《2020年高考数学（理）高频考点 数列 专题03 等差数列（等差数列的和与性质）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学（理）高频考点 数列 专题03 等差数列（等差数列的和与性质）（解析版）（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列03 等差数列（等差数列的和与性质）【考点讲解】一、具体目标：等差数列（1） 理解等差数列的概念.（2） 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系关系，并能用有关知识解决相应的问题.（4） 了解等差数列与一次函数的关系.等差数列的和与二次函数的关系及最值问题.二、知识概述：一）等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；.说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：
2、为递增数列，为常数列， 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，成等差数列.4.等差数列的前和的求和公式：.5.要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别二）方法规律： 1等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;(3)通项公式：(为常数,) 是等差数列;(4)前项和公式：(为常数, ) 是等差数列;(5) 是等差数列是
3、等差数列.2活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.4若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用验证即可5.等差数列的前n项和公式
4、：若已知首项和末项，则，或等差数列an的首项是，公差是，则其前项和公式为.3） 等差数列的性质：1.等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；来源:学+科+网（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，；，；（3）在等差数列中，对任意，；（4）在等差数列中，若，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列2设数列是等差数列，且公差为，（）若项数为偶数，设共有项，则； ；（）若项数为奇数，设共有项
5、，则(中间项)；.3.,则,.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数5.若与为等差数列，且前项和分别为与，则.四）方法规律：1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题来源:学科网2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n项和公式4.解综合题的成败在于审清题目
6、，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.五）等差数列的和 1. 等差数列的前n项和公式若已知首项和末项，则，或等差数列an的首项是，公差是，则其前项和公式为.2等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值时为递减数列，且当时前n项和有最大值六）求等差数列前项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.2.利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次
7、函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.来源:学|科|网Z|X|X|K4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.来源:Z.xx.k.Com【真题分析】1【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和已知，则（ ）ABCD【解析】由题知，解得，,故选A【答案】A2.【2018年高考全国I卷理数】设为等差数列的前项和，若，则（ ）
8、A B C D【解析】设等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B【答案】B3.【2017年高考全国III卷理数】等差数列的首项为1，公差不为0若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为（ ）A B C3D8【解析】设等差数列的公差为，由a2，a3，a6成等比数列可得，即，整理可得，又公差不为，则，故前6项的和为.故选A【答案】A4.【2017年高考浙江卷】已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4 + S62S5”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d0”是“S4
9、+ S62S5”的充要条件，选C【答案】C5.【2019年高考全国III卷文数】记为等差数列的前项和，若，则_.【解析】设等差数列的公差为d，根据题意可得得【答案】1006.【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列an的前n项和，则_【解析】设等差数列an的公差为d,因，所以，即，所以【答案】47.【2019年高考北京卷理数】设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=3，S5=10，则a5=_，Sn的最小值为_【解析】法一：等差数列中,得又,所以公差,由等差数列的性质得时,时,大于0,所以的最小值为或,即为.法二：等差数列中,得又,所以公差,可得，所以结合题意可知，的最小值为或,即为.
10、【答案】 0，.8.【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_【解析】由题意可得：，解得：，则.【答案】169.【2017课标II，理15】等差数列的前项和为，则 。【解析】本题考点是等差数列前n项和公式；裂项求和.设等差数列的首项与公差分别为，由题意有解得.数列的前项的和为.所以有，所以有.【答案】10.【2018年高考全国II卷理数】记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值【解析】（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以
11、当n=4时，Sn取得最小值，最小值为16【答案】（1）an=2n9；（2）Sn=n28n，最小值为1611.【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=-a5（1）若a3=4，求an的通项公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范围【解析】（1）设的公差为d由得由a3=4得于是因此的通项公式为（2）由（1）得，故.由知，故等价于，解得1n10所以n的取值范围是【答案】（1）；（2）.12.【2019年高考北京卷文数】设an是等差数列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（1）求an的通项公式；（2）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值【解析
12、】（1）设的公差为因为，所以因为成等比数列，所以所以解得所以（2）由（1）知，所以，当时，；当时，所以，的最小值为【答案】（1）；（2）当或者时，取到最小值.13.【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列已知（）求和的通项公式；（）设数列满足其中（i）求数列的通项公式；（ii）求【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为依题意得解得故所以，的通项公式为的通项公式为（2）（i）所以，数列的通项公式为（ii） 【答案】（1）；（2）（i）（ii）14.【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，数列满足：对每个成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记 证明：【解析】（1）
13、设数列的公差为d，由题意得，解得从而所以，由成等比数列得解得所以（2）用数学归纳法证明（i）当n=1时，c1=02，不等式成立；（ii）假设时不等式成立，即那么，当时，即当时不等式也成立根据（i）和（ii），不等式对任意成立【答案】（1），；（2）证明见解析.【模拟考场】1.已知数列满足，是递增数列，是递减数列，则_【解析】分析：先判断，可得，所以，根据等差数列的通项公式可得结果.由题意可知是递增数列，所以所以，因为，所以，所以，又所以成立，由是递减数列，同理可得，所以，所以是首项为3，公差为-1的等差数列，故，故答案为-1005.【答案】-10052.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1
14、1，S3a5，am2019，则m 【分析】根据题意，设等差数列an公差为d，结合等差数列的通项公式可得3（1+d）1+4d，解可得d的值，又由ama1+（m1）d2m12019，解可得m的值，即可得答案本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于基础题.【解析】根据题意，设等差数列an公差为d，则S33a23（a1+d），又由a11，S3a5，则3（1+d）1+4d，d2，则ama1+（m1）d2m12019，解可得m1010；【答案】10103.已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 .【解析】由得，因此【答案】4.等差数列an的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10 【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a106由等差数列的性
