 此人到达当日空气 优良 的条件下 次日空气 优良
6、的概率为 2 3 D 此人停留两日至少一天空气 优良 的概率为 7 13 10 函数 x e f xx x 的图象大致是 11 正四面体ABCD 的棱长为4 E 为棱 BC 的中点 过E 作其外接球的截面 则截面面积的最小 值为 A 2 B 4 C 8 D 16 12 已知定义在R 上的偶函数 f x满足 1 1 fxfx 且当01x时 2 1fxx 若直线 yxa 与曲线 yf x恰有三个公共点 那么实数a的取值的集合为 A 5 1 Z 4 kkk B 5 2 1 Z 4 kkk 2 C 5 21 Z 4 kkk 2 D 5 1Z 4 kkk 第 卷 13 21为必做题 22 23为选做题
7、共 90分 二 填空题 本大题共4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填写在答题卡相应的 题号后的横线上 13 在 3 1 2 nx x 的展开式中 只有第5项的二项式系数最大 则展开式中的常数项为 14 设当x时 函数 sin2cosf xxx取得最大值 则cos 15 一种酒杯是抛物线 2 4xy绕y轴旋转而成的 将长为定值l的质地均匀的玻璃棒随意地放入 酒杯内 假设杯壁足够高 能没入玻璃棒 则玻璃棒的重心到杯底水平线的最小距离d关于棒长 l的关系式 d l 16 在棱长为1 的正方体ABCD A1B1C1D1中 M 是 A1D1的中点 点P 在侧面 BCC1B1上运动 现有 下
8、列命题 若点 P 总保持 PA BD 则动点P 的轨迹是一条线段 若点 P 到点 A 的距离为 2 3 3 则动点 P的轨迹是一段圆弧 若 P满足 PAC1 MAC1 则动点P的轨迹是一段抛物线 y x 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41234 O y x 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41234 O y x 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41234 O y x 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 341234 O A B C D 全国 卷数学 理 第 5 页 共 6 页 全国 卷数学 理 第 6 页 共 6 页 若 P 到直线 AD 与直线 CC
9、1的距离相等 则动点P 的轨迹是一段抛物线 若 P 到直线 BC 与直线 C1D1的距离比为1 2 则动点P 的轨迹是一段双曲线 其中真命题是 写出所有真命题的序号 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21题为必做题 每个 试题考生都必修作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共60分 17 12 分 设数列 n a的前n项和为 n S 点 nn aSnN在直线210 xy上 1 求证 数列 n a是等比数列 并求其通项公式 2 设直线 n xa 与函数 2 fxx的图象交于点 n A 与函数 2 logg xx的图象交于点 n B 记
10、 nnn bOAOB uuuu ruuuu r 其中O为坐标原点 求数列 n b的前n项和 n T 18 12 分 本市摄影协会准备在2019 年 10月举办主题为 庆祖国70华诞 我们都是追梦人 摄 影图片展 通过平常人的镜头 记录国强民富的幸福生活 向祖国母亲的生日献礼 摄影协会收到 了来自社会各界的大量作品 打算从众多照片中选取100 张照片展出 其参赛者年龄集中在 25 85 之间 根据统计结果 做出频率分布直方图如下 1 求这 100位作者年龄的样本平均数x和样本方差 2 s 同一组数据用该区间的中点值作代 表 2 由频率分布直方图可以认为 作者年龄X服从正态分布 2 N 其中近似为
11、样本平 均数 x 2 近似为样本方差 2 s i 利用该正态分布 求 6073 4 PX 附 4 13180 若 2 XN 则 0 6826PX 22 0 9544PX 33 0 9974PX ii 摄影协会从年龄在 45 55 和 65 75 的作者中 按照分层抽样的方法 抽出了7 人参加 讲述图片背后的故事 座谈会 现要从中选出3人作为代表发言 设这3 位发言者的年龄落在区 间 45 55 的人数是Y 求变量Y的分布列和数学期望 19 12 分 一个多面体的三视图和直观图如图所 示 其中正视图和俯视图均为矩形 侧视图为直 角三角形 M是AB的中点 1 求证 CM 平面FDM 2 若N为线段
12、FC上一点 且 FNFC u uu ruuu r 二面角 FDMN的余弦值为 3 3 求的值 20 12 分 已知直线 1lykx与曲线 C 22 22 1 xy ab 0 0 ab交于不同的两点 A B O 为坐标 原点 1 若1 k OAOB 求证 曲线C 是一个圆 2 若曲线C过 0 2 1 0 是否存在一定点Q 使得QA QB uuu ruuu r 为定值 若存在 求出定点 Q 和定值 若不存在 请说明理由 21 12 分 已知函数 2 1 x f xexax 1 当 0 x 时 若不等式 0fx 恒成立 求实数a的取值范围 2 求证 0 x 时 2ln3sin2 x exxx 二 选
13、考题 共10 分 请考生在22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 已知曲线 1 12 2 xt C yt t为参数 以直角坐标系的原点O为极点 x轴的正半轴为极轴建立 极坐标系 曲线 2 C 的极坐标方程为6sin 0 005 0 020 25 35 45 55 65 75 85 频率 组距 年龄 0 015 0 025 0 030 0 035 0 010 a 2a a M BA E C D F 全国 卷数学 理 第 7 页 共 6 页 全国 卷数学 理 第 8 页 共 6 页 1 分别求曲线 12 CC 的直角坐标方程 2
14、 若曲线 12 CC 交于两点 AB 点P是曲线 2 C 上异于点AB 任意一点 求 PAB的面积 S的最大值 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知函数36f xxx 1 求不等式12fx 的解集 2 对于正实数 a b c若不等式 123 f x abc 对任意实数x恒成立 求23abc的最小值 高三训练试题 理科数学 参考答案与评分标准 一 选择题 本题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 1 解答 选D 312 31717 1 21 212555 ii ii zi iii 命题意图 本题考查复数的概念及运算 考查运算求解能力 数学运算素养 2 解答 选A 0 2 B 1 5
15、 0 5 AABU故 命题意图 考查解不等式及集合的运算 考查抽象概括 运算求解能力 3 解答 选A 由表中的数据分析变量y与x的变化规律 结合所给四个函数的图象和性质 可知 y与x存在正相关关系 排除B 又随着x增大 y加速增长 故排除C D 命题意图 本题考 查函数的性质及应用 变量间的相关关系 回归分析 考查抽象概括能力 数据处理能力 4 解答 选B 1i 21 2xxi 2143 3xxxi 2 1 23187 4xxxi 4 输出870 x 7 8 x 故选 B 命题意图 以数学文化为背景 考查算法及程序框图 抽象概括能力 应用意识 5 解答 选C 由 a ab 可得 2 0aaba
16、a b 所以9a b 向量 a在 b上的投影 为 93 3 22 3 a b b r r r 命题意图 考查向量的数量积 考查基础知识 抽象概括 运算求解能力 数学运算素养 6 解答 B 作可行域如右图 2 2 xy z表示可行域内动点 P x y 到直线 yx距离的2倍 如图在2 6C处 max 4 z 命题意图 考查不等式 线性规划等知识 数形结合 运算求解的能力 直观想象及数学运算的素养 7 解答 选C 真 原方程表示双曲线的充要条件是 8 4 0aa 48aa或 假 p 对任意的x R 均有 x2 x 1 0 假 还有可能 a C正确 命题意图 考查双曲线的标准方程 简易逻辑线性回归 空间平行关系等知识 考查推理论证能 力及逻辑推理的素养 8 解答 选C若m n 则 a b sin B sin A sin C 3a c 0 由正弦定理可得 a b b a c 3 a c 0 化为a 2 c2 b2 3ac cos B a 2 c2 b2 2ac 3 2 B 0 B 5 6 故选 C 命题意图 考查向量运算 解三角形 正余弦定理 考查数学运算 逻辑推理的素养 9 解答 选D D
