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1、第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系第一课时自测自评1.下列语句中不是命题的是( )A.梯形是四边形B.等边三角形是等腰三角形吗?C.空集是任何集合的真子集D.若ac=bc,则a=b解析:B不是陈述句,所以不是命题.答案:B 2.语句“若ab,则a+cb+c”( )A.不是命题 B.是假命题C.是真命题 D.不能判断真假解析:这是“若p,则q”形式的命题,是真命题.答案:C3.“若xyR且x2+y2=0,则xy全为0”的否命题是( )A.若xyR且x2+y20,则xy全不为0B.若xyR且x2+y20,则xy不全为0C.若xyR且xy全为0,则x2+y2=0D.若xyR且xy0,则x2+y
2、20答案:B4.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的_命题.答案:逆典例剖析【变式训练1】 判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?(1)一个等比数列的公比大于1时,该数列为递增数列;(2)当x=4时,2x-10;(3)若直线l不在平面内,则直线l与平面平行;(4)所有的正偶数都是合数吗?解 (1)是命题,因为当等比数列的首项a11时,该数列为递减数列,因此,是一个假命题.(2)是命题,是一个真命题.(3)是命题,因为直线与平面可以相交,因此,是一个假命题.(4)不是命题,它是一个疑问句,没有作出判断. 【变式训练2】 把下列命题写成“若p,则q”
3、的形式,并判断其真假.(1)斜率相等的两条直线平行;(2)垂直于同一平面的两平面平行.解 (1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行,真命题.(2)若两个平面都垂直于同一个平面,则这两个平面平行,假命题.【变式训练3】 写出命题“若在二次函数y=ax2+bx+c中,b2-4ac0,则该函数图象与x轴有公共点”的逆命题否命题逆否命题.解 逆命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有公共点,则b2-4ac0 平行于同一条直线的两条直线平行吗?A. B.C. D.答案:B 2.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”和这个命题互为逆否命题的为( )A.若一个数是负数,则它的平方是正数B.若
4、一个数的平方不是正数,则它不是负数C.若一个数的平方是正数,则它是负数D.若一个数不是负数,则它的平方是非负数答案:C3.以下三个命题:分别在两个平面内的直线一定是异面直线;过平面的一条斜线有且只有一个平面与垂直;平行于同一条直线的两个平面平行.其中真命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3解析:错,异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线,正确,错.答案:B4.下列命题中是假命题的是( )A.任意的锐角三角形ABC中,有sinAcosB成立B.命题“若x2-3x+2=0,则有x=1”的逆否命题为“若x1,则x2-3x+20”C.把y=sin3x(xR)的图象上所有的点向右平移 个单位
5、即可得到函数y=sin(3x-)(xR)的图象D.直线x=是函数y=2sin(2x-)的图象的一条对称轴答案:D5.下列命题中正确的是( )“若x2+y20,则x,y不全为零”“边数相等的正多边形都相似”“若m0,则x2+x-m=0有实根”“若x-3y是有理数,则x是无理数”A. B.C. D.答案:A6.有下列命题:ax2+5x-1=0是一元二次方程;抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点;互相包含的两个集合相等;空集是任何集合的真子集.其中真命题的序号是_.答案:7.命题:若a0,则二元一次不等式x+ay-10表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界)是_命题(“真”或“假”
6、).答案:真8.“若ab,则2a2b-1”的否命题是_.答案:若ab,则2a2b-19.把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)实数的平方是非负数;(2)偶函数的图象关于y轴对称.解:(1)若一个数是实数,则这个数的平方是非负数,是真命题.(2)如果一个函数是偶函数,那么它的图象关于y轴对称,是真命题.10.写出下列命题的逆命题否命题逆否命题,并判断真假.(1)实数的平方是非负数;(2)对顶角相等;(3)若m0或n0,则m+n0.分析:分清条件和结论,利用相关知识点判断真假.解:(1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.真命题.否命题:若一个数不是实数,则它的平方不
7、是非负数.真命题.逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.真命题.(2)逆命题:若两个角相等,则这两个角是对顶角.假命题.否命题:若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.假命题.逆否命题:若两个角不相等,则这两个角不是对顶角.真命题.(3)逆命题:若m+n0,则m0或n0.真命题.否命题:若m0且n0,则m+n0.真命题.逆否命题:若m+n0,则m0且n0.假命题.感悟高考答案:D第二课时自测自评1.命题“若函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内是减函数,则loga20,a1)在其定义域内不是减函数B.若loga20,a1)在其定义域内不是减函数C.若loga20,则函
8、数f(x)=logax(a0,a0)在其定义域内是减函数D.若loga20,a1)在其定义域内是减函数答案:A 2.在原命题及其逆命题否命题逆否命题这四个命题中,真命题的个数可以是( )A.1或2或3或4 B.1或3C.0或4 D.0或2或4答案:D3.若命题p的逆命题是q,q的逆否命题是r,则命题r是命题p的( )A.逆命题 B.否命题C.逆否命题 D.等价命题答案:B4.命题:“设abcR,若ac2bc2,则ab”及其逆命题否命题逆否命题中真命题共有( )A.3个 B.2个C.1个 D.0个答案:B典例剖析【变式训练1】 判断下列命题的真假.(1)已知abcdR,若ac或bd,则a+bc+
9、d;(2)若m1,则方程x2-2x+m=0无实数根.解 (1)abcdR,若ac或bd,则a+bc+d的逆否命题是:abcdR,若a+b=c+d,则a=c且b=d.显然该命题是假命题(不妨举反例,取a=d=2,b=c=3),所以原命题是假命题.(2)若m1,则方程x2-2x+m=0无实数根的逆否命题为:若方程x2-2x+m=0有实数根,则m1.x2-2x+m=0有实数根,=4-4m0即m1.逆否命题成立,故原命题是真命题.【变式训练2】 下列命题中,是真命题的是( )A.命题“相似三角形的周长相等”的否命题B.命题“若b=3,则b2=9”的逆命题C.命题“若AB=B,则AB”的逆否命题D.命题
10、“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题答案 D【变式训练3】 证明:已知函数f(x)是R上的增函数,a,bR.若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b0.分析 该题直接证明比较困难,可考虑证明它的逆否命题.证明 原命题的逆否命题是:“若a+b0,则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).”若a+b0,则a-b,b-a,又f(x)在R上是增函数,f(a)f(-b),f(b)f(-a).f(a)+f(b)b,则a2b2的逆否命题”;“若x-3,则x2+x-60”的否命题;“若ab是无理数,则ab是无理数”的逆命题.其中真命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3答案:B3.a,
11、b,c是三条直线,是两个平面,b,c,则下列命题不成立的是( )A.若,c,则cB.“若b,则 ”的逆命题C.若a是c在内的射影,ba,则bcD.“若bc,则c”的逆否命题答案:B4.下列命题:“全等三角形的面积相等”的逆命题;“正三角形的三个角均为60”的否命题;“若k0,则方程x2+(2k+1)x+k=0必有两相异实数根”的逆否命题.其中真命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3解析:的逆命题“面积相等的三角形必全等”是假命题.的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60”为真命题.当k0,方程有两相异实根,原命题与逆否命题均为真命题.答案:C5.命题“若方程ax2+bx+c=0(a0
12、)的=b2-4ac0.则方程无实根”的否命题的逆否命题是( )A.若方程ax2+bx+c=0(a0)的=b2-4ac0,则方程有二实根B.若方程ax2+bx+c=0(a0)无实根,则其=b2-4ac0C.若方程ax2+bx+c=0(a0)有二实根,则其=b2-4ac0D.以上均不对答案:B6.若命题p的逆命题是q,命题p的否命题是v,则q是v的_命题.答案:逆否7.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题否命题逆否命题三个命题中,是真命题的是_.答案:逆否命题答案:9.判断命题“已知axR,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集非空,则a1”的逆否命题的真假.解:原命题的逆否命题为:已知a,xR,如果a1,则关于x的不
