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1、高考解答题突破(三)立体几何突破“一建”建模立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深解决这类题目的原则是建模将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型考向一证明线、面平行与垂直1证明平行关系(1)证明线线平行的常用方法利用三角形中位线定理证明：即遇到中点时，常找中位线，利用该定理证明利用平行四边形对边平行证明：即要证两线平行，以两线为对边构造平行四边形证明利用平行公理证明：即要证两线平行，找第三条线并证明其分别与要证两线平行即可(2)证明线面平行的常用方法利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行利用面面平行的
2、性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行(3)证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个平面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行2证明垂直关系(1)证明线线垂直的常用方法利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直利用勾股定理的逆定理利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可(2)证明线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于
3、一个平面，则另一条也垂直于这个平面等(3)证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决 证明(1)PAPD，且E为AD的中点，PEAD底面ABCD为矩形，BCAD，PEBC(2)底面ABCD为矩形，ABAD平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面PAD又PD平面PAD，ABPD又PAPD，PAABA，(3)如图，取PC中点G，连接FG，GDF，G分别为PB和PC的中点，FGBC，且FGBC四边形ABCD为矩形，且E为A
4、D的中点，EDBC，DEBC，EDFG，且EDFG，四边形EFGD为平行四边形，证明空间平行与垂直关系的步骤1(2019山东新泰质量检测)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1C1C是矩形，侧面AA1C1C侧面AA1B1B，且AB4AA14，BAA160，D是AB的中点(1)求证：AC1平面CDB1；(2)求证：DA1平面AA1C1C证明(1)连接A1C交AC1于F，取B1C的中点E，连接DE，EF.四边形AA1C1C是矩形，F是A1C的中点，EFA1B1，EFA1B1.四边形ABB1A1是平行四边形，D是AB的中点，ADA1B1，ADA1B1，ADEF，ADEF，四边形ADEF是平行四边
5、形，AFDE，即AC1DE.又DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.(2)AB4AA14，D是AB中点，AA11，AD2.BAA160，A1D.AAA1D2AD2，A1DAA1.侧面AA1C1C侧面AA1B1B，侧面AA1C1C侧面AA1B1BAA1，ACAA1，AC平面AA1C1C，AC平面AA1B1B又A1D平面AA1B1B，ACA1D又ACAA1A，DA1平面AA1C1C考向二求空间几何体的体积1等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和
6、三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形或三棱锥的高，而通过直接计算得到高的数值2割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决解题指导(2)因为A1C1AC，A1C1平面AB1C，AC平面AB1C，所以A1C1平面AB1C连接A1C，则三棱锥C1COB1的体积等于三棱锥A1COB1的体积在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体2(2019河南林州九师联盟联考)如图，在四棱锥P
7、ABCD中，底面ABCD是矩形，PAPD，PAAB，N是棱AD的中点(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设ABADAP2.求点N到平面PAC的距离解(1)证明：在矩形ABCD中，ABAD，又ABPA，PAADA，AB平面PAD又AB平面PAB，平面PAB平面PAD(2)连接PN，在PAD中，PAPDAD2，N是棱AD的中点，PNAD，PN2.由(1)知AB平面PAD，ABPN.又ABADA，PN平面ABCDAB平面PAD，PD平面PAD，ABPD，CDAB，CDPD在PAC中，PA2，ACPC2，SPAC2.设点N到平面PAC的距离为d，连接NCV三棱锥NPACV三棱锥PNAC，SPACd
8、SNACPN，即d12，解得d，点N到平面PAC的距离为.考向三立体几何中的探索性问题1条件追溯型解决此类问题的基本策略是执果索因其结论明确，需要求出使结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，即可迅速找出切入点2存在判断型解决此类问题的策略：通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在解题指导 解决线、面关系的探索性问题的两策略(1)通过观察确定点或直线的位置(如中点，中线)，再进行证明(2)把要得的平行当作已知条件，用平行的性质去求点
9、、线3(2019郑州二模)如图，已知四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，PDEA，ADPD2EA2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点(1)求证：FG平面PDE；(2)求证：平面FGH平面ABE；(3)在线段PC上是否存在一点M，使PB平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由解(1)证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FGPE.又FG平面PDE，PE平面PDE，所以FG平面PDE.(2)证明：因为EA平面ABCD，所以EACB又CBAB，ABAEA，所以CB平面ABE.由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FHBC则FH平面ABE.而FH平面FGH，所
10、以平面FGH平面ABE.(3)在线段PC上存在一点M，使PB平面EFM.证明如下：如图，在PC上取一点M，连接EF，EM，FM.在直角三角形AEB中，因为AE1，AB2，所以BE.在直角梯形EADP中，因为AE1，ADPD2，所以PE，所以PEBE.又F为PB的中点，所以EFPB要使PB平面EFM，只需使PBFM.因为PD平面ABCD，所以PDCB，又CBCD，PDCDD，所以CB平面PCD，而PC平面PCD，所以CBPC若PBFM，则PFMPCB，可得.由已知可求得PB2，PF，PC2，所以PM.专题强化训练(十九)1(2019江苏南通调研)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1
11、B为菱形，且A1AB60，ACBC，D是AB的中点(1)求证：BC1平面A1DC；(2)求证：平面A1DC平面ABC证明(1)如图，连接C1A，交A1C于点E，连接DE.三棱柱的侧面AA1C1C是平行四边形，E为AC1中点又在ABC1中，D是AB的中点，DEBC1.又DE平面A1DC，BC1平面A1DC，BC1平面A1DC(2)连接A1B侧面AA1B1B为菱形，且A1AB60，A1AB为等边三角形又D是AB的中点，ABA1DACBC，D是AB的中点，ABCD又A1DCDD，AB平面A1DC又AB平面ABC，平面A1DC平面ABC2(2019河北衡水中学二模)如图，在底面为梯形的四棱锥SABCD
12、中，已知ADBC，ASC60，ADDC，SASCSD2.(1)求证：ACSD；(2)求三棱锥BSAD的体积解(1)证明：设O为AC的中点，连接OS，ODSASC，OSACDADC，DOAC又OS，OD平面SOD，且OSDOO，AC平面SOD，且SD平面SOD，ACSD(2)连接BD，在ASC中，SASC，ASC60，点O为AC的中点ASC为正三角形，且AC2，OS.在ADC中，DA2DC24AC2，O为AC的中点，ADC90，且OD1.在SOD中，OS2OD2SD2SOD90.SOOD又OSAC，且ACDOO，SO平面ABCDVBSADVSBADSBADSOADCDSO.3(2019北京卷)如
13、图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点(1)求证：BD平面PAC；(2)若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由解(1)证明：因为PA平面ABCD，所以PABD又因为底面ABCD为菱形，所以BDAC又PAACA，所以BD平面PAC(2)证明：因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，所以AECD所以ABAE.又PAABA，因为AE平面PAE，所以AE平面PAB所以平面PAB平面PAE.(3)棱PB上存在点F，使得CF平面PAE.取F为PB的中点，取G为PA的中点，连接CF，FG，EG.则FGAB，且FGAB因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CEAB所以FGCE，且FGCE.所以四边形CEGF为平行四边形所以CFEG.因为CF平面PAE，EG平面PAE，
