《河北肥乡一中2013-2014学年高中数学 3.4 不等式的实际应用学案 新人教B版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北肥乡一中2013-2014学年高中数学 3.4 不等式的实际应用学案 新人教B版必修5（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.4不等式的实际应用1解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解列出的不等式(组)，最后结合问题的实际意义写出答案2在实际应用问题中，若应用均值不等式求最值同样必须确保“一正、二定、三相等”的原则 “一正”即必须满足“各项为正数” ；“二定”即求和的最小值必须拼凑成其积为“定值” ，求积的最大值必须使其和为“定值” ；“三相等 ”就是必须验证等号是否成立3对于形如 y x (k0)的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，kx那么这时就可以考虑利用函数的单调性进行求解(1)当 x0 时， f(x) x
2、2 (k0)，当 x 时取“” 另外，我们还可以证明kx k kf(x)在区间(0， 上为减函数，在区间 ，)上为增函数，据此单调性来求函数的值k k域(2)当 x0)(x0)为奇函数kx f(x)在(， 上为增函数，在 ，0)上为减函数k k一、构建一元二次不等式模型解决实际问题方法链接：二次函数、一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，构建一元二次不等式模型时应注意自变量的实际含义例 1一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量 x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的关系： y2 x2220 x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6 000
3、元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解设在一个星期内大约应该生产 x 辆摩托车，根据题意，得2 x2220 x6 000.移项整理，得 x2110 x3 0000，且 AB3 x8， AD 6，10 000x总面积 y ABAD(3 x8) (10 000x 6)30 048 18 x80 000x30 0482 32 448，80 000x 18x当且仅当 18x ，即 x 时，等号成立，80 000x 2003此时 150.10 000x答鱼塘的长为 150 m，宽为 m 时，占地面积最少2003三、利用函数单调性求最值问题方法链接：对于形如 y x 的函数，如果利用均值不
4、等式求最值，等号条件不存在，a2x那么这时就可以考虑用函数的单调性进行求解例 3某工厂有旧墙一面，长 14 米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为 126 平方米的厂房，工程条件是：建 1 米新墙的费用为 a 元；修 1 米旧墙的费用为 元；拆去 1 米旧墙，用所得材a4料建 1 米新墙的费用为 元经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段 x 米( x196.从而 1 0，所以函数 y 在14，)上为增函数126x1x2故当 x14 时， ymin a2 a72 (14 12614 7)35.5 a35a.综上所述，采用第(1)种方案，利用旧墙 12 米为矩形的一面边长时，建墙总费用
5、最省，为 35a 元四、函数、数列、不等式在实际问题中的综合应用方法链接：不等式的知识，尤其是解不等式、均值不等式求最值常常融于函数、数列应用题中加以考查一般是先建立函数模型或数列模型，再利用不等式的知识求某些量的范围或最值例 42009 年推出一种新型家用轿车，购买时费用为 14.4 万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共 0.7 万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为 0.2 万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加 0.2 万元(1)设该辆轿车使用 n 年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为 f(n)，求 f(n)的表达式；(2)这种汽车使用多少年报
6、废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?解(1)由题意得：每年的维修费构成一等差数列， n 年的维修总费用为0.1 n20.1 n(万元)n0 0.2 n 1 2所以 f(n)14.40.7 n(0.1 n20.1 n)0.1 n20.6 n14.4(万元)(2)该辆轿车使用 n 年的年平均费用为 0.1 n0.6f nn 0.1n2 0.6n 14.4n 14.4n2 0.63(万元)0.1n14.4n当且仅当 0.1n 时取等号，此时 n12.14.4n答这种汽车使用 12 年报废最合算五、均值不等式在物理学科中的应用方法链接：均值不等式在物理学科中的电学、力学部分中经常用到，应用时
7、也要注意验证等号是否取到例 54如图所示，电路中电源的电动势为 ，内阻为 r， R1为固定电阻，求可变电阻 R2调至何值时，它所消耗的电功率最大，其最大电功率是多少？分析依据物理知识，建立数量关系，借助二元均值不等式求出最大值解由电学公式，电功率 P UI，有 P2 U2I2 .U2 U2r R1 U2( U2) 2 (定值)，U2 U22 24仅当 U2 U2，即 2U2 时， P2达到最大值，最大值为 .在 2 U2的两端除以 I( I1 I2)， 24 r R1得 2R2 r R2 R1. R2 r R1.可变电阻 R2调至 r R1时，所消耗的电功率最大，最大电功率是 . 24 r R
8、1利用均值不等式时忽略等号成立条件而致错例甲、乙两地相距 s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过每小时 c km，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为 b，固定部分为 a 元(1)将全程运输成本 y(元)表示为速度 v 的函数，并指出该函数的定义域；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？错解(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，因此全程运输成本sv为y( a bv2) s，sv (av bv) a0， b0， s0， v0，定义域为(0， c(2)由(1)知： y s2 s2
9、s .(av bv) avbv ab当 bv，即 v2 ， v 时，取“” av ab ab所以，汽车以 km/h 的速度行驶时，全程运输成本最少ab点拨本题中的 a， b， c 均为字母常量，且为正实数， v 是全程运输成本函数中的自变量， v(0， c，但是 与 c 的大小不确定，上述解答中的最小值 2s 不一定能取ab ab到，应当按 与 c 的大小分类讨论ab正解(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，全程运输成本为sv5y a bv2 s ，sv sv (av bv)故所求函数及其定义域为 y s ， v(0， c(av bv)(2) s， a， b， v 都是正数， s
10、2 s (当且仅当 bv，即 v 时取(av bv) ab av ab“”)若 c，则 v 时全程运输成本最少ab ab若 c，函数 y bv 在 上是减函数，ab av (0， ab证明如下：设 00，即 y1y2，ab ab函数 y bv 在 上是减函数av (0， ab又 cc 时， v c 时全程运输成ab ab ab本最少例如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为 a 米，高度为 b 米已知流出的水中该杂质的质量分数与 a、 b 的乘积 ab 成反比现有制箱材料 60 平方米问当 a、 b
11、 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小( A、 B 孔的面积忽略不计)?解方法一设 y 为流出的水中杂质的质量分数，则 y ，其中 k0 为比例系数，kab依题意，即所求的 a、 b 值使 y 值最小根据题设，有 4b2 ab2 a60 ( a0， b0)，得 b (00， b0)，即 a2 b ab30 ( a0， b0) a2 b2 ，2 ab30.2ab 2 ab当且仅当 a2 b 时，上式取等号由 a0， b0，解得 02)3602x(2) x0，225 x 2 10 800.3602x 2253602 y225 x 36010 440.3602x当且仅当 225x 时，等号成立即当 x24 m，修建围墙的总费用最小，最小总3602x费用是 10 440 元赏析本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用均值不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力
