《河北省春晖中学2013-2014学年高中数学 3.2 均值不等式学案 新人教B版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省春晖中学2013-2014学年高中数学 3.2 均值不等式学案 新人教B版必修5（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.2均值不等式1一个常用的均值不等式链设 a0， b0，则有：mina， b max a， b，21a 1b ab a b2 a2 b22当且仅当 a b时，所有等号成立若 ab0，则有：b0，则 2.ab ba3利用均值不等式求最值的法则均值不等式 (a， b为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值aba b2(1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即 ab 2，当且仅当 a b时，(a b2 )等号成立(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即 a b2 ，当且仅当 a b时，ab等号成立注意：利用均值不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：两个正数；两个正数的积或和
2、为定值；取最值时，等号能成立概括为“一正、二定(值)、三相等” 4函数 f(x) x (k0)的单调性在求最值中的应用kx有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f(x) x (k0)的单调性加以解决kx利用函数单调性的定义可以证明函数 f(x) x (k0)在(0， 上单调递减，在kx k ， )上单调递增k因为函数 f(x) x (k0)是奇函数，所以 f(x) x (k0)在(， 上为增kx kx k函数，在 ，0)上为减函数k函数 f(x) x (k0)在定义域上的单调性如右图所示kx例如：求函数 f(x)sin 2x ， x(0，)的最小值5sin2
3、x2解令 tsin 2x， x(0，)， g(t) t .5tt(0,1，易知 g(t)在(0,1上为单调递减函数，所以当 t1 时， g(t)min6.即 sin x1， x 时， f(x)min6.2一、利用均值不等式求最值方法链接：均值不等式是求函数最值的有利工具，在使用均值不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等” 不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察例 1求函数 y 的最大值x 22x 5解设 t ，从而 x t22( t0)，则 y .x 2t2t2 1当 t0 时， y0；当 t0时， y .12t 1t12 2t1t 24当且仅当 2t ，即 t 时等
4、号成立1t 22即当 x 时， ymax .32 24二、利用均值不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题 af(x)恒成立 af(x)max， a0得 32x( k1)3 x20，解得 k12，求证：log a(a1)log a(a1)2，所以 loga(a1)0，log a(a1)0.又 loga(a1)log a(a1)，所以 0， 0.(5log2x)(log 2x) 2 2 .(5log2x) log2x ( 5log2x) 5log 2x 2 .5log2x 5 f(x)2log 2x 22 .5log2x 5当且仅当 l
5、og2x 时，即 x2 时取等号5log2x 5 f(x)max22 .52忽略等号成立的条件而致错例 2已知 m2 n2 a， x2 y2 b (a、 b为大于 0的常数且 a b)，求 mx ny的最大4值错解 mx ， ny ，m2 x22 n2 y22 mx ny .m2 x22 n2 y22 m2 n2 x2 y22 a b2当且仅当 m x， n y时取“” 点拨如果 m x， n y，则会有 m2 n2 x2 y2 a b，这与条件“ a b”矛盾，如果 m x， n y中有一个不成立，则“”取不到，则不满足使用均值不等式的条件正解利用三角代换可避免上述问题 m2 n2 a，设E
6、rror! ( 0,2)， x2 y2 b，设Error!( 0,2) mx ny cos cos sin sin ab ab (cos cos sin sin ) cos( )ab ab ab( mx ny)max ，ab当且仅当 cos( )1， 时取“” 3两次利用均值不等式而致错例 3已知 x0， y0，且 x2 y1，求 的最小值1x 1y错解因为 x0， y0，且 x2 y1， (x2 y)2 2 4 .1x 1y (1x 1y) 1x1y 2xy 2所以 的最小值为 4 .1x 1y 2点拨上述解答是错误的，错因是连续两次使用均值不等式解题忽视了等号成立的一致性正解因为 x0，
7、y0，且 x2 y1，所以 12 1x 1y x 2yx x 2yy 2yx xy32 32 .2yxxy 2当且仅当 且 x2 y1，2yx xy即 x 1， y1 时，取得等号222所以 的最小值为 32 .1x 1y 2温 馨 点 评 在 多 次 使 用 均 值 不 等 式 时 ， 一 定 要 注 意 等 号 成 立 的 条 件 是 否 相 同 .例若正数 a， b满足 ab a b3，求 ab的取值范围. 解方法一把代数式 ab转化为 a(或 b)的函数 ab a b3， b b0， a1.a 3a 1 ab a2 3aa 1 a 1 2 5a 1a 1 a 1 2 5 a 1 4a
8、15( a1) 54a 1 a1， a10，( a1) 2 4.4a 1 a 1 4a 1 ab9，当且仅当 a1 ，即 a3， b3 时，取“” 4a 1方法二利用均值不等式 a b2 ，把 a b转化为 ab，再求 ab的范围ab a b2 ， ab a b32 3.ab ab ab2 30，( 3)( 1)0.ab ab ab 3， ab9，ab从以上过程可以看出：当且仅当 a b3 时，取“” 方法三把 a， b视为一元二次方程 x2(3 ab)x ab0 的两个根，那么该方程应有两个正根所以有：Error!其中由 (3 ab)24 ab a2b210 ab9( ab9)( ab1)0
9、，解得 ab9 或 ab1. x1 x2 ab30， ab9.又 ab a b3， a b6，当且仅当 a b3 时取“” 1已知 a0， b0， a b2，则 y 的最小值是()1a 4bA. B4 C. D572 92解析 a b2， 1. ( )( ) ( ) 2 a b2 1a 4b 1a 4b a b2 52 2ab b2a 52 2abb2a(当且仅当 ，即 b2 a时， “”成立)，故 y 的最小值为 .92 2ab b2a 1a 4b 92答案C2(2009天津)设 a0， b0，若 是 3a与 3b的等比中项，则 的最小值为()31a 1bA8 B4 C1 D.14解析由题意知 3a3b3，即 3a b3，所以 a b1.因为 a0， b0，所以 (a b)2 22 4，当且仅当 a b1a 1b (1a 1b) ba ab baab时，等号成立答案B赏析本题考查了等比中项的概念、均值不等式，解答本题时要注意等号成立的条件是否具备，防止最小值取不到
