《新人教A版必修高中数学第二章《平面与平面垂直的判定》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新人教A版必修高中数学第二章《平面与平面垂直的判定》（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 3 2平面与平面垂直的判定 课标要求 1 了解二面角及其平面角的定义 并会求简单二面角的大小 2 理解两个平面互相垂直的定义 3 理解两个平面垂直的判定定理 并能用定理判定面面垂直 自主学习 知识探究 1 二面角 1 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫二面角的 这两个半平面叫二面角的 图中的二面角可记作 二面角 AB 或 l 或P AB Q 棱 面 2 二面角的平面角 如图 在二面角 l 的棱l上任取一点O 以点O为垂足 在半平面 和 内分别作的射线OA OB 则射线OA和OB构成的 AOB叫做二面角的平面角 平面角是的二面角叫做直二面角 垂直于棱l 直角
2、探究1 教师备用 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角 答案 可以构成三个二面角 如图所示 分别是 a c b 这三个二面角都是90 2 平面与平面垂直 1 定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 平面 与 垂直 记作 直二面角 2 判定定理 另一个平面的垂线 探究2 教师备用 过平面外一点 可以作多少个与已知平面垂直的平面 答案 无数多个 过平面外一点可以作平面的一条垂线 过此垂线可以作出无数个平面 这些平面都与已知平面垂直 自我检测 教师备用 1 下列结论 1 两个相交平面组成的图形叫做二面角 2 异面直线a b分别和一个二面角的两个半平面垂直 则
3、a b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 3 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个半平面内作射线所成角的最小角 4 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 其中正确的是 A B C D B 2 用a b c表示空间三条不同的直线 表示平面 给出下列命题 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a b 则a b 若a a 则 其中正确命题的序号是 A B C D 3 在正方体ABCD A1B1C1D1的六个面中 与面ABCD垂直的平面有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 D D 4 三棱锥P ABC的两侧面PAB PBC都是边长为2的正三角形 AC 则
4、二面角A PB C的大小为 答案 60 5 如图 P是边长为2的正方形ABCD所在平面外一点 PA AB PA BC 且PC 5 则二面角P BD A的余弦值为 答案 题型一 求二面角 例1 1 如图所示 在正方体ABCD A B C D 中 课堂探究 1 求二面角D AB D的大小 解 1 在正方体ABCD A B C D 中 AB 平面ADD A 所以AB AD AB AD 因此 D AD为二面角D AB D的平面角 在Rt D DA中 D AD 45 所以二面角D AB D的大小为45 2 若M是C D 的中点 求二面角M AB D的大小 解 2 因为M是C D 的中点 所以MA MB
5、取AB的中点N 连接MN 则MN AB 取CD的中点H 连接HN 则HN AB 从而 MNH是二面角M AB D的平面角 MNH 45 所以二面角M AB D的大小为45 1 2 如图 已知D E分别是正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点 且A1D 2B1E B1C1 求过D E C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成二面角的大小 解 如图所示 在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F 则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点 C1F为这两个平面的交线 因此 所求二面角即为二面角D C1F A1 因为A1D B1E且A1D 2B1E 所以E B1分别为DF A1F
6、的中点 因为A1B1 B1C1 B1F 所以FC1 A1C1 因为CC1 平面A1B1C1 FC1 平面A1B1C1 所以CC1 FC1 又A1C1 CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线 所以FC1 平面AA1C1C 因为DC1 平面AA1C1C 所以FC1 DC1 所以 DC1A1是二面角D C1F A1的平面角 由A1D B1C1知A1D A1C1 则 DC1A1 45 故所求二面角的大小为45 方法技巧 1 二面角的平面角满足 顶点在二面角的棱上 两边分别在二面角的两个半平面内 两边分别与二面角的棱垂直 2 二面角的平面角 是两条射线所成的角 因此二面角不一定是锐角 其范围为0 18
7、0 即时训练1 1 正方体ABCD A1B1C1D1中 二面角C1 AB C的平面角等于 解析 因为ABCD A1B1C1D1为正方体 所以AB 平面BCC1B1 因为BC 平面BCC1B1 BC1 平面BCC1B1 所以AB BC AB BC1 所以 CBC1为二面角C1 AB C的平面角 又ABCD A1B1C1D1为正方体 所以 C1BC 45 答案 45 1 2 在四棱锥P ABCD中 底面是边长为a的正方形 PD 平面ABCD PD a 1 求证 AC 平面PBD 1 证明 因为四边形ABCD为正方形 所以AC BD 又PD 平面ABCD 所以AC PD 又PD BD D 所以AC
8、平面PBD 2 求二面角P BC D的平面角 2 解 因为四边形ABCD为正方形 所以BC CD 又PD 平面ABCD 所以BC PD 又CD PD D 所以BC 平面PCD 所以BC PC 所以 PCD为二面角P BC D的平面角 在Rt PCD中 因为PD DC a 所以 PCD 45 即二面角P BC D的平面角为45 3 求二面角P AC D的平面角的正切值 题型二 平面与平面垂直的判定 例2 1 如图 1 在四面体ABCD中 BD a AB AD CB CD AC a 求证 平面ABD 平面BCD 2 如图 2 在正三棱柱ABC A1B1C1中 D为BC的中点 点E在AC上 且DE
9、A1E 求证 平面A1AD 平面BCC1B1 求证 平面A1DE 平面ACC1A1 证明 2 因为三棱柱ABC A1B1C1为正三棱柱 所以BB1 平面ABC 又AD 平面ABC 所以AD BB1 又D为BC的中点 所以AD BC 又BC BB1 B 所以AD 平面BCC1B1 又AD 平面ADA1 所以平面A1AD 平面BCC1B1 因为三棱柱ABC A1B1C1为正三棱柱 所以AA1 平面ABC 又DE 平面ABC 所以AA1 DE 又DE A1E A1E AA1 A1 所以DE 平面ACC1A1 又DE 平面A1DE 所以平面A1DE 平面ACC1A1 变式探究 若本例中 2 改为在正三
10、棱柱ABC A1B1C1中 F为A1C1的中点 求证 平面AB1F 平面ACC1A1 证明 因为三棱柱ABC A1B1C1为正三棱柱 所以AA1 平面A1B1C1 又FB1 平面A1B1C1 所以AA1 FB1 又 A1B1C1为等边三角形 F为A1C1的中点 所以B1F A1C1 又A1C1 AA1 A1 所以B1F 平面ACC1A1 又B1F 平面AB1F 所以平面AB1F 平面ACC1A1 方法技巧判定两平面垂直的常用方法 1 定义法 即说明两个平面所成的二面角是直二面角 2 判定定理法 其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直 即把问题转化为 线面垂直 3 性质法 两个平行平
11、面中的一个垂直于第三个平面 则另一个也垂直于此平面 即时训练2 1 如图 四边形ABCD是正方形 O是正方形的中心 PO 底面ABCD E为PC的中点 求证 平面PAC 平面BDE 证明 因为四边形ABCD为正方形 所以BD AC 又PO 平面ABCD 所以PO BD 又AC PO O AC 平面PAC PO 平面PAC 所以BD 平面PAC 又BD 平面BDE 所以平面BDE 平面PAC 2 2 如图所示 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB AD 1 AA1 2 M是棱CC1的中点 证明 平面ABM 平面A1B1M 2 3 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱垂直于底面 AB
12、BC AA1 AC 2 BC 1 E F分别是A1C1 BC的中点 1 求证 平面ABE 平面B1BCC1 1 证明 因为在三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱垂直于底面所以BB1 AB 又因为AB BC BB1 BC B 所以AB 平面B1BCC1 因为AB 平面ABE 所以平面ABE 平面B1BCC1 2 求证 C1F 平面ABE 2 证明 取AB的中点G 连接EG FG 因为E F分别是A1C1 BC的中点 所以FG AC 且FG AC 因为AC A1C1 且AC A1C1 所以FG EC1 且FG EC1 所以四边形FGEC1为平行四边形 所以C1F EG 又因为EG 平面ABE C1F
13、 平面ABE 所以C1F 平面ABE 3 求三棱锥E ABC的体积 题型三 线面垂直 面面垂直的综合问题 例3 如图 在三棱锥P ABC中 PA 平面PBC PA PB 2 PC 4 BC 2 1 求证 平面PAB 平面ABC 2 E为BA的延长线上一点 若二面角P EC B的大小为30 求BE的长 方法技巧 1 证明垂直关系时要注意利用线面垂直 线线垂直 面面垂直之间的转化 2 求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角 这就需要紧扣它的三个条件 即这个角的顶点是否在棱上 角的两边是否分别在两个半平面内 这两边是否都与棱垂直 在具体作图时 还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧 如 线面的垂直 图形的对称性 与棱垂直的面等 即时训练3 1 如图 四边形ABCD为菱形 G为AC与BD的交点 BE 平面ABCD 1 证明 平面AEC 平面BED 1 证明 因为四边形ABCD为菱形 所以AC BD 又BE 平面ABCD 所以BE AC 又BD BE B 所以AC 平面BED 又AC 平面AEC 所以平面AEC 平面BED 2 若 ABC 120 AE EC 三棱锥E ACD的体积为 求该三棱锥的侧面积
