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1、1 杨卫国2020年4月7日6时20分 11 1 4随机事件的概率 第四 五课时 合肥六中杨卫国制作 2006年5月13日4时57分 2 杨卫国2020年4月7日6时20分 教学目标 1 了解随机事件和随机事件的概率 了解等可能性事件的概率 会用排列 组合公式计算一些等可能事件的概率 2 通过计算等可能事件的概率 提高综合运用排列 组合的知识的能力和分析问题 解决问题的能力 3 通过运用排列 组合的基本公式计算等可能事件的概率 培养学生的信息迁移和类比推理的能力 4 结合随机事件的发生既有随机性 又存在着统计规律性 使学生了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想 3 杨卫国2020年4月7日
2、6时20分 复习与引入 1事件的定义 随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件 必然事件 在一定条件下必然发生的事件 不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件说明 三种事件都是在 一定条件下 发生的 当条件改变时 事件的性质也可以发生变化 4 杨卫国2020年4月7日6时20分 复习与引入 2 随机事件的概率 一般地 在大量重复进行同一试验时 事件A发生的频率m n总是接近某个常数 在它附近摆动 这时就把这个常数叫做事件的概率 记作P A 随机事件概率反映的是 这个事件发生可能性的大小 即一个随机事件的发生既有随机性 对单次试验来说 又有规律性 对大量重复试验来说 规律性体现在m n的
3、值具有稳定性 当随机试验的次数不断增多 m n的值总在这个常数附近摆动且摆动的幅度越来越小 所以 概率可以看作是频率在理论上的期值 3 概率的确定方法 通过进行大量的重复试验 用这个事件发生的频率近似地作为它的概率 4 概率的性质 必然事件的概率为1 不可能事件的概率为0 随机事件的概率为0 P A 1 事件的概率为0 P A 1 必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 杨卫国2020年4月7日6时20分 5 基本事件 一次试验连同其中可能出现的每一个结果 事件A 称为一个基本事件例如 投掷硬币出现2种结果叫2个基本事件 通常试验中的某一事件A由几个基本事件组成 例如 投掷一枚骰子
4、出现正面是3的倍数这一事件由 正面是3 正面是6 这两个基本事件组成 6 等可能性事件 等可能性事件指 一次试验中所有可能出的n个基本结果出现的可能性都相等 这n个结果对应着n个基本事件 每个基本事件的概率都是1 n 如果某事件A包含着这n个等可能基本事件中的m个基本事件 称事件A为等可能随机事件 复习与引入 6 杨卫国2020年4月7日6时20分 7 等可能性事件的概率 如果一次试验中可能出现的结果有n个 而且所有结果都是等可能的 如果事件A包含m个结果 那么事件A的概率P A m n m n 一个基本事件对应一次试验的结果 且每个基本事件的概率都是1 n 即是等可能的 公式P A m n是
5、求解公式 也是等可能性事件的概率的定义 它与随机事件的频率有本质区别 随机事件的频率 一般地不是一个常数 只有在大量重复试验下 它总在某个常数附近摆动 才把这个常数叫做随机事件的概率 因此 可以说概率是频率的稳定值 频率是概率的近似值 可以从集合的观点来考察事件A的概率 P A card A card I m n 复习与引入 7 杨卫国2020年4月7日6时20分 7 等可能性事件的概率 对古典概率来说 一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合I 包括m个结果的事件A为I的含有m个基本事件的子集A 从而从集合角度来看 事件A的概率是子集A的元素个数与集合I的元素个数的比值 即P A m n
6、其中各基本事件均为集合I的含有一个元素的子集 事件事件 一次试验中等可能性随机事件A和B发生的概率P A P B 未必相等 若事件A和C所含的基本事件的个数相同 则有P A P C 如事件A表示投掷一枚骰子出现正面是奇数这一事件 事件B表示投掷一枚骰子出现正面是3的倍数这一事件 则事件A和B发生的概率P A P B 就不相等P A P B 若事件C表示投掷一枚骰子出现正面是偶数这一事件 则事件A和C发生的概率P A P C 就相等 P A P C 复习与引入 8 杨卫国2020年4月7日6时20分 8 等可能性事件的概率公式及一般求解方法 计算所有基本事件的总数n 计算事件A所包含的基本事件的
7、总数m 计算P A m n9 对等可能事件的概率计算应注意 分清所有基本事件的总和 n 和事件A所包含的基本事件总和 m 运用排列 组合公式时应仔细分析 所研究的对象是否可区分 排列方式是否有序 抽取方式是否有 放回 以便做到不杂 不漏 不重 复习与引入 9 杨卫国2020年4月7日6时20分 例1同时掷四枚均匀硬币 求 恰有两枚 正面向上 的概率 至少有两枚 正面向上 的概率 分析 同时掷掷任意投掷四枚均匀硬币 每个硬币的结果都有两种可能性 四枚硬币的情况决定了一次试验的结果 每种结果的出现是等可能的 本题是等可能事件的概率问题 讲授新课 10 杨卫国2020年4月7日6时20分 例1同时掷
8、四枚均匀硬币 求 恰有两枚 正面向上 的概率 至少有两枚 正面向上 的概率 解 同时投掷四枚硬币 正面 反面向上的不同结果总数为 种 恰有两枚正面向上的结果总数为 所以恰有两枚正面向上的概率为 至少有两枚正面向上的结果总数为 种所以至少两枚正面向上的概率为 讲授新课 11 杨卫国2020年4月7日6时20分 例1同时掷四枚均匀硬币 求 恰有两枚 正面向上 的概率 至少有两枚 正面向上 的概率 例1说明 使用等可能事件概率公式时 首先要判定事件是不是等可能事件 本题实际上可推广到投掷n枚硬币 恰好有m枚正面向上的概率以及至少有m枚正面向上的概率 设两个事件分别为A B 可以求到 讲授新课 12
9、杨卫国2020年4月7日6时20分 例2用4个不同的球任意投入4个不同的盒子内 每盒投入的球数不限 计算 无空盒的概率 恰好有一空盒的概率 分析 一次试验的结果是每个球分别在哪个盒子 由于一个球投入哪一个盒中是任意的 所以一次试验的各个结果是等可能的 本题是等可能事件的概率问题 讲授新课 13 杨卫国2020年4月7日6时20分 例2用4个不同的球任意投入4个不同的盒子内 每盒投入的球数不限 计算 无空盒的概率 恰好有一空盒的概率 解 本题是等可能事件的概率问题 4个不同的小球投入四个盆子的所有不同的结果总数为 无空盒的结果总数为 所以无空盒的概率为 恰有一个空盒 则必有一盒2球 另有两盒各1
10、球 其所有可能结果总数为 或 所以恰有一空盒的概率为 讲授新课 14 杨卫国2020年4月7日6时20分 说明 由于每个小球投入哪一个盒子是任意的 从而导致4个小球投入4个盒子的不同结果是等可能的 现在把球换成人 盒子换成房间 则问题就转变成了若干人任意住进若干个房间的问题 这就是古典概率中有名的 分房问题 请看下面的例子 例3有6个房间安排4个旅游者住宿 每人可以随意进哪一间 而且一个房间也可以住几个人 试求下列事件的概率 事件A 指定的4个房间中各有1人 事件B 恰有4个房间中各有1人 事件C 指定的某个房间中有两人 事件D 第1号房间有1人 第2号房间有3人 讲授新课 15 杨卫国202
11、0年4月7日6时20分 例3 事件A 指定的4个房间中各有1人 事件B 恰有4个房间中各有1人 事件C 指定的某个房间中有两人 D 第1号房间有1人 第2号房间有3人 分析 由于每个人进哪一个房间是随意的 所以4个人住房的各种结果是等可能的 本题是等可能事件的概率问题 讲授新课 16 杨卫国2020年4月7日6时20分 例3 事件A 指定的4个房间中各有1人 事件B 恰有4个房间中各有1人 事件C 指定的某个房间中有两人 D 第1号房间有1人 第2号房间有3人 解 4个人住进6个房间 所有可能的住房结果总数为 种 指定的4个房间每间1人共有 种不同住法 恰有4个房间每间1人共有 种不同住法 指
12、定的某个房间两个人的不同的住法总数为 第一号房间1人 第二号房间3人的不同住法总数为 种 讲授新课 17 杨卫国2020年4月7日6时20分 例3说明 分房问题 抽象化以后可以与许多问题发生联系 比如 前面例题的小球投入盒子 安排几个人做某几项工作 几列火车停在哪个站道 若干个同学各自在哪一天生日等等 我们可以看例子 某班有50名同学 一年按365天计算 至少有两名同学在同一天生日的概率是多少 50名同学相当于上述例题中的旅游者 每一天相当于 房间 50名同学所有生日的不同结果总数为 至少有两名同学在同一天生日的结果总数可用间接法计算 总数为 则至少有两人在同一天生日的概率为 利用工具计算后将
13、会发现 这是一个很接近1的结果 即50个人的一个班级中 有两个人在同一天生日的概率很大 高达0 97 几乎是令人惊讶的结果 18 杨卫国2020年4月7日6时20分 例4某人有5把钥匙 其中有一把是打开房门的钥匙 但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙 于是他逐把不重复地试开 问 恰好第三次打开房门锁的概率是多少 三次内打开房门锁的概率是多少 分析 某人五次顺次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列 由于他每次拿哪一把是任意的 所以不同的拿钥匙的结果的可能性相同 本题是等可能事件的概率问题 讲授新课 19 杨卫国2020年4月7日6时20分 例4某人有5把钥匙 其中有一把是打开房门的钥匙 但他忘记了
14、哪一把是打开房门的钥匙 于是他逐把不重复地试开 问 恰好第三次打开房门锁的概率是多少 三次内打开房门锁的概率是多少 解 本题是等可能事件的概率问题 某人5次拿钥匙的所有不同的结果是 恰好第3次拿出开房门钥匙的结果总数为 所以恰好第3次打开房门的概率为 或 前3次内拿出开房门钥匙的结果总数为 所以前3次打开房门的概率为 或 讲授新课 20 杨卫国2020年4月7日6时20分 例4说明 如果5把钥匙中有2把可以开房门的钥匙 则在前3次内打开房门的概率是多少 三次内找开房门说明在前三次中至少有1次取出开房门钥匙 我们可以分类讨论 恰有一把开房门钥匙在前3次拿出的结果总数为 恰有两把开房门钥匙在前3次
15、拿出的结果总数为 这样我们得到前三次内打开房门的结果总数为 从而前3次内打开房门的概率为 或 讲授新课 21 杨卫国2020年4月7日6时20分 例5抽签口语测试 共有a b张不同的考签 每个考生抽1张考签 抽过的考签不再放回 某考生只会考其中的a张 他是第k个抽签的 求该考生抽到会考考签的概率 分析 因为每个人抽哪一张考签是随意的 所有人抽签后抽出的结果相当于这些考签的一个全排列 而且各种不同的排列结果出现的可能性相同 本题是求等可能事件的概率问题 讲授新课 22 杨卫国2020年4月7日6时20分 例5抽签口语测试 共有a b张不同的考签 每个考生抽1张考签 抽过的考签不再放回 某考生只会
16、考其中的a张 他是第k个抽签的 求该考生抽到会考考签的概率 解 本题是等可能事件的概率问题 a b个考生的所有不同的抽签结果的总数为 某个考生第k次抽签 他正好抽到会考的a张考签的一个 相当于所有抽签的结果中第k张考签是a张考签中的1张 我们可以得到所有这种抽签结果的总数为 所以某个考生抽到会考考签的概率为 或 讲授新课 23 杨卫国2020年4月7日6时20分 例5说明 从计算结果看 第几次抽签对该考生抽到会考考签的概率并没有影响 也就是说 无论他是第几个抽签 都不会影响他抽到会考考签的可能性 在日常生活中有这样的问题 10张彩票中有1张是中奖彩票 现在10个人去摸彩 先摸后摸对中奖的可能性有无影响 现在我们可以来计算这个问题的结果 现在假定你是第m个去摸奖 为了计算中奖的概率 先算出10个人摸彩的所有可能结果是 而中奖彩票正好出现在第m个的所有可能结果为 这样可以得出你中奖的概率为 结果与m并无关系 根本无须担心中奖彩票被别人抓去 讲授新课 10 9 24 杨卫国2020年4月7日6时20分 例6已知10只晶体管中有8只正品 2只次品 每次任抽取1只测试 测试后放回 求下列事件的概
