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1、页1第 2020届全国高考数学 文 冲刺高考预测卷 二 解析版 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共150 分 考试时间120 分钟 第 卷 一 选择题 本大题共12 小题 每个小题5 分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 已知集合 M x x 2 4 x 0 N x m x 5 若M N x 3 x n 则m n等于 A 9 B 8 C 7 D 6 解析M x 0 x 4 又N x m x 5 M N x 3 x n 故m 3 n 4 m n 7 选 C 答案C 2 2018 唐山二模 若复数z 1 i a i i 是虚数单位 a R
2、 是纯虚数 则z的虚部为 A 1 B i C 2 D 2i 解析设z 1 i a i bi b R 且b 0 则 1 i b abi b 1 选 A 答案A 3 2018 南昌调研 已知m n为两个非零向量 则 m与n共线 是 m n m n 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析当m与n反向时 m n0 故充分性不成立 若m n m n 则 m n m n cos m n m n cos m n 则 cos m n cos m n 故 cos m n 0 即 0 m n 90 此时m与n 不一定共线 即必要性不成 立 故 m与n共线 是 m
3、n m n 的既不充分也不必要条件 故选D 答案D 页2第 4 2019 安徽淮南一模 九章算术 是我国古代数学名著 也是古代数学的代表作 书中有 如下问题 今有勾八步 股一十五步 问勾中容圆 径几何 其意思为 已知直角三角形两直角 边长分别为8 步和 15 步 问其内切圆的径为多少步 现若向此三角形内投豆子 则豆子落在其内 切圆内的概率是 A 3 20 B 20 C 3 10 D 10 解析依题意 直角三角形的斜边长为17 设内切圆半径为r 则由等面积法 可得 1 2 8 15 1 2 8 15 17 r 解得r 3 向此三角形内投豆子 豆子落在其内切圆内的概率是P 3 2 1 2 8 15
4、 3 20 答案A 5 在 ABC中 角A B的对边分别为a b 若a 8 b 7 B 60 则 sinC A 33 14 B 53 14 C 33 14 或 53 14 D 11 14 解析解法一 8 sinA 7 sin60 sin A 43 7 cosA 1 7 因为 sinB 3 2 cosB 1 2 sinC sin A B sinAcosB cosAsinB 所以当cosA 1 7 时 sinC 53 14 当cosA 1 7 时 sinC 33 14 故 sinC的值为 33 14 或 53 14 解法二 设角C的对边为c 由余弦定理得 b 2 a 2 c 2 2ac cosB
5、49 64 c 2 8 c c 3 或c 5 当c 3 时 sinC c b sinB 33 14 当c 5 时 sinC c b sinB 53 14 故 sinC的值为 33 14 或 53 14 答案C 页3第 6 函数f x ex 1 xex 1 的图像大致为 解析由题意 f x e x 1 xe x 1 ex 1 x1 e x ex 1 xe x 1 f x 所以函数f x 为偶函数 故 f x 的图像关于y轴对称 排除B C 当x 1 时 f 1 e 1 e 1 0 故选 A 答案A 7 执行如下图所示的程序框图 若输入的a b分别是 2 020 1 则输出的i A 5 B 6 C
6、 7 D 8 解析i 1 a 2 020 1 b 1 i 2 a 2 020 3 b 1 2 i n a 2 020 n n 1 2 b 1 2 3 n 当i 6 时 a 2 020 21 2 041 b 720a 页4第 故输出的i的值为 7 答案C 8 我国南北朝时的数学著作 张邱建算经 有一道题为 今有十等人 每等一人 官赐金依等 次差降之 上三人先入 得金四斤 持出 下三人后入 得金三斤 持出 中间四人未到者 亦依等 次更给 问各得金几何 在该问题中 等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金 A 多 1 斤B 少 1 斤 C 多 1 3 斤D 少 1 3 斤 解析等级由高到低
7、的十等人所得黄金由多到少依次记为 a1 a2 a10 则a1 a2 a10 成等差数列 由题意得a1 a2 a3 3a2 4 a2 4 3 a8 a9 a10 3a9 3 a9 1 则a2 a9 4 3 1 1 3 即等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多 1 3 斤 答案C 9 把正方形ABCD沿对角线AC折起使D到达D 点 当以A B C D 四点为顶点的三 棱锥体积最大时 直线BD 和平面ABC所成角的大小为 A 90 B 60 C 45 D 30 解析如下图 当D O 平面ABC时 三棱锥D ABC的体积最大 D BO为直线BD 和平面ABC所成的角 在 Rt D OB中
8、 OD OB 直线BD 和平面ABC所成角的大小为45 答案C 10 已知正项数列 an 中 a1 2 an 1 2an 3 5 n 则数列 a n 的通项an A 3 2 n 1 B 3 2 n 1 C 5 n 3 2n 1 D 5 n 3 2 n 1 页5第 解析解法一 在递推公式an 1 2an 3 5 n 的两边同时除以5 n 1 得 an 1 5 n 1 2 5 an 5 n 3 5 令 an 5 n bn 则 式变为 bn 1 2 5 bn 3 5 即bn 1 1 2 5 bn 1 所以数列 bn 1 是等比数列 其首项为b1 1 a1 5 1 3 5 公比为 2 5 所以bn 1
9、 3 5 2 5 n 1 即bn 1 3 5 2 5 n 1 所以 an 5 n 1 3 5 2 5 n 1 1 3 2 n 1 5 n 故an 5 n 3 2n 1 解法二 设 an 1 k 5 n 1 2 an k 5 n 则 an 1 2an 3k 5 n 与题中递推公式比较得 k 1 即an 1 5 n 1 2 an 5 n 所以数列 a n 5 n 是首项为a1 5 3 公比为 2 的等比数列 则an 5 n 3 2n 1 故 an 5 n 3 2n 1 故选 D 项 答案D 11 已知函数f x 2sin x 1 0 2 f 1 f 1 若 的最小值 为 3 4 且f x 的图像关
10、于点 4 1 对称 则函数f x 的单调递增区间是 A 2 2k 2k k Z B 2 3k 3k k Z C 2k 5 2 2k k Z D 3k 5 2 3k k Z 解析由题设条件可知f x 的周期T 4 min 3 所以 2 T 2 3 又 f x 的图像关于点 4 1 对称 从而f 4 1 即 sin 2 3 4 0 因为 0 b 0 上一点 C 过双曲线中心的直线交双曲线于A B两点 记直线AC BC的斜率分别为k1 k2 当 2 k1k2 ln k1 ln k2 最小时 双曲线的离心率为 解析设A x1 y1 C x2 y2 由题意知 点A B为过原点的直线与双曲线 x 2 a
11、2 y 2 b 2 1 的交点 由双曲线的对称性 得A B关于原点对称 B x1 y1 k1k2 y2 y1 x2 x1 y2 y1 x2 x1 y 2 2 y 2 1 x 2 2 x 2 1 点A C都在双曲线上 x 2 1 a 2 y 2 1 b 2 1 x 2 2 a 2 y 2 2 b 2 1 两式相减 可得k1k2 b 2 a 2 0 对于 2 k1k2 ln k1 ln k2 2 k1k2 ln k1k2 设函数y 2 x ln x x 0 由y 2 x 2 1 x 0 得x 2 当x 2 时 y 0 当 0 x 2 时 y 0 取得最小值 当 2 k1k2 ln k1k2 最小时
12、 k1k2 b 2 a 2 2 e 1 b 2 a 2 3 答案3 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21 题为必考题 页9第 每个试题考生都必须作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共60 分 17 12 分 平面四边形ABCD中 AB BC A 60 AB 3 AD 2 1 求 sin ABD 2 若 cos BDC 1 7 求 BCD的面积 解析 1 在 ABD中 A 60 AB 3 AD 2 由余弦定理 得BD 2 AB2 AD 2 2AB AD cosA 9 4 6 7 所以BD 7 2 分 由正弦定理 得 BD sinA
13、 AD sin ABD 4 分 所以 sin ABD AD sinA BD 2 3 2 7 3 7 21 7 6 分 2 因为AB BC 所以 ABC 90 所以 cos DBC sin ABD 3 7 所以 sin DBC 2 7 因为 cos BDC 1 7 所以 sin BDC 43 7 8 分 所以 sinC sin BDC DBC sin BDC DBC sin BDCcos DBC cos BDCsin DBC 43 7 3 7 1 7 2 7 2 7 10 分 所以 sin DBC sinC 所以 DBC C 所以DC BD 7 所以S BCD 1 2 DC BD sin BDC
14、 1 2 7 7 43 7 23 12 分 18 12 分 某省级示范高中高三年级对考试的评价指标中 有 难度系数 和 区分度 两个指 页10第 标 其中 难度系数 年级总平均分 总分 区分度 实验班的平均分 普通班的平均分 总分 1 在某次数学考试 满分 150 分 中 从实验班和普通班各随机抽取三人 实验班三人的成绩分别 为 147 分 142 分 137 分 普通班三人的成绩分别为97 分 102 分 113 分 通过样本估算本 次考试的区分度 精确到 0 01 2 以下表格是高三年级6 次考试的统计数据 难度系数x 0 640 710 740 760 770 82 区分度y 0 180
15、 230 240 240 220 15 计算相关系数r r 0 75时 认为相关性弱 r 0 75时 认为相关性强 通过计算说 明 能否利用线性回归模型拟合y与x的关系 已知t x 0 74 求出y关于t的线性回归方程 并预报x 0 75 时y的值 精确到 0 01 参考数据 i 1 6 xiyi 0 930 9 i 1 6 xi x 2 i 1 6 yi y 2 0 011 2 i 1 6 tiyi 0 048 3 i 1 6 ti t 2 0 007 3 参考公式 相关系数r i 1 n xi x yi y i 1 n xi x 2 i 1 n yi y 2 i 1 n xiyi n x
16、y i 1 n x x 2 i 1 n yi y 2 线性回 归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b i 1 n xi x yi y i 1 n xi x 2 i 1 n xiyi n x y i 1 n xi x 2 a y b x 解析 1 易求得实验班三人成绩的平均分为 147 142 137 3 142 分 普通班三人成绩的平均分为 97 102 113 3 104 分 页11第 所以区分度为 142 104 150 0 25 3分 2 由表格数据知 x 0 64 0 71 0 74 0 76 0 77 0 82 6 0 74 y 0 18 0 23 0 24 0 24 0 22 0 15 6 0 21 r i 1 6 xiyi n x y i 1 6 xi x 2 i 1 6 yi y 2 0 930 9 6 0 74 0 21 0 011 2 0 13 故 r 0 75 相关性较弱 6 分 综上可知 不能利用线性回归模型拟合 y与x的关系 7 分 y与t的值如下表 t 0 100 0300 020 030 08 区分度y 0 180 230 240 240 220 1
