《新人教A版必修高中数学第二章《直线与平面垂直的判定》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新人教A版必修高中数学第二章《直线与平面垂直的判定》（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 3直线 平面垂直的判定及其性质2 3 1直线与平面垂直的判定 课标要求 1 理解线面垂直的定义和判定定理 2 能运用线面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题 3 能在简单的几何体中计算线面角 自主学习 知识探究 1 直线与平面垂直的概念如果直线l与平面 内的都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 记作 直线l叫做平面 的 平面 叫做直线l的 直线与平面垂直时 它们唯一的公共点叫做 探究1 教师备用 若直线a 平面 直线b 则a与b互相垂直吗 答案 垂直 任意一条直线 l 垂线 垂面 垂足 2 直线与平面垂直的判定定理 两条相交直线 a b P 探究2 教师备用 若直线a b 直线a c
2、 且b c 直线a 平面 吗 答案 不一定垂直 当b与c相交时 a 平面 3 直线与平面所成的角 1 如图 一条直线PA和一个平面 相交 但不和这个平面垂直 这条直线叫做这个平面的斜线 斜线和平面的交点A叫做 过斜线上的一点向平面引垂线PO 过垂足O和的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 2 一条直线垂直于平面 称它们所成的角是 一条直线在平面内或一条直线和平面平行 称它们所成的角是的角 于是 直线与平面所成的角 的范围是0 90 斜足 斜足以外 斜足A 锐角 直角 0 自我检测 1 如果一条直线垂直于一个平面内的 三角形
3、的两边 梯形的两边 圆的两条直径 正六边形的两条边 则能保证该直线与平面垂直的是 A B C D 2 下列条件中 能使直线m 的是 A m b m c b c B m b b C m b A b D m b b A D 3 若三条直线OA OB OC两两垂直 则直线OA垂直于 A 平面OAB B 平面OAC C 平面OBC D 平面ABC4 若直线a和直线b与平面 所成的角相等 则直线a与直线b的位置关系是 A 平行 B 相交 C 异面 D 不确定 C D 5 在正方体ABCD A1B1C1D1中 AC1与底面ABCD所成角的正弦值为 题型一 线面垂直的概念与定理的理解 例1 下列说法中正确的
4、个数是 若直线l与平面 内一条直线垂直 则l 若直线l与平面 内两条直线垂直 则l 若直线l与平面 内两条相交直线垂直 则l 若直线l与平面 内任意一条直线垂直 则l 若直线l与平面 内无数条直线垂直 则l A 1 B 2 C 3 D 4 课堂探究 解析 由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是 故选B 误区警示线面垂直的判定定理中 直线垂直于平面内的两条相交直线 相交 两字必不可少 否则 就是换成无数条直线 这条直线也不一定与平面垂直 即时训练1 1 如果一条直线垂直于一个平面内的 三角形的两边 梯形的两边 圆的两条直径 正六边形的两条边 则能保证该直线与平面垂直的是 解析 三角形两边必相
5、交 圆的两条直径必相交 梯形的两边有可能是平行的一组对边 正六边形的两边也可能是一组平行对边 故由线面垂直的判定定理知 能保证该直线与平面垂直的是 答案 1 2 下列命题中 正确命题的序号是 如果直线l与平面 内的无数条直线垂直 那么l 如果直线l与平面 内的两条直线垂直 那么l 若l不垂直于 则在 内没有与l垂直的直线 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条 若a b 则a b 若a b a 则b 解析 根据线面垂直的定义 当直线l与平面 内的任意一条直线垂直时 l 如果 内的无数条直线互相平行 l与 不一定垂直 故 不正确 根据直线与平面垂直的判定定理可知 如果平面 内的两条直线不相交时
6、l与 不一定垂直 故 不正确 当l与 不垂直时 l可能与 内的无数条互相平行的直线垂直 故 不正确 由于过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 故 正确 显然正确 答案 题型二 直线与平面垂直的判定 例2 12分 在三棱锥P ABC中 H为 ABC的垂心 AP BC PC AB 求证 PH 平面ABC 所以AH BC 2分又AP BC AH AP A 所以BC 平面AHP 4分又PH 平面AHP 所以PH BC 6分同理可证PH AB 8分又AB BC B 所以PH 平面ABC 12分 变式探究 在三棱锥P ABC中 H为 ABC的垂心 且PH 平面ABC 求证 AB PC BC AP 证明 如
7、图 连接AH 因为H为 ABC的垂心 所以AH BC 又PH 平面ABC 所以PH BC 又PH AH H 所以BC 平面PAH 所以BC AP 同理可证 AB PC 方法技巧利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线 证明它们都和这条直线垂直 即时训练2 1 如图 四棱锥P ABCD中 O是底面正方形ABCD的中心 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 1 证明 EO 平面PAD 证明 1 连接AC 因为点O是底面正方形ABCD的中心 所以点O是AC的中点 又因为E是PC的中点 所以在 PAC中 EO是中位线 所以PA EO 因为EO 平面PA
8、D PA 平面PAD 所以EO 平面PAD 2 证明 DE 平面PBC 证明 2 因为PD 平面ABCD BC 平面ABCD 所以PD BC 因为底面ABCD是正方形 有BC DC 所以BC 平面PDC 而DE 平面PDC 所以BC DE 因为PD DC 可知 PDC是等腰直角三角形 而DE是斜边PC的中线 所以DE PC 又BC PC 平面PBC 且BC PC C 所以DE 平面PBC 2 2 如图 Rt ABC所在平面外一点S 且SA SB SC 点D为斜边AC的中点 1 求证 SD 平面ABC 证明 1 如图 取AB中点E 连接SE DE 在Rt ABC中 D E分别为AC AB的中点
9、所以DE BC 且DE AB 在 SAB中 因为SA SB 所以SE AB 又SE DE E 所以AB 平面SDE 因为SD 平面SDE 所以AB SD 在 SAC中 因为SA SC D为AC的中点 所以SD AC 因为SD AC SD AB AC AB A 所以SD 平面ABC 2 若AB BC 求证 BD 平面SAC 证明 2 因为AB BC D为斜边AC的中点 所以BD AC 由 1 可知 SD 平面ABC 而BD 平面ABC 所以SD BD 因为SD BD BD AC SD AC D 所以BD 平面SAC 题型三 直线与平面所成的角 1 证明 如图 连接A1B 在 A1BC中 因为E和
10、F分别是BC和A1C的中点 所以EF BA1 又因为EF 平面A1B1BA 所以EF 平面A1B1BA 2 求证 直线AE 平面BCB1 2 证明 因为AB AC E为BC的中点 所以AE BC 因为AA1 平面ABC BB1 AA1 所以BB1 平面ABC 从而BB1 AE 又因为BC BB1 B 所以AE 平面BCB1 3 求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小 方法技巧求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 1 确定斜线与平面的交点 斜足 2 通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线 连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影 则斜线和射影所成的锐角即为所求的角 3 求解由斜线 垂线 射影构成
11、的直角三角形 即时训练3 1 已知正三棱锥S ABC的所有棱长都相等 则SA与平面ABC所成角的余弦值为 3 2 2015 浙江卷 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 BAC 90 AB AC 2 A1A 4 A1在底面ABC的射影为BC的中点 D是B1C1的中点 1 证明 A1D 平面A1BC 1 证明 设E为BC的中点 连接A1E AE 由题意得A1E 平面ABC 所以A1E AE 因为AB AC 所以AE BC 故AE 平面A1BC 连接DE 由D E分别为B1C1 BC的中点 得DE B1B且DE B1B 从而DE A1A且DE A1A 所以AA1DE为平行四边形 于是A1D AE 又因为AE 平面A1BC 所以A1D 平面A1BC 2 求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值 2 解 作A1F DE 垂足为F 连接BF 因为A1E 平面ABC 所以BC A1E 因为BC AE 所以BC 平面AA1DE 所以BC A1F 所以A1F 平面BB1C1C 所以 A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角
