《新人教A版必修高中数学第四章《空间两点间的距离公式》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新人教A版必修高中数学第四章《空间两点间的距离公式》（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4 3空间直角坐标系4 3 1空间直角坐标系4 3 2空间两点间的距离公式 课标要求 1 理解空间直角坐标系的有关概念 会根据坐标描出点的位置 由点的位置写出点的坐标 2 掌握空间两点间的距离公式 理解公式使用的条件 会用公式计算或证明 自主学习 知识探究 1 空间直角坐标系的有关概念如图 为了确定空间点的位置 我们建立空间直角坐标系 以单位正方体为截体 以O为原点 分别以射线OA OC OD 的方向为正方向 以线段OA OC OD 的长为单位长 建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 这时 我们说建立了一个空间直角坐标系O xyz 其中点O叫坐标原点 x轴 y轴 z轴叫坐标轴 通过每两个坐标轴的平面
2、叫坐标平面 分别称为xOy平面 yOz平面 zOx平面 通常建立的坐标系为右手直角坐标系 即右手拇指指向x轴的正方向 食指指向y轴的正方向 中指指向z轴的正方向 2 空间任意点与有序数组 x y z 之间的对应法则 1 过点P作一个平面平行于平面yOz 这样构造的平面同样垂直于x轴 这个平面与x轴的交点记为Px 它在x轴上的坐标为x 这个数x就叫做点P的x坐标或横坐标 2 过点P作一个平面平行于平面xOz 垂直于y轴 这个平面与y轴的交点记作Py 它在y轴上的坐标为y 这个数y叫做点P的y坐标或纵坐标 3 过点P作一个平面平行于平面xOy 垂直于z轴 这个平面与z轴的交点记作Pz 它在z轴上的
3、坐标为z 这个数z叫做点P的z坐标或竖坐标 3 关于点对称点A关于点P的对称点为B AB的中点为P 所以欲求点A关于点P的对称点 只需利用空间两点的中点坐标公式列方程求解即可 特别地 点A x y z 关于原点的对称点为B x y z 自我检测 教师备用 1 点 0 2 1 位于 A y轴上 B z轴上 C xOy面上 D yOz面上 D D A 4 点P 3 2 1 关于平面xOy的对称点是 答案 3 2 1 5 设A 3 3 1 B 1 0 5 C 0 1 0 则AB的中点M到点C的距离 CM 答案 题型一 空间中点的坐标的确定 例1 如图所示 已知四棱锥P ABCD PB AD 侧面PA
4、D为边长等于2的等边三角形 底面ABCD为菱形 侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120 G是棱PB的中点 请建立适当的空间直角坐标系 求出点P A B C D G的坐标 课堂探究 解 如图所示 过点P作PO 平面ABCD 垂足为点O 连接PE 因为AD PB PO AD PO PB P 所以AD 平面POB 所以AD OB 因为PA PD 所以OA OD 于是OB平分AD 点E为AD的中点 所以PE AD 所以以垂足O为原点 以OB OP及在底面ABCD内过O且垂直于OB的直线分别为y轴 z轴 x轴建立如图所示的空间直角坐标系 由题意可得 PEB 120 PEO 180 120 60 又
5、等边三角形PAD的边长等于2 所以AE ED 1 PE 方法技巧 1 建立空间直角坐标系时 要考虑如何建系才能使点的坐标简单 便于计算 一般是要使尽量多的点落在坐标轴上 2 对于长方体或正方体 一般取相邻的三条棱为x y z轴建立空间直角坐标系 确定点的坐标时 最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度 即将坐标转化为与轴平行的线段长度 同时要注意坐标的符号 这也是求空间点的坐标的关键 即时训练1 1 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是棱BC CC1上的点 CF AB 2 CE AB AD AA1 1 2 4 试建立适当的坐标系 写出E F点的坐标 1 2 如图 长方体A
6、BCD A1B1C1D1中 AB 4 AD 3 AA1 5 N为棱CC1的中点 分别以AB AD AA1所在的直线为x y z轴 建立空间直角坐标系 1 求点A B C D A1 B1 C1 D1的坐标 解 1 很明显A 0 0 0 由于点B在x轴的正半轴上 且 OB 4 所以B 4 0 0 同理 可得D 0 3 0 A1 0 0 5 由于点C在坐标平面xOy内 BC AB CD AD 则点C 4 3 0 同理 可得B1 4 0 5 D1 0 3 5 与C的坐标相比 点C1的坐标中只有竖坐标不同 CC1 AA1 5 则点C1 4 3 5 2 求点N的坐标 1 3 已知如图所示 在四棱锥P AB
7、CD中 四边形ABCD为正方形 PA 平面ABCD 且 PA AB 2 E为PD的中点 建立适当的坐标系 求A B C D P E的坐标 解 如图所示 以A为坐标原点 AB AD AP所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 由 PA AB 2 四边形ABCD为正方形 可知A B C D P E的坐标分别为A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 E 0 1 1 题型二 空间直角坐标系中点的对称问题 例2 已知点P 2 3 1 求 1 点P关于各坐标平面对称的点的坐标 规范解答 1 设点P关于xOy坐标平面的对称点为P 则点P 在x轴上的坐标及在y
8、轴上的坐标与点P在x轴上的坐标及在y轴上的坐标相同 而点P 在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数 所以 点P关于xOy坐标平面的对称点P 的坐标为 2 3 1 同理 点P关于yOz zOx坐标平面的对称点的坐标分别为 2 3 1 2 3 1 2 点P关于各坐标轴对称的点的坐标 3 点P关于坐标原点对称的点的坐标 规范解答 2 设点P关于x轴的对称点为Q 则点Q在x轴上的坐标与点P在x轴上的坐标相同 而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数 所以 点P关于x轴的对称点Q的坐标为 2 3 1 同理 点P关于y轴 z轴的对称点的坐标分别为 2 3 1
9、 2 3 1 3 点P 2 3 1 关于坐标原点对称的点的坐标为 2 3 1 4 点P关于点 1 2 6 对称的点的坐标 即时训练2 1 1 在空间直角坐标系中 点P 3 4 5 与点Q 3 4 5 两点的位置关系是 A 关于x轴对称 B 关于xOy平面对称 C 关于坐标原点对称 D 以上都不对 2 在空间直角坐标系中 点P 2 1 4 关于xOy平面对称的点的坐标是 A 2 1 4 B 2 1 4 C 2 1 4 D 2 1 4 解析 1 由于P Q两点的横坐标相等 纵坐标与竖坐标分别互为相反数 故P Q两点关于x轴对称 故选A 2 过点P向xOy平面作垂线 垂足为N 则N就是点P与它关于x
10、Oy平面的对称点的中点 因为N的坐标为 2 1 0 所以对称点的坐标为 2 1 4 故选A 2 2 在空间直角坐标系中有一个点P 1 3 2 求 1 点P关于坐标原点O的对称点P1的坐标 解 1 设点P1的坐标为 x1 y1 z1 因为点P和P1关于坐标原点O对称 所以点O为线段PP1的中点 由中点坐标公式得所以点P1的坐标为 1 3 2 2 点P关于x轴的对称点P2的坐标 3 点P关于坐标平面yOz的对称点P3的坐标 题型三 空间两点间的距离 例3 1 在空间直角坐标系中 给定点M 2 1 3 若点A与点M关于xOy平面对称 点B与点M关于x轴对称 则 AB 等于 A 2 B 4 C 2 D
11、 3 3 2 已知点A 1 1 0 对于Oz轴正半轴上任意一点P 在Oy轴上是否存在一点B 使得PA AB成立 若存在 求出B点的坐标 若不存在 说明理由 方法技巧求空间两点间的距离时 一般使用空间两点间的距离公式 应用公式的关键在于建立适当的坐标系 确定两点的坐标 确定点的坐标的方法视具体题目而定 一般说来 要转化到平面中求解 有时也利用几何图形的特征 结合平面直角坐标系的知识确定 即时训练3 1 1 在空间直角坐标系中 A 6 0 1 B 5 1 3 则 AB 2 若点P在x轴上 它到P1 0 3 的距离是到P2 0 1 1 的距离的2倍 则点P的坐标为 答案 1 2 1 0 0 或 1 0 0 答案 1
