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1、宜用反证法证明的几类命题反证法是证明数学命题的一种重要方法,当直接证明思路受阻,难以成功时,反证法常使人茅塞顿开,柳暗花明它通常用来证明下列几类命题一、否定性命题问题的结论是以否定形式出现(例如“没有”,“不是”,“不存在”等)的命题,宜用反证法例1求证:是无理数分析:在实数集内,证它是无理数,即证它不是有理数证明:假设不是无理数,即为有理数,则设,互质)从而得,上式表明:偶数等于奇数,这与偶数不等于奇数矛盾,于是假设不成立故是无理数例2证明:一个三角形中不可能有两个直角分析:用三角形内角和为证一个三角形中不存在两个直角证明:假设一个三角形中有两个直角不妨设,这与三角形内角和定理矛盾假设不成立
2、,即原命题成立二、“至少”或“至多”类命题若一个命题的结论是“至少”或“至多”,“不都”则可考虑用反证法例3已知、,且2()求证:方程和中,至少有一个方程有实根分析:“至少有一个”是“有一个”、“有两个”,它的反面是“一个都没有”证明:假设这两个一元二次方程都没有实根,那么他们的判别式都小于,即:()代入上式得,即这与“任何实数的平方为非负数”相矛盾,所以假设不成立故这两方程中,至少有一个方程有实根三、唯一性命题若一个命题的结论是“唯一”的形式出现,则可考虑用反证法例4 求证:在一个平面内,过直线外一点P只能作出一条直线垂直于 证明:假设过点可以作两条直线垂直于直线如图,那么PABPBAABP于是APBPABPBA 即PAB的内角和大于,这与定理“三角形内角和等于”相矛盾,故假设不成立2 / 2