《河北省春晖中学2013-2014学年高中数学 2.2 等差数列学案 新人教B版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省春晖中学2013-2014学年高中数学 2.2 等差数列学案 新人教B版必修5（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.2等差数列1等差数列的判定(1)an an1 d (n2， d 为常数) an是公差为 d 的等差数列；(2)2an an1 an1 (n2) an是等差数列；(3)an kn b(k， b 为常数) an是公差为 k 的等差数列 (n1)；(4)Sn An2 Bn(A， B 为常数) an是公差为 2A 的等差数列 (n1)例如：已知等差数列 an的前 n 项和 Sn( n1) 2 ，则 的值是_解析 Sn( n1) 2 n22 n(1 )， an是等差数列，1 0， 1.答案12等差数列的通项公式将 an a1( n1) d 可整理为 an dn( a1 d)，它是关于 n 的一次函
2、数( d0)或常函数( d0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差 d 是该射线所在直线的斜率例如：等差数列 an中，若 an m， am n (m n)，则 am n_.解析由点( n， an)，( m， am)，( m n， am n)三点共线， .即 1，am n an m n n am anm n am n mm n mm n易得 am n0.答案03等差数列的前 n 项和公式(1)将公式 Sn na1 d 变形可得 Sn n2 n.故当 d0 时，等差数列n n 12 d2 (a1 d2)前 n 项和公式是关于 n 的二次函数，它的图象是抛物线 y x2 x 上
3、横坐标为正整d2 (a1 d2)数的一群孤立点(2) n 是关于 n 的一次函数( d0)或常函数( d0)Snn d2 (a1 d2)当涉及等差数列前 n 项和 Sn的计算问题时，有时设 Sn An2 Bn 的形式更简便快捷例如：等差数列 an中，若 Sp q， Sq p (p q)，则 Sp q_.解析设 Sn An2 Bn，则Error!由(1)(2)得 Ap2 Bp Aq2 Bq q p， A(p2 q2) B(p q) q p， p q， A(p q) B1. Sp q A(p q)2 B(p q) A(p q) B(p q)( p q)答案( p q)4等差数列的性质(1)若数列
4、an和 bn均是等差数列，则 man kbn仍为等差数列，其中 m、 k 均为常数(2)若 m， n， p， qN *，且 m n p q，则 am an ap aq.(3)等差数列中依次 k 项的和成等差数列，即 Sk， S2k Sk， S3k S2k，成等差数列，公差为 k2d (d 是原数列公差)(4)若 an与 bn均为等差数列，且前 n 项和分别为 Sn与 S n，则 .ambm S2m 1S 2m 1(5)等差数列 an中，奇数项的和记作 S 奇 ，偶数项的和记作 S 偶 ，则 Sn S 奇 S 偶2当 n 为偶数时： S 偶 S 奇 d；n2当 n 为奇数时： S 奇 S 偶 a
5、 中 ， S 奇 a 中 ，n 12S 偶 a 中 ， .n 12 S奇S偶 n 1n 1(其中 a 中 是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差是_解析 S 偶 S 奇 d5 d，5 d301515， d3.n2答案35等差数列前 n 项和的最值求等差数列前 n 项和的最值的常用方法：(1)通项法当 a10， d0 时，数列 an只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此， Sn有最小值，当 n 满足不等式组Error!时， Sn取到这一最小值(2)二次函数法由于 Sn n2 n， nN *是关于 n 的二次函数
6、式，故可转化为求二次函数的最值d2 (a1 d2)问题，但要注意数列的特殊性 nN *.例如： an是等差数列， a10， a2 009 a2 0100， a2 009a2 0100 成立时， n 的最大值是_答案2 0094 018一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法：(1)定义法： an1 an d (常数)( nN *)；(2)通项公式法： an kn b (k， b 为常数) ( nN *)；(3)中项公式法：2 an1 an an2 (nN *)；(4)前 n 项和法： Sn An2 Bn (A、 B 为常数)， nN *.例 1数列 an的前 n 项和 Sn满足：
7、 Sn ，判断 an是否为等差数列？并n a1 an2证明你的结论解 an是等差数列，证明如下：因为 an Sn Sn1 (n2)，n a1 an2 n 1 a1 an 12所以 an1 ， n 1 a1 an 12 n a1 an2所以 an1 an (n1)( a1 an1 )2 n(a1 an)( n1)( a1 an1 )12 (n1) an1 2 nan( n1) an1 (n2)，12即( n1)( an1 2 an an1 )0，所以 an1 an1 2 an (n2)，所以数列 an为等差数列3二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可
8、求出其他两个量，其中 a1和 d 是两个基本量，利用通项公式与前 n 项和公式，求出 a1和 d，等差数列就确定了例 2在等差数列 an中，(1)已知 a610， S55，求 a8和 S8；(2)已知前 3 项和为 12，前 3 项积为 48，且 d0，求 a1；(3)已知前 3 项依次为 a,4,3a，前 k 项和 Sk2 550，求 a 及 k.解(1) a610， S55，Error! .解方程组得 a15， d3， a8 a62 d102316，S88 44. a1 a82(2)设数列的前三项分别为 a d， a， a d，依题意有：Error!，Error! ，Error! . d0
9、， d2， a d2. a12.(3)设公差为 d，则由题意得Error!Error!因此， a2， k50.三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如：(1)若 m n p q，则 am an ap aq；(2)若 m n2 p，则 am an2 ap；(3)若 an是等差数列，则 Sk， S2k Sk， S3k S2k也成等差数列(其 Sk为前 k 项和)(4)若等差数列 an的前 n 项和为 Sn，等差数列 bn的前 n 项和为 Tn，则 .anbn S2n 1T2n 1熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效例 3(1)设等差数列 an的前 n 项和
10、为 Sn，若 S972，求 a2 a4 a9的值；(2)已知等差数列 an和 bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，求证： ； .anbn S2n 1T2n 1 anbm 2m 12n 1 S2n 1T2m 1(1)解由 S9 72， a1 a916，9 a1 a92 a1 a92 a516， a58， a2 a4 a9 a1 a5 a93 a524.(2)证明 anbn 2an2bn a1 a2n 1b1 b2n 1 . a1 a2n 1 2n 12 b1 b2n 1 2n 12 S2n 1T2n 1 anbm 2an2bm a1 a2n 1b1 b2m 14 . a1 a2n 1 2n
11、12 2m 12 b1 b2m 1 2m 12 2n 12 2m 12n 1 S2n 1T2m 1四、等差数列前 n 项和的最值方法链接：等差数列前 n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若 d0， a10， d0，因此 an3 n63.点 Q(n， an)在增函数 y3 x63 的图象上令 y0 则得 x21，故当 n22 时， an0；当 1 n21 且 nN *时， an0，于是| a1| a2| a30| a1 a2 a21 a22 a23 a30 a1 a2 a302( a1 a2 a21)765.记 Tn| a1| a2| an|，则由上面的求解过程知：当 1
12、 n21， nN *时，Tn| a1| a2| an| a1 a2 an n2 n. 123 3n n2 32 1232当 n21， nN *时，Tn| a1| a2| a20| a21| an|( a1 a2 a21) a22 a23 an( a1 a2 an)2( a1 a2 a21) n2 n1 260.32 1232数列| an|的前 n 项和TnError!五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论例 5已知数列 an中， a15 且 an2 an1 2 n1 ( n2 且 nN *)(1)求 a
13、2， a3的值；(2)是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，求出 的值；若不存an 2n 在，请说明理由解(1) a15， a22 a12 2113，5a32 a22 3133.(2)假设存在实数 ，使得数列 为等差数列an 2n 则 ， ， 成等差数列，a1 2 a2 22 a3 232 ，a2 22 a1 2 a3 23 .13 2 5 2 33 8解得 1.当 1 时， (an 1 12n 1 ) (an 12n ) (an1 1)2( an1)12n 1 (an1 2 an1)12n 1 (2an2 n1 1)2 an112n 1 2n1 1.12n 1综上可知，存在实数 1，使得数列 为等差数列，且首项是 2，公差是 1.an 2 六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决例 6下表给出一个“等差数阵”：4 7 () () () a1j 7 12 () () () a2j () () () () () a3j () () () () ()
