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1、 第一节数学归纳法及其应用 1 数学归纳法 1 不完全归纳法 是由 的推理方法 由不完全归纳法所得到的命题并 它是正确的 因此它不能作为论证方法 2 完全归纳法是一种在研究了事物的 情况后得出一般结论的推理方法 其得出的命题结论是 可以作为一种论证方法 特殊到一般 不能保证 可靠的 所有特殊 3 数学归纳法是用来证明与 有关的数学命题的一种常用方法 运用时 常与不完全归纳法结合使用 用不完全归纳法发现归纳总结规律 用数学归纳法证明结论 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的一般步骤如下 正整数 证明当n取第一个值n0 例如n0 1或2 时结论正确 断定结论对于从n0开始的所有正整数都正确 从
2、n0开始的所有正整数 2 归纳 猜想与证明从观察一些特殊的简单的问题入手 根据它们所体现的共同性质 运用不完全归纳法作出一般命题的猜想 然后从理论上证明 或否定 这种猜想 这个过程叫做 它是一个完整的思维过程 是人们从事科学研究发现 认识规律的有效途径 也是用来培养创新思维能力的有效办法 因此 它就成了高考命题的热点之一 归纳 猜想 证明 答案 C 解析 边数最少的凸n边形是三角形 答案 C 答案 B 答案 2k 思路点拨 按数学归纳法的证明步骤 整除问题是常见数学问题 除了在二项式定理中利用二项式定理证明整除外 有些还可用数学归纳法 应用数学归纳法证明整除性问题时 关键是 凑项 采用增项 减
3、项 拆项和因式分解等方法 也可以说将式子 硬提公因式 即将n k时的项从n k 1时的项中 硬提出来 构成n k时的项 后面的式子相对变形 使之与n k 1时的项相同 从而达到利用假设的目的 思路点拨 应用不完全归纳法归纳出有关结论 再应用数学归纳法给予证明 1 应用数学归纳法可以证明与自然数有关的命题 其两个步骤缺一不可 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 二者结合 才能证明结论的正确性 2 应用范围 1 用数学归纳法证明恒等式用数学归纳法证明恒等式时 首先要搞清等式两边的结构特点 注意由 n k到n k 1 时等式两边项的变化情况 关键是如何将式子转化为与归纳假设结构相同的形式 以便使用归纳假设 2 证明不等式用数学归纳法证明不等式的命题 远比证明恒等式困难得多 证明时要灵活运用不等式的性质 可适当放缩 3 证明几何问题用数学归纳法证明几何问题时 要注意结合几何图形的性质 在求由 n k到n k 1 增加的元素个数时 可以先用不完全归纳法找出其变化规律 4 证明数学整除问题用数学归纳法证明整除性问题必然会涉及数或式的整除性的知识 学习时应适当复习 例如 如果a能被c整除 那么a的倍数pa也能被c整除 如果a b都能被c整除 那么它们的和或差a b也能被c整除等 课时提能精练点击进入链接
