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1、1第一章 解三角形 章末整合知识概览对点讲练知识点一正、余弦定理解三角形的基本问题例 1在 ABC 中，(1)已知 a ， b ， B45，求 A、 C、 c；3 2(2)已知 sin Asin Bsin C( 1)( 1) ，求最大角3 3 10回顾归纳已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍变式训练 1(1) ABC 中， AB1， AC ， C30，求 ABC 的面积；3(2)已知 a、 b、 c 是 ABC 中 A、 B、 C 的对边， S 是 ABC 的面积若a4，
2、b5， S5 ，求 c 的长度3知识点二正、余弦定理在三角形中的应用2例 2在 ABC 中， a、 b、 c 分别是 A、 B、 C 的对边长已知 b2 ac 且a2 c2 ac bc.(1)求 A 的大小；(2)求 的值bsin Bc回顾归纳(1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系(2)要注意利用 ABC 中 A B C，以及由此推得的一些基本关系式：sin( B C)sin A，cos( B C)cos A，tan( B C)tan A， sin cos 等，进行三角变换B C2 A2的运算
3、变式训练 2在 ABC 中， a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边，4sin 2 cos 2 A .B C2 72(1)求角 A 的度数；(2)若 a ， b c3，求 b、 c 的值3知识点三正、余弦定理在实际问题中的应用例 3 A、 B、 C 是一条直路上的三点， AB BC1 km，从这三点分别遥望一座电视发射塔 P， A 见塔在东北方向， B 见塔在正东方向， C 见塔在南偏东 60方向求塔到直路的距离回顾归纳(1)解斜三角形应用题的程序是：准确地理解题意；正确地作出图形(或准确地理解图形)；把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形
4、；根据实际意义和精确度的要求给出答案(2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语3变式训练 3如图所示，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 C 处的乙船，设乙船按方位角为 的方向沿直线前往 B 处救援，求 sin 的值1正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题：(1)已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解，其解不确定2余弦定理揭示了三角
5、形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：(1)已知三边，求其他三角，其解是唯一的(2)已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解3正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据. 课时作业一、选择题1在 ABC 中， A60， a4 ， b4 ，则 B 等于()3 2A45或 135 B135C45 D以上答案都不对2在 ABC 中，已知 cos Acos Bsin Asin B，则 ABC 是()A锐角三角形
6、 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形3在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若( a2 c2 b2)tan B ac，则3角 B 的值为()A. B. 6 34C. 或 D. 或 6 56 3 234在 ABC 中， A60， AC16，面积为 220 ，那么 BC 的长度为()3A25 B51 C49 D4935 ABC 中，下列结论： a2b2 c2，则 ABC 为钝角三角形； a2 b2 c2 bc，则 A 为 60； a2 b2c2，则 ABC 为锐角三角形；若 A B C123，则 a b c123.其中正确的个数为()A1 B2 C3 D4二、填空题
7、6三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm，其夹角的余弦是方程 5x27 x60 的根，则此三角形的面积是_7在 ABC 中， A60， b1， S ABC ，则 _.3asin A8一艘船以 20 km/h 的速度向正北航行，船在 A 处看见灯塔 B 在船的东北方向，1 h后船在 C 处看见灯塔 B 在船的北偏东 75的方向上，这时船与灯塔的距离 BC 等于_三、解答题9已知 ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且 a2，cos B .35(1)若 b4，求 sin A 的值；(2)若 ABC 的面积 S ABC4，求 b， c 的值10在 ABC 中，已知 AB
8、 ，cos B ， AC 上的中线 BD ，求 sin A 的值463 66 5章末整合对点讲练5例 1解(1)由正弦定理及已知条件有 ，3sin A 2sin 45得 sin A ， ab， AB45， A60或 120.32当 A60时， C180456075，c ，bsin Csin B 2sin 75sin 45 6 22当 A120时， C1804512015，c .bsin Csin B 2sin 15sin 45 6 22(2)根据正弦定理可知 a b csin Asin Bsin C( 1)( 1) ，3 3 10边 c 最大，即角 C 最大设 a( 1) k， b( 1) k
9、， c k，3 3 10则 cos C a2 b2 c22ab 3 1 2 3 1 2 10 22 3 1 3 1 . C(0，)， C .12 23变式训练 1解(1) ，sin B ，1sin 30 3sin B 32 B60或 120，当 B60时， A90， BC2，此时， S ABC .32当 B120时， A30， S ABC 1sin 30 .12 3 34综上， ABC 的面积为 或 .32 34(2) S absin C5 ，sin C ，12 3 32于是 C60或 C120.当 C60时， c2 a2 b22 abcos C a2 b2 ab21， c ；21当 C120
10、时， c2 a2 b22 abcos C a2 b2 ab61， c . c 的长度为 或 .61 21 61例 2解(1) b2 ac 且 a2 c2 ac bc， a2 c2 b2 bc， b2 c2 a2 bc，cos A ， A60.b2 c2 a22bc bc2bc 12(2)方法一在 ABC 中，由正弦定理得：sin B ， b2 ac， .bsin Aa ba cbsin B ，bsin Aa csin Ab sin Asin 60 .bsin Bc 32方法二在 ABC 中，由面积公式得：bcsin A acsin B12 12 b2 ac， bcsin A b2sin B，6
11、 sin Asin 60 .bsin Bc 32变式训练 2解(1) B C180 A， 90 .B C2 A2由 4sin2 cos 2 A ，B C2 72得 4cos2 cos 2 A ，A 72即 2(1cos A)(2cos 2 A1) .72整理得 4cos2A4cos A10.cos A ，又 0sin Asin Bcos(A B)0， A B90， C 为钝角3D( a2 c2 b2)tan B ac，3 tan B ，即 cos Btan Bsin B .a2 c2 b22ac 32 320b2 c2知 A 为钝角，正确；由 a2 b2 c2 bc 知 A120，错；由 a2
12、 b2c2，仅能判断 C 为锐角， A、 B 未知，错；由 A B C123，知A ， B ， C ，sin Asin Bsin C 11 2，错所以仅 6 3 2 12 32 3正确66 cm 2解析由 5x27 x60，解得 x1 ， x22.35 x221，不合题意设夹角为 ，则 cos 35得 sin ， S 35 6 (cm 2)45 12 457.2393解析由 S bcsin A 1c ，12 12 32 3 c4. a .b2 c2 2bccos A 12 42 214cos 60 13 .asin A 13sin 602393820 km28解析如图所示，BCsin 45 A
13、Csin 30 BC sin 45ACsin 30 20 (km)2012 22 29解(1)cos B 0，且 0B，35sin B .1 cos2B45由正弦定理得 ，sin A .asin A bsin B asin Bb 2454 25(2) S ABC acsin B4， 2c 4， c5.12 12 45由余弦定理得 b2 a2 c22 accos B2 25 2225 17， b .35 1710解设 E 为 BC 的中点连接 DE，则 DE AB，且 DE AB ，设 BE x.12 263在 BDE 中利用余弦定理可得：BD2 BE2 ED22 BEEDcos BED，5 x2 2 x，83 263 66解得 x1， x (舍去)故 BC2，73从而 AC2 AB2 BC22 ABBCcos B ，即 AC .又 sin B ，故 283 2213 306 2sin A，sin A .2213306 7014
