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1、函数背景下的不等式问题长沙市十五中高三数学备课组 1 考纲要求 函数 1 了解映射的概念 理解函数的概念 2 了解函数的单调性的概念 掌握判断一些简单函数的单调性的方法 3 了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系 会求一些简单函数的反函数 4 理解分数指数的概念 掌握有理指数幂的运算性质 掌握指数函数的概念 图象和性质 5 理解对数的概念 掌握对数的运算性质 掌握对数函数的概念 图象和性质 6 能够运用函数的性质 指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题 不等式 1 理解不等式的性质及其证明 2 掌握两个 不扩展到三个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理 并会简单应用
2、3 掌握分析法 综合法 比较法证明简单的不等式 4 掌握简单不等式的解法 5 理解不等式 2 函数与不等式的相依关系 函数与不等式的关系实际上是等与不等的关系 等与不等的关系 既对立又统一 相互依存 如含一个未知数的不等式均可化为f x 0或f x 0的形式 这就是函数y f x 的函数值大于零或函数值小于零 解不等式就是求函数值对应的x的范围 对不等式的研究 可以了解函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性及函数图象的形状 范围 同时不等式也是研究函数极值的重要工具 可以说离开了不等式的研究就认识不了函数 函数是高中数学的基石 高等数学的灵魂 而不等式是研究函数的工具 它们是初等数学过渡到
3、高等数学的纽带 所以 它们自然成为高考的重点 热点 所以高考中长考不衰 3 2004 2005高考试题中解答题函数与不等式情况的横向分析 3 1考题情况列表分析 表 04年 表 05年 表 3 2分析与启示 在全国04 05年的32份高考试卷中 有23份考了函数与不等式的题目占70 有9份考了数列与不等式的题目占30 同一份试卷中多的出现3道函数与不等式有04 辽宁 出现2道的有04 北京 04 上海 05 北京 05天津 从题次来看 2004年18道题中排在20题后的有11道 占61 但在2005年的13道题中排在第17题的有2道 排在第18题的有1道 排在第19题的有2道 排在第20题的有
4、5道 排在第22题的有3题 这说明函数情景下的不等式问题在高考中有变易的趋势 我们在应考复习中不宜搞得太难 而数列与不等式的题目一般在21题与22题 知道了这一点 复习就有了方向 从试题的题型结构上看 应用题有8道 占25 05年只有一道函数与不等式的应用题 设一问的有3道题 占9 设三问的有6道题 主要出现在全国试卷中 占18 其余均为2问题 占73 从考试内容 表 上看 涉及单调性或最值的有12道题 占38 求参数的取值范围的有10道题 占31 恒成立问题有2道 占7 不等式的证明有4道 占13 几乎每道题都涉及到了不等式的转化和解不等式 这说明教学中应特别注意解不等式的基本功的训练 几种
5、常用证不等式的方法应巩固加强 恒成立问题的几种解题方法与解题模式要进行归纳总结 让学生对可能出现的问题对之有法 应之有策 从涉及到的函数形式上看 最多的是以e为底的指 对函数 有10道题 二次函数有7道题 分式函数有7道题 三次函数有2道题 抽象函数有4道题 含绝对值的有3道题 这些数据表明 因为导数的加入 以前不太考的超越函数和三次函数突然加大了考试的力度而成为一个新的热点 跃居第一 传统的二次函数和分式函数依然占很大的份额 抽象函数和含绝对值的函数在复习时要占一定的比例 从整体上看 函数与不等式在解答题中是考查的重点内容 04年较之03年有较大的变化 05 年的试题在04 年的基础上稳中有
6、变 但较之04 年导数加入高考时的变化要小得多 试卷更加体现初等数学与高等数学的衔接性 选拔性 特别值得一提的是 北京这两年的考题坚持改革创新 题型新颖 一改传统的应用题模式 更加具高等数学的语言特征 题目虽然运算量不大 但对思维能力的要求高 给学生留下了较大的探索空间 题目较长 阅读量大 学生需要认真阅读理解 分析 搜集 处理多个信息 并提炼 加工 找出数量关系转化为数学模型 对考查学生的创新能力做了新的探索 值得我们在复习中借鉴 4 几点建议 1 加强对常考函数的模块训练 对二次函数 分式函数 指 对函数 抽象函数 三次函数 分段函数 恒成立问题及函数与不等式互相转化的问题进行针对性训练
7、可以增强学生考试的应对能力 但不要搞题海战术 通过有限的题让学生掌握解这类题的通法通则 2 重视导数在解题中的万能作用 在高中阶段引入导数 其主要作用是解决切线 极值 单调性等问题 是每年高考的必考内容 利用导数求解函数与不等式就显得必不可少 它可以取代很多初等的求解方法而具有万能作用 3 函数与不等式是高中代数中的重点和难点 复习中首先不宜搞得太难 以免让学生望而生畏 而应采取螺旋式的复习方法 先易后难 循序渐进 教师讲解力求通透 以质取胜 一知半解的知识学生是用不动的 4 加强对文字题的阅读理解 学生阅读时第一遍是泛读 理解大概题意和实际问题的背景 然后才是逐字逐句的推敲 挖掘隐含条件 设
8、自变量 寻找函数关系式 建立模型 写出定义域 再寻找下一步的解题方法 5 对于不等式的证明问题 首先要训练学生学会参照目标进行分析 比较 确定证题思路和方法 常用比较法 分析法 综合法 放缩法 三角换元 反证法 数学归纳法等 学生要滥熟于心 招之即来 应用自如 5热点题型举例 例题1 设不等式 0 对于满足的一切m的值都成立 求x的取值范围 解一 主元法 令 0 成立 0 不成立 由题意 0 0 x x 综上 解二 分离系数法 原不等式可化为 1 0 2 x 1 2 3 2 0 1 x 综上 x 点评 没有函数 构造函数 利用函数的单调性解题 这充分体现了函数思想在解答数学问题中的作用 解法二
9、是利用分离系数的方法 这是解恒成立问题的常规方法 学生必须掌握好 例2 已知函数f x a b为常数 且方程f x x 12 0有两个根为x1 3 x2 4 1 求函数f x 的解析式 2 设k 1 解关于x的不等式f x 解 1 将x1 3 x2 4代入方程求得a 1 b 2f x 2 不等式即为 0 1 k 2时 k 2时 k 2时 点评 本题以函数为载体 涉及到了解方程 含参数的不等式等有关知识 解题时用到了待定系数法 方程思想 分类讨论 考查了学生多方面的能力 例3 已知函数f x 设数列 an 满足 a1 1 an 1 f n 设数列 bn 满足 bn an Sn b1 b2 bn
10、1 用数学归纳法证明 2 证明 Sn 证明 1 当x 0时 下面用数学归纳法证明 当n 1时 不等式成立 假设当n k时 不等式成立 那么所以 当n k 1时 不等式也成立 根据 和 可知对任意正整数n 不等式都成立 2 由 1 知 故对任意正整数n 点评 本题主要涉及到了函数 数列 不等式 数学归纳法等基础知识 这种题型在高考中占有很大的比例 且多为压轴题 在解题过程中 主要使用转化与化归的思想 复习以中偏难题为主 例4 长株潭一体化后 住在一个城市的人到另一个城市上班成为可能 为了方便城市间人员的往来 决定2010年在三个城市间修一条轻轨铁路 已知长潭相距40Km 株潭相距20Km 有一班
11、车运行时间表规定 早晨7 00从珠洲出发 7 15到达湘潭 7 18从湘潭出发 7 45到达长沙 但在实际运行时有误差 设运行时以vKm min匀速行驶 1 写出以v为自变量列车到达湘潭 长沙的运行时间误差之和的函数关系式 2 为确保上班人员正点到达 要求列车在湘潭 长沙两站的运行误差之和不超过5min 求v的取值范围 解 点评 高考应用题一般立意新颖 学生要仔细阅读题意 正确理解题目的背景材料 列出解析式即建立数学模型 再利用数学知识解决问题 解 点评 本题两次将三次函数问题利用求导转化为二次函数问题来处理 是近年高考的一个新兴题型 充分体现了常量与变量的辨证关系 应用极值证明不等式 值得借鉴
