《新人教A版必修高中数学第二章《平面》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新人教A版必修高中数学第二章《平面》（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章点 直线 平面之间的位置关系2 1空间点 直线 平面之间的位置关系2 1 1平面 课标要求 1 正确理解平面的概念 2 能用符号语言描述空间点 直线 平面之间的位置关系 3 能用图形 文字 符号三种语言描述三个公理 理解三个公理的地位与作用 自主学习 知识探究 1 平面 1 平面的概念几何里所说的 平面 是从课桌面 黑板面 海面这样的一些物体中抽象出来的 几何里的平面是的 2 平面的画法 水平放置的平面通常画成一个平行四边形 用平行四边形表示平面 平行四边形的锐角通常画成 且横边长等于其邻边长的 如图 1 无限延展 45 2倍 如果一个平面被另一个平面遮挡住 为了增强它的立体感 把被遮挡
2、部分用画出来 如图 2 3 平面的表示图 1 的平面可表示为平面ABCD 平面AC 平面BD或平面 注意 平面 二字不能省略 虚线 2 点 直线 平面之间的位置关系及语言表达 A l A l A A l l l 3 平面的基本性质 两点 不在一条直线上 一个 过该点 探究 教师备用 把下列符号语言表示的图形画出来 l A l B D 且BD l 答案 自我检测 1 三条直线两两相交 可以确定平面的个数是 A 1个 B 1个或2个 C 1个或3个 D 3个2 如图所示 用符号语言可表达为 A m n m n A B m n m n A C m n A m A n D m n A m A n C
3、A 3 三个平面将空间最多能分成 A 6部分 B 7部分 C 8部分 D 9部分4 如果直线a 平面 直线b 平面 M a N b M l N l 则 A l B l C l M D l N C A 解析 因为M l N l 且M N 所以l 5 如图 已知D E是 ABC的边AC BC上的点 平面 经过D E两点 若直线AB与平面 的交点是P 则点P与直线DE的位置关系是 答案 点P在直线DE上 题型一 文字语言 图形语言 符号语言的转换 例1 完成下列各题 1 将下列文字语言转换为符号语言 点A在平面 内 但不在平面 内 直线a经过平面 外一点M 直线l在平面 内 又在平面 内 即平面 和
4、平面 相交于直线l 课堂探究 解 1 A A M a M l 2 将下列符号语言转换为图形语言 a b A A a c a b a c b c P 方法技巧实现三种语言转换要注意 1 用文字语言 符号语言表示一个图形时 首先仔细观察图形有几个平面 几条直线且相互之间的位置关系如何 试着用文字语言表示 再用符号语言表示 2 符号语言的意义 如点与直线的位置关系只能用 或 直线与平面的位置关系只能用 或 3 由符号语言或文字语言画相应的图形时 要注意把被遮挡的部分画成虚线 即时训练1 1 1 A B C表示不同的点 n l表示不同的直线 表示不同的平面 下列推理表述不正确的是 A A l A B
5、l B l B A A B B 直线AB C A B C A B C 且A B C不共线 与 重合 D l n l n A l与n确定唯一平面 2 如图 用符号表示下列图形中点 直线 平面之间的位置关系 解 1 选D 2 在 中 l a A a B 在 中 l a b a l P b l P 1 2 根据下列符号表示的语句 说明点 线 面之间的位置关系 并画出相应的图形 1 A B 2 l m A A l 3 P l P Q l Q 解 1 点A在平面 内 点B不在平面 内 2 直线l在平面 内 直线m与平面 相交于点A 且点A不在直线l上 3 直线l经过平面 外一点P和平面 内一点Q 图形分
6、别如图 1 2 3 所示 题型二 点线共面 例2 1 如图 l1 l2 A l2 l3 B l1 l3 C 求证直线l1 l2 l3在同一平面内 证明 法一 纳入法 因为l1 l2 A 所以l1和l2在同一平面 内 因为l2 l3 B 所以B l2 又因为l2 所以B 同理可证C 又因为B l3 C l3 所以l3 所以直线l1 l2 l3在同一平面内 法二 重合法 因为l1 l2 A 所以l1 l2确定一个平面 因为l2 l3 B 所以l2 l3确定一个平面 因为A l2 l2 所以A 因为A l2 l2 所以A 同理可证B B C C 所以不共线的三个点A B C既在平面 内 又在平面 内
7、 所以平面 和 重合 即直线l1 l2 l3在同一平面内 2 2 如图 点A B 平面 直线a 平面 点M a M l 试在直线a上找一点N 使MN与AB相交 解 在平面 内作直线AB交l于点P 连接MP 则MP与a的交点即是点N 方法技巧证明点线共面问题的理论依据是公理2 常用方法有 1 纳入法 先由部分直线确定一个平面 再证明其他直线在这个平面内 2 重合法 先说明一些直线在一个平面内 另一些直线在另一个平面内 再证明两个平面重合 即时训练2 1 空间两两相交且共点的三条直线 可以确定的平面数是 A 1 B 2 C 3 D 1或3 解析 两两相交且共点的三条直线若在一个平面内 可确定一个平
8、面 若不在一平面内 每两条直线可确定一个平面 共可确定3个平面 故选D 2 2 已知在正方体ABCD A1B1C1D1中 1 AA1与CC1是否在同一平面内 解 1 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 因为AA1 CC1 所以AA1与CC1可确定平面ACC1A1 所以AA1与CC1在同一平面内 2 点B C1 D是否在同一平面内 3 画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线 平面ACD1与平面BDC1的交线 解 2 因为点B C1 D不共线 所以B C1 D可确定平面BC1D 所以点B C1 D在同一平面内 3 因为AC BD O D1C DC1 E 所以O 平面ACC1A1 且O
9、 平面BC1D 又C1 平面ACC1A1 且C1 平面BC1D 所以平面ACC1A1 平面BC1D OC1 同理平面ACD1 平面BDC1 OE 题型三 多点共线 多线共点问题 例3 1 12分 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E为AB的中点 F为AA1的中点 求证 CE D1F DA三线交于一点 变式探究 若将题目条件中的 E F分别为AB AA1的中点 改成E F分别为AB AA1上的点 且D1F CE M 求证 M AD 证明 因为D1F CE M 且D1F 平面A1D1DA 所以M 平面A1D1DA 同理M 平面BCDA 从而M在两个平面的交线上 因为平面A1D1DA
10、平面BCDA AD 所以M AD成立 方法技巧 1 证明三线共点常用的方法 先证明两条直线相交于一点 然后证明这个点在两个平面内 第三条线是这两个平面的交线 于是该点在第三条直线上 从而得到三线共点 也可以先证明a b相交于一点A b与c相交于一点B 再证明A B是同一点 从而得到a b c三线共点 2 类比线共点的证明方法 可得到三点共线的证明方法 首先找出两个平面的交线 然后证明这三点都是这两个平面的公共点 根据公理3 可推知这些点都在交线上 即三点共线 选择其中两点确定一条直线 然后证明第三个点也在这条直线上 3 2 如图所示 在长方体ABCD A1B1C1D1中 O是B1D1的中点 直
11、线A1C交平面AB1D1于点M 则下列结论正确的是 A A M O三点共线 B A M O A1不共面 C A M C O不共面 D B B1 O M共面 解析 连接A1C1 AC 则A1C1 AC 所以A1 C1 C A四点共面 所以A1C 平面ACC1A1 因为M A1C 所以M 平面ACC1A1 又M 平面AB1D1 所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上 同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上 所以A M O三点共线 故选A 即时训练3 1 如图 ABC在平面 外 AB P AC Q BC R 求证 P Q R三点共线 解 因为AB P 所以P AB P 又AB 平面ABC 所以P 平面ABC 由公理3可知点P在平面ABC与平面 的交线上 同理可证Q R也在平面ABC与平面 的交线上 所以P Q R三点共线
