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1、必修5第三章 不等式3.4.1 基本不等式第一课时(王乙橙)一、教学目标1.核心素养通过学习基本不等式，提升学生的直观想象、数学运算与逻辑推理的能力.2.学习目标（1） 探索基本不等式的证明过程；（2） 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3.学习重点应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.4.学习难点用基本不等式求的最大（小）值.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务1.预习课本97页内容,感性认识a2+b22ab这个重要不等式和等号成立的条件.2.能尝试从两方面证明基本不等式吗：(1)代数法(2)几何法2.预习自测1.设a0,b0,则+ 2（填或），并
2、指出“”成立的条件.答案：2.已知aR,设P(4+a2)(4+)，Q24，则P与Q的大小关系是.答案：PQ3.设a0,b0,ab,P=,Q=,M=，则P、Q、M按由小到大的顺序排列是答案：QMP（二）课堂设计1.问题探究问题探究一 什么是基本不等式？活动一 重要不等式？ 观察与思考：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你还记得是什么吗？（1）设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为_;面积为_,4个直角三角形的面积和是_.（2）根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们在
3、初中的时候从这个图案中找出过一个相等关系_，化简后得到勾股定理 .（3）根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不等式_.（4）4个直角三角形的面积和与正方形的面积有相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？（5）你能给出它的证明吗？归纳小结：（重要不等式），对于任意的实数a,b,都有_;当且仅当_.活动二 什么是基本不等式？（1）既然对于任意的实数,都有,如果，用分别代替中的可以得到 .（2）对于不等式，你能给出证明吗？归纳小结：若那么_,我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）.（3）如下图，是圆的直径，点是上任一点，过点作垂直于，连接、.你能利用这个图形
4、得出基本不等式几何解释吗？基本不等式解读：基本不等式的几何意义： 平均数解释： 基本不等式成立的条件是_；结论是_.问题探究二 基本不等式有那些推论与重要变形？ 重点知识，运用技巧1.平方平均、算术平均、几何平均与调和平均的关系：若，则有，当且仅当 取等.2. 基本不等式的几个重要变形：（1）,，当且仅当 取等；（2），当且仅当 取等；（3）若， 则 2，当且仅当 取等；问题探究三 利用基本不等式能解决哪些问题？ 重点、难点知识活动一 运用基本不等式比较大小例1(1)已知a、b(0,1)，且ab，那么在ab，2，a2b2，2ab中的最大者为_.【知识点：基本不等式及取等条件】详解：方法一a、b
5、(0,1)且ab，ab2，a2b22ab.又当a、b(0,1)时，aa2，bb2，aba2b2.最大者为ab.方法二(特值法)，取a，b，代入即得：最大者为ab.(2)设a0，b0，试比较， ，的大小，并说明理由.【知识点：算数平均数，几何平均数，调和平均数，均方根引出的重要结论】详解：方法一a0，b0，即(当且仅当ab时取等号).又()2， (当且仅当ab时等号成立)而，故 (当且仅当ab时等号成立).方法二（特值法）取a1，b4代入即得结论.点拨：(1)利用均值不等式及函数单调性是比较大小的常用方法；(2)代入特殊值，通过计算先估算大小关系，后比较大小更具有目标性活动二 利用基本不等式求最
6、值 例2 (1)已知a0，b0，且ab2，则当ab_时，ab有最小值_.(2)已知a0，b0，且ab2.则当ab_时，ab有最大值_.【知识点：基本不等式】详解：(1)ab2，当ab时，ab有最小值2.(2)ab()2，当ab1时，ab有最大值1.点拨：利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：各项均为正数；其和或积为常数；等号必须成立.即“一正，二定，三相等”.简记：积定和最小，和定积最大.活动三 利用基本不等式求最值例3 (1)已知x1，求f(x)x的最小值.(2)已知x0、y0，且5x7y20.求xy的最大值.【知识点：基本不等式；数学思想：配凑，基本不等式推论】详解：(1)x1，
7、x10.f(x)xx11211.当且仅当x1，即x0时取“”.f(x)min1.(2)x0，y0，xy(5x7y)()2()2.当且仅当5x7y10，即x2，y时，取“”.(xy)max.点拨：在应用基本不等式求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正(各项都是正数)，二定(积或和是定值)，三相等(等号能否成立)”.求最值时，若忽略了某个条件，就会出现错误.导致解题的失败.如：本题(1)已知中将x1改为x2，则值域将变为(，).2.课堂总结1. 基础知识思维导图重要不等式：，均值不等式的应用均值不等式：，均值不等式的重要变形2.重点难点突破利用均值不等式求最值时，应注意的问题（1）各项均为
8、正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑.（2）求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值.（3）确保等号成立.以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”.3.基本不等式推广：若， 则(当且仅当时，取等号).一般地，对于个正数，则(当且仅当时，取等号).3.随堂检测1.设0ab，则下列不等式中正确的是()A.abB.abC.ab D.ab【知识点：基本不等式比较大小；】解：0ab，aaab.a.由基本不等式知(ab)，又0ab，abbb，b.a0，则a有最_值2，此时a_.若a0，则a有最_值2，此时a_.(2)若0a1)的最小值为()A.3B.3C.4 D.4【知识点
9、：基本不等式，对数函数】解：x5(x1)626268，当且仅当x1即x2时取“”号，ylog2(x5)log283.故选B.4.设a1，b1且ab(ab)1，那么()A.ab有最小值2(1) B.ab有最大值(1)2C.ab有最大值1 D.ab有最小值2(1)【知识点：基本不等式变形的应用】解：A5.若x，yR，且x2y5，则3x9y的最小值()A.10 B.6 C.4 D.18【知识点：基本不等式，指数式】解：D6.已知ab1，P，Q(lgalgb)，Rlg，比较P、Q、R的大小.【知识点：基本不等式，函数的单调性】解：ab1，lgalgb0.(lgalgb)，故QP.又由，得lglg.即l
10、g(lgalgb)，故RQ.从而PQR.（四）课后作业基础型 自主突破1. 不等式a212a中等号成立的条件是()A.a1 B.a1 C.a1 D.a0【知识点：取等条件】解：B2. 设x0，则y33x的最大值是()A.3 B.32 C.32 D.1【知识点：基本不等式】解：C3. 若a0，b0，且a2b20，则ab的最大值为()A. B.1 C.2 D.4【知识点：基本不等式】解：A4. 下列函数中，最小值为4的函数是()A.yx B.ysinx C.yex4ex D.ylog3xlogx81【知识点：基本不等式，取等条件】解：C5. 已知a0，b0，则2的最小值是()A.2 B.2 C.4
11、 D.5【知识点：基本不等式】解：D6.已知x0，y0，且满足1，则xy的最大值为_ _【知识点：基本不等式】解：37.已知x0，y0，lgxlgy1，求的最小值 【知识点：基本不等式，函数的单调性】解：2能力型 师生共研8. 下列不等式a212a；a244a；|2；ab.其中恒成立的是()A. B. C. D.【知识点：基本不等式】解：与同号，|2.9.(2012福建)下列不等式一定成立的是()A.lg(x2)lgx(x0) B.sinx2(xk，kZ)C.x212|x|(xR) D.1(xR)【知识点：基本不等式，取等条件】解：x212|x|x22|x|10，当x0时，x22|x|1x22x1(x1)20成立；当x0时，x22|x|1x22x1(x1)20成立.故x212|x|(xR)一定成立.10. (2011四川)若实数x、y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_.【知识点：基本不等式常见变形】解：x2y2xy(xy)2xy1，(xy)2xy1()21.(xy)21.xy.当且仅当xy时等号成立.11. 设正数x，y满足a恒成立，则a的最小值是_.【知识点：基本不等式】解：探究型
