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1、1第二章数列2.1数列1从函数的观点看数列一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题例如，类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法即：数列a n单调递增 an1 an对任意 n (nN *)都成立；数列 an单调递减 an1 a11a301.所以，数列 an的前 30 项中最大的项是 a10，最小的项是 a9.答案C2了解一点周期数列的知识类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列 an，若存在一个大于 1 的自然数 T(T 为常数)，使 an T an，对一切 nN *恒成立，则称数列 an为周期
2、数列， T 就是它的一个周期易知，若 T 是 an的一个周期，则 kT (kN *)也是它的周期，周期最小的那个值叫最小正周期例如：已知数列 an中， a1 a (a 为正常数)， an1 (n1,2,3，)，则下列 1an 1能使 an a 的 n 的数值是()A15 B16 C17 D18解析 a1 a， a2 ， 1a 12a3 ， 1a2 1 1 1a 1 1 a 1aa4 a， 1a3 1 1 a 1a 1a5 ，. 1a4 1 1a 1 a4 a1， a5 a2，依次类推可得： an3 an， an为周期数列，周期为 3. a1 a， a3k1 a1 a.答案B3数列的前 n 项和
3、 Sn与 an的关系对所有数列都有： Sn a1 a2 an1 an， Sn1 a1 a2 an1 (n2)因此，当 n2 时，有： an Sn Sn1 .当 n1 时，有： a1 S1.所以 an与 Sn的关系为： anError!.注意这一关系适用于所有数列例如：已知数列 an的前 n 项和 Sn( n1)2 n1，则 an_.解析当 n1 时， a1 S11，当 n2 时， an Sn Sn1( n1)2 n1( n2)2 n1 1( n1)2 n( n2)2 n1 n2n1 .所以通项公式可以统一为 an n2n1 .答案 n2n14由简单的递推公式求通项公式(1)形如 an1 an
4、f(n)，且 f(1) f(2) f(n)可求和，采用累加法求 an.即： an a1( a2 a1)( a3 a2)( an an1 ) a1 f(1) f(2) f(n1) a1 f(i)n 1 i 1(2)形如 an1 f(n)an，且 f(1)f(2)f(n)可化简，采用累乘法求 an.即 an a1 a1f(1)f(2)f(n1) a1 f(i)a2a1 a3a2 anan 1 n 1 i 1(注：为连加求和符号， 为连乘求积符号)(3)形如 an1 Aan B (AB0 且 A1)设 an1 x A(an x)，则：an1 Aan(1 A)x由(1 A)x B， xB1 A an1
5、 AB1 A (an B1 A) an AB1 A (an 1 B1 A) A2(an 2B1 A) An1 (a1B1 A) an An1B1 A (a1 B1 A)(1 An1 ) An1 a1.B1 A3一、观察法写数列的通项公式方法链接：根据数列前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律根据此规律便可写出一个相应的通项公式注意以下几点：(1)为了突出显现数列的构成规律，可把序号 1,2,3，标在相应项上，这样便于突出第 n 项 an与项数 n 的关系，即 an如何用 n 表示(2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行了化
6、简，因此我们要观察出它的构成规律，就必须要对它进行还原工作如数列的前几项中均用分数表示，但其中有几项分子或分母相同，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试(3)当一个数列出现“” 、 “”相间时，应先把符号分离出来，即用(1) n或(1)n1 表示，然后再考虑各项绝对值的规律(4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度)，有利于我们写出它的通项公式例 1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1) ， ，； (2) ，2，8， ，；451241127 12 92 252(3)1,3,6,10,15，； (4)7,77,777，；(5)0,3,8,15,24，； (6
7、)1， ， ，.1317113121解(1)注意前四项中有两项的分子为 4，不妨把分子统一为 4，即为 ， ， ，4548411414于是它们的分母相差 3，因而有 an .43n 2(2)把分母统一为 2，则有：， ， ，因而有 an .124292162252 n22(3)注意 623,1025,1535，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即 ， ， ， ， ，因而有 an .122 232 342 452 562 n n 12(4)把各项除以 7，得 1,11,111，再乘以 9，得 9,99,999，.因而有 an (10n1)79(5)观察数列递增速度较快，有点像成平方地递
8、增，不妨用平方数列对照看一看，即1,22,32,42,52，则有 an n21.(6)显然各项的分子均为 1，其关键在于分母，而分母的规律不是很明显，注意到分母组成的数列 1,3,7,13,21，递增速度也有点像平方数列，不妨从每一项对应减去平方数列的项组成数列 0,1,2,3,4，其规律也就明显了故 an .1n2 n 1二、数列的单调性及最值方法链接：数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单调性例 2在数列 an中， an( n1) n (nN *)(1011)试问数列 an的最大项是第几项？4解方法一 an( n1) n (nN *)(1011) an1 an(
9、 n2) n1 ( n1) n(1011) (1011) n ，(1011) 9 n11当 n8 时， anan1 ， an递减，即 a10a11a12.又 a9 a10 .1010119数列 an的最大项是第 9 项和第 10 项方法二令 1 ( n2)，即 1.anan 1 n 1 (1011)nn(1011)n 1整理得 .解得 n10.n 1n 1110令 1，即 1.anan 1 n 1 (1011)n n 2 (1011)n 1整理得 ，解得 n9.n 1n 2 1011所以从第 1 项到第 9 项递增，从第 10 项起递减因此数列 an先递增，后递减 a1a11a12，且 a9
10、a10 .1010119数列 an中的最大项是第 9 项和第 10 项三、数列的周期性及运用方法链接：通俗地讲，数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解例 3已知数列 an， a11， a23， an an1 an2 (n3)，那么 a2 010与 S2 009依次是()A1,3 B3,1C2,2 D2，2解析 an an1 an2 ， an1 an an1 ( an1 an2 ) an1 an2 .由 an1 an2 ， an3 an. an6 an
11、3 ( an) an. an为周期数列，且周期 T6. a2 010 a6 a3 a1 a22. a1 a2 a3 a4 a5 a6( a1 a4)( a2 a5)( a3 a6)0000，且 2 010 是 6 的倍数， S2 0100.5 S2 009 S2 010 a2 0100 a2 0100(2)2.答案C四、已知前 n 项和 Sn，求通项 an方法链接：已知数列 an的前 n 项和 Sn，求 an，先由 n1 时， a1 S1，求出 a1，再由an Sn Sn1 (n2)求出 an，最后验证 a1与 an能否统一，若能统一要统一成一个代数式，否则分段表示例 4已知下列各数列 an的
12、前 n 项和 Sn的公式，求 an的通项公式(1)Sn(1) n1 n；(2) Sn3 n2.解(1)当 n1 时， a1 S11；当 n2 时， an Sn Sn1 (1) n( n)(1) n(n1)(1) n(2 n1)由于 a1也适合此等式，因此 an(1) n(2 n1) ( nN *)(2)当 n1 时， a1 S11；当 n2 时， an Sn Sn1 23 n1 .所以 anError!五、由递推公式求通项 an方法链接：由递推公式求通项公式主要观察递推公式的特征，合理选择方法需要理解一点，对 an an1 n (n2)不仅仅是一个式子而是对任意的 n2 恒成立的无数个式子，正
13、是因为这一点，在已知递推公式求通项公式的题目中如何将无数个式子转化为 an，就是解题的关键所在另外递推公式具有递推性，故由 a1再加上递推公式可以递推到 an.例 5由下列数列 an的递推公式求数列 an的通项公式：(1)a11， an an1 n (n2)；(2)a11， (n2)anan 1 n 1n解(1)由题意得，当 n2 时，an an1 n， an1 an2 n1， a3 a23， a2 a12.将上述各式累加得， an a1 n( n1)32，即 an n( n1)321 ，n n 12由于 a1也适合此等式故 an .n n 12(2)由题意得，当 n2 时， ， ， ， ，a
14、nan 1 n 1n an 1an 2 n 2n 1 a3a2 23 a2a1 12将上述各式累乘得， ，即 an .ana1 1n 1n由于 a1也适合此等式，故 an .1n六、数列在日常生活中的初步应用方法链接：数列知识在日常生活中有着广泛的应用构建递推关系是其中重要的方法之一，利用递推方法解决实际问题常分为三个环节：(1)求初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系分析解决问题其中构建递推关系是关键例 6某商店的橱窗里按照下图的方式摆着第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，如图(1)、(2)、(3)、(4)分别有 1 个、5 个、13 个、25 个如果按照同样的方式接着摆下去，记第 n 个图需用 f(n)个“福娃迎迎” ，那么
