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1、 2 1函数及其表示 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 1 函数的基本概念 1 函数的定义设A B是两个非空的 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合A中的任意一个数x 在集合B中都有确定的数f x 和它对应 那么就称f A B为从集合A到集合B的一个函数 记作 数集 唯一 y f x x A 2 函数的定义域 值域在函数y f x x A中 其中所有x组成的集合A称为函数y f x 的 将所有y组成的集合叫做函数y f x 的 3 函数的三要素 和 4 函数的表示法表示函数的常用方法有 和 定义域 值域 定义域 对应关系 值域 解析法
2、 图象法 列表法 5 分段函数若函数在其定义域的不同子集上 因不同而分别用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 其值域等于各段函数的值域的 分段函数虽由几个部分组成 但它表示的是一个函数 对应关系 并集 并集 2 函数定义域的求法 f x 0 f x 0 f x 0 f x 1 g x 0 交集 意义 3 函数解析式的求法求函数解析式常用方法有 配凑法 消去法 待定系数法 换元法 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x 与g x x是同一个函数 2 若两个函数的定义域与值域相同 则这两个函数相等 3 若函数f x 的定义域为
3、x 1 x 3 则函数f 2x 1 的定义域为 x 1 x 5 5 函数是特殊的映射 6 函数f x 1的值域是 y y 1 C C 3 0 解析 当a 0时 由log3a 1 解得a 3 0 符合题意 当a 0时 由 a 1 解得a 0 符合题意 综上所述 a 0或a 3 例1有以下判断 题型一函数的概念 函数y f x 的图象与直线x 1的交点最多有1个 f x x2 2x 1与g t t2 2t 1是同一函数 其中正确判断的序号是 例1有以下判断 题型一函数的概念 函数y f x 的图象与直线x 1的交点最多有1个 f x x2 2x 1与g t t2 2t 1是同一函数 其中正确判断的
4、序号是 例1有以下判断 题型一函数的概念 函数y f x 的图象与直线x 1的交点最多有1个 f x x2 2x 1与g t t2 2t 1是同一函数 其中正确判断的序号是 对于 若x 1不是y f x 定义域内的值 则直线x 1与y f x 的图象没有交点 如果x 1是y f x 定义域内的值 由函数定义可知 直线x 1与y f x 的图象只有一个交点 即y f x 的图象与直线x 1最多有一个交点 对于 f x 与g t 的定义域 值域和对应关系均相同 所以f x 和g t 表示同一函数 例1有以下判断 题型一函数的概念 函数y f x 的图象与直线x 1的交点最多有1个 f x x2 2
5、x 1与g t t2 2t 1是同一函数 其中正确判断的序号是 综上可知 正确的判断是 答案 例1有以下判断 题型一函数的概念 函数y f x 的图象与直线x 1的交点最多有1个 f x x2 2x 1与g t t2 2t 1是同一函数 其中正确判断的序号是 思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定 当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数 值得注意的是 函数的对应关系是就结果而言的 判断两个函数的对应关系是否相同 只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值 按照这两个对应关系算出的函数值是否相同 跟踪训练1 1 下列各组函数中 表示同一函数的是 解析A中 g x x f
6、x g x B中 f x x x R g x x x 0 两函数的定义域不同 C中 f x x 1 x 1 g x x 1 x R 两函数的定义域不同 g x 的定义域为 x x 1或x 1 两函数的定义域不同 故选A 答案A 2 下列四个图象中 是函数图象的是 A B C D 解析由每一个自变量x对应唯一一个f x 可知 不是函数图象 是函数图象 B 题型二求函数的解析式 例2 1 已知f 1 lgx 则f x 解析 答案 思维升华 题型二求函数的解析式 例2 1 已知f 1 lgx 则f x 解析 答案 思维升华 题型二求函数的解析式 例2 1 已知f 1 lgx 则f x 解析 答案 思
7、维升华 题型二求函数的解析式 例2 1 已知f 1 lgx 则f x 函数解析式的求法 1 待定系数法 若已知函数的类型 如一次函数 二次函数 可用待定系数法 2 换元法 已知复合函数f g x 的解析式 可用换元法 此时要注意新元的取值范围 3 配凑法 由已知条件f g x F x 可将F x 改写成关于g x 的表达式 然后以x替代g x 便得f x 的解析式 4 消去法 已知f x 与f或f x 之间的关系式 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组 通过解方程组求出f x 解析 答案 思维升华 例2 2 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 则f x
8、 解析 答案 思维升华 例2 2 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 则f x 待定系数法 设f x ax b a 0 则3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2ax 2a 2b ax 5a b 即ax 5a b 2x 17不论x为何值都成立 解析 答案 思维升华 例2 2 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 则f x f x 2x 7 解析 答案 思维升华 例2 2 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 则f x f x 2x 7 2x 7 解析 答案 思维升华 例2 2 已知f x
9、 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 则f x 函数解析式的求法 1 待定系数法 若已知函数的类型 如一次函数 二次函数 可用待定系数法 2 换元法 已知复合函数f g x 的解析式 可用换元法 此时要注意新元的取值范围 3 配凑法 由已知条件f g x F x 可将F x 改写成关于g x 的表达式 然后以x替代g x 便得f x 的解析式 4 消去法 已知f x 与f或f x 之间的关系式 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组 通过解方程组求出f x 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 消去法 解析 答案 思维升华 消去法 解析 答案 思维升华 函数解
10、析式的求法 1 待定系数法 若已知函数的类型 如一次函数 二次函数 可用待定系数法 2 换元法 已知复合函数f g x 的解析式 可用换元法 此时要注意新元的取值范围 3 配凑法 由已知条件f g x F x 可将F x 改写成关于g x 的表达式 然后以x替代g x 便得f x 的解析式 4 消去法 已知f x 与f或f x 之间的关系式 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组 通过解方程组求出f x 解析 答案 思维升华 得f t t2 1 t 1 f x x2 1 x 1 x2 1 x 1 2 2013 安徽 定义在R上的函数f x 满足f x 1 2f x 若当0 x 1时 f
11、x x 1 x 则当 1 x 0时 f x 解析当 1 x 0时 0 x 1 1 3 已知f x 满足2f x f 3x 则f x 解析 答案 思维升华 题型三求函数的定义域 例3 1 函数f x 的定义域为 A 0 B 1 C 0 1 D 0 1 1 题型三求函数的定义域 例3 1 函数f x 的定义域为 A 0 B 1 C 0 1 D 0 1 1 解析 答案 思维升华 题型三求函数的定义域 例3 1 函数f x 的定义域为 A 0 B 1 C 0 1 D 0 1 1 B 解析 答案 思维升华 题型三求函数的定义域 例3 1 函数f x 的定义域为 A 0 B 1 C 0 1 D 0 1 1
12、 简单函数定义域的类型及求法 1 已知函数的解析式 则构造使解析式有意义的不等式 组 求解 2 抽象函数 若已知函数f x 的定义域为 a b 则函数f g x 的定义域由不等式a g x b求出 若已知函数f g x 的定义域为 a b 则f x 的定义域为g x 在x a b 时的值域 B 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 例3 2 2013 大纲全国 已知函数f x 的定义域为 1 0 则函数f 2x 1 的定义域为 例3 2 2013 大纲全国 已知函数f x 的定义域为 1 0 则函数f 2x 1 的定义域为 解析 答案 思维升华 例3 2 2013 大纲全国 已知函数f
13、x 的定义域为 1 0 则函数f 2x 1 的定义域为 B 解析 答案 思维升华 例3 2 2013 大纲全国 已知函数f x 的定义域为 1 0 则函数f 2x 1 的定义域为 简单函数定义域的类型及求法 1 已知函数的解析式 则构造使解析式有意义的不等式 组 求解 2 抽象函数 若已知函数f x 的定义域为 a b 则函数f g x 的定义域由不等式a g x b求出 若已知函数f g x 的定义域为 a b 则f x 的定义域为g x 在x a b 时的值域 B 解析 答案 思维升华 跟踪训练3 1 已知函数f x 的定义域是 0 2 则函数g x f x f x 的定义域是 解析因为函
14、数f x 的定义域是 0 2 1 1 解析 答案 思维升华 题型四分段函数 题型四分段函数 由题意知f 1 21 2 f a f 1 0 f a 2 0 当a 0时 f a 2a 2a 2 0无解 当a 0时 f a a 1 a 1 2 0 a 3 解析 答案 思维升华 题型四分段函数 由题意知f 1 21 2 f a f 1 0 f a 2 0 当a 0时 f a 2a 2a 2 0无解 当a 0时 f a a 1 a 1 2 0 a 3 A 解析 答案 思维升华 题型四分段函数 1 分段函数是一个函数 分段求解 是解决分段函数的基本原则 2 在求分段函数值时 一定要注意自变量的值所在的区间
15、 再代入相应的解析式 自变量的值不确定时 要分类讨论 A 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 由题设f x 2 x2 1 得当x 1或x 1时 fM x 2 x2 当 1 x 1时 fM x 1 fM 0 1 解析 答案 思维升华 B 由题设f x 2 x2 1 得当x 1或x 1时 fM x 2 x2 当 1 x 1时 fM x 1 fM 0 1 解析 答案 思维升华 1 分段函数是一个函数 分段求解 是解决分段函数的基本原则 2 在求分段函数值时 一定要注意自变量的值所在的区间 再代入相应的解析式 自变量的值不确定时 要分类讨论 B 解析 答案 思维升华 易错分析 解析 温馨提醒
16、易错警示系列2分段函数意义理解不清致误 f 1 a f 1 a 则a的值为 易错警示系列2分段函数意义理解不清致误 f 1 a f 1 a 则a的值为 本题易出现的错误主要有两个方面 1 误以为1 a1 没有对a进行讨论直接代入求解 2 求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误 易错分析 解析 温馨提醒 易错警示系列2分段函数意义理解不清致误 f 1 a f 1 a 则a的值为 当a 0时 1 a1 由f 1 a f 1 a 可得2 2a a 1 a 2a 易错分析 解析 温馨提醒 解得a 不合题意 易错警示系列2分段函数意义理解不清致误 f 1 a f 1 a 则a的值为 易错分析 解析 温馨提醒 当a1 1 a 1 由f 1 a f 1 a 可得 1 a 2a 2 2a a 解得a 易错警示系列2分段函数意义理解不清致误 f 1 a f 1 a 则a的值为 1 对于分段函数的求值问题 若自变量的取值范围不确定 应分情况求解 易错分析 解析 温馨提醒 易错警示系列2分段函数意义理解不清致误 f 1 a f 1 a 则a的值为 2 检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中 求
