《河北省春晖中学2013-2014学年高中数学 1.1 正弦定理和余弦定理学案 新人教B版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省春晖中学2013-2014学年高中数学 1.1 正弦定理和余弦定理学案 新人教B版必修5（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1几何法证正弦定理设 BD 为ABC 外接圆O 的直径，则 BD2R，下面按A 为直角、锐角、钝角三种情况加以证明(1)若A 为直角，如图，则 BC 经过圆心 O，BC 为圆 O 的直径，BC2R， asin ABC2R.BCsin 90(2)若A 为锐角，如图，连结 CD，则BACBDC，在 RtBCD 中， ，BCsin BDC BCsin BAC BD2R， 2R.BCsin BDC BCsin BAC即 2R.asin A(3)若A 为钝角，如图，连结 CD，则BACCDB ，所以sinBAC sinCDB，在 RtBCD 中， BD2R，BCs
2、in CDB又 ，BCsin CDB BCsin BAC 2R，即 2R.BCsin BAC asin A可证得： 2R.同理可证： 2R， 2R.asin A bsin B csin C所以，不论ABC 是锐角三角形，直角三角形，还是钝角三角形，都有： asin A 2R(其中 R 为ABC 的外接圆的半径)bsin B csin C正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于其外接圆的直径2坐标法证余弦定理如图所示，以ABC 的顶点 A 为原点，射线 AC 为 x 轴的正半轴，建立2直角坐标系，这时顶点 B 可作角 A 终边的一个点，它到原点的距离 rc.设点 B 的
3、坐标为(x，y)，由三角函数的定义可得：xc cos A，yc sin A，即点 B 为(c cos A，c sin A)，又点 C 的坐标是(b,0)由两点间的距离公式，可得：aBC . b ccos A 2 csin A 2两边平方得：a 2(bc cos A)2(c sin A)2b 2c 22bc cos A.以ABC 的顶点 B 或顶点 C 为原点，建立直角坐标系，同样可证b2a 2c 22ac cos B，c 2a 2b 22ab cos C.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的积的 2 倍. 余弦定理的第二种形式是：cos A ， co
4、s B ，b2 c2 a22bc a2 c2 b22accos C .a2 b2 c22ab易知：A 为锐角b 2c 2a 20；A 为直角b 2c 2a 20；A 为钝角b 2c 2a 2b ab解个数 一解 一解 两解 无解 一解 无解例 2已知ABC 中，b3，c3 ，B30，求 a 的值3解方法一利用余弦定理求解先将 b3，c3 ，B30代入 b2a 2c 22ac cos B，3有 32a 2(3 )22a3 cos 30.3 3整理，得 a29a180.所以 a6 或 a3，经检验 6 和 3 均符合题意所以 a 的值为 6 或 3.方法二利用正弦定理求解c sin B ，cbc
5、sin BABC 有两解323 6， sin C .C60或 C120.csin C bsin B 32当 C60时，A180BC90.由 6，解得：a6.asin A bsin B当 C120时，A180BC30.由 6，解得 a3.所以 a 的值为 6 或 3.asin A bsin B三、三角形的面积公式及应用方法链接：三角形面积的常用计算公式4(1)S aha(ha表示 a 边上的高)；12(2)S absin C acsin B bcsin A；12 12 12(3)S r(abc) (r 为三角形内切圆半径)；12(4)S (可由正弦定理推得)；abc4R(5)S2R 2sin A
6、sin Bsin C (R 是三角形外接圆半径)；(6)S (p 是三角形的半周长)p p a p b p c例 3在ABC 中，已知B60，面积为 10 ，外接圆半径为 R ，求三边3733a，b，c.解b2R sin B2 7，733 32S ABC acsin B，10 ac ，ac40，12 3 12 32由 b2a 2c 22ac cos B，得 a2c 289.由Error! 解得Error! .Error! 或Error! .所以ABC 的三边长为a8，b7，c5 或 a5，b7，c8.四、利用正、余弦定理求三角形外接圆半径方法链接：利用正弦定理 2R，(其中 R 是ABC 的外
7、接圆半径)asin A bsin B csin C可以推得以下结论：(1)R ；a2sin A b2sin B c2sin C(2)R ；a b c2 sin A sin B sin C(3)R (其中 S 为ABC 的面积)；abc4S(4)R (其中 p 为 (abc)，即ABC 的半周长)abc4p p a p b p c 12有了这些结论，我们可以容易解决涉及三角形外接圆的问题例 4如图所示，已知POQ60，M 是POQ 内的一点，它到两边的距离分别为MA2，MB11，求 OM 的长解如图所示，连接 AB，由已知 O，A，M，B 四点都在以 OM 为直径的圆上这个圆就是ABM 的外接圆
8、POQ60，AMB120.在ABM 中，AB 2MA 2MB 22MAMB cos 120.5AB 22 211 22211 147(12)AB7 .3由正弦定理得 OM 14.ABsin AMB ABsin 120 73sin 60五、利用正、余弦定理判断三角形形状方法链接：(1)判断三角形的形状，主要有以下两种途径：利用正、余弦定理，把已知条件转化为边边关系，然后通过因式分解，配方等方法，得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；利用正、余弦定理，把已知条件转化为角角关系，然后通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状(2)判断三角形的形状时，在等式变形中，一般两边不要约去公因式
9、，以免漏解(3)常见的三角形有：正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、钝角三角形或锐角三角形例 5在ABC 中，a cos Ab cos Bc cos C，试判断三角形的形状解方法一由正弦定理，设 k0，asin A bsin B csin Cak sin A，bk sin B，ck sin C，代入已知条件得ksin Acos Ak sin Bcos Bk sin Ccos C，即 sin Acos A sin Bcos B sin Ccos C.根据二倍角公式得 sin 2A sin 2B sin 2C，即 sin(AB)(AB) sin(AB)(AB)2 sin Ccos C
10、，2 sin(AB) cos(AB)2 sin Ccos C.ABC ，AB C， sin(AB) sin C0， cos(AB) cos C，又 cos(AB) cos C， cos(AB) cos (AB)0，2 cos Acos B0， cos A0 或 cos B0，即 A90或 B90，ABC 是直角三角形方法二由余弦定理知cos A ， cos B ， cos C ，b2 c2 a22bc a2 c2 b22ac a2 b2 c22ab代入已知条件得a b c 0，b2 c2 a22bc a2 c2 b22ac c2 a2 b22ab通分得 a2(b2c 2a 2)b 2(a2c
11、2b 2)c 2(c2a 2b 2)0，展开整理得(a 2b 2)2c 4.a 2b 2c 2，即 a2b 2c 2或 b2a 2c 2.根据勾股定理知ABC 是直角三角形六、利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式方法链接：证明三角恒等式有三种方向：一种是从等式某一侧证到另一侧；一种是将式子的两侧同时整理化简得到相同的结果；最后一种是将要证的恒等式进行适当的等价变形，证明等价变形后的式子成立即可不论哪种方向都应遵循“从繁化简”的原则例 6在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，求证： 0.a2 b2cos A cos B b2 c2cos B cos C c2 a2cos C cos
12、 A分析利用正弦定理把边角统一为角的代数式，再结合三角公式求证6证明由正弦定理 2R.asin A bsin B csin Ca2R sin A，b2R sin B，C2R sin C. a2 b2cos A cos B 4R2 sin2A sin2Bcos A cos B4R2 1 cos2A 1 cos2B cos A cos B4R2 cos2B cos2Acos A cos B4R 2(cos B cos A)；同理 4R 2(cos C cos B)；b2 c2cos B cos C4R 2(cos A cos C)c2 a2cos C cos A左边 a2 b2cos A cos
13、B b2 c2cos B cos C c2 a2cos C cos A4R 2(cos B cos A)4R 2(cos C cos B)4R 2(cos A cos C)4R 2(cos B cos A cos C cos B cos A cos C)0.左边右边即 0 成立a2 b2cos A cos B b2 c2cos B cos C c2 a2cos C cos A1忽视构成三角形的条件而致错例 1已知钝角三角形的三边 ak，bk2，ck4，求 k 的取值范围错解cba 且ABC 为钝角三角形，C 为钝角由余弦定理得 cos Ca2 b2 c22ab 0.综上所述，0k4.即 k2而
14、不是 k0.正解cba，且ABC 为钝角三角形，C 为钝角由余弦定理得 cos C k4，k2，综上所述，k 的取值范围为 2180，故B135不适合题意，是个增解这个增解产生的根源是忽视了 ab 这一条件，根据三角形的边角关系，角 B 应小于角 A，故 B135应舍去正解在ABC 中，由正弦定理可得sin B ，bsin Aa 2sin 606 22因为 ab，所以 AB，所以 B45.3忽视角之间的关系而致错例 3在ABC 中， ，试判断三角形的形状tan Atan B a2b2错解 ， ，tan Atan B a2b2 sin Acos Bcos Asin B sin2Asin2B cos Bcos A sin Asin Bsin Acos A sin Bcos B， sin 2A sin 2B，AB.ABC 是等腰三角形点拨上述错解忽视了满足 sin 2A sin 2B 的另一个角之间的关系：2A2B
