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1、3.2简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用知识点一半角公式思考1我们知道二倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2替换，结果怎样？答案结果是cos2cos2112sin2cos2sin2.思考2根据上述结果，试用sin，cos表示sin，cos，tan.答案cos2，cos，同理sin，tan.思考3利用tan和二倍角公式又能得到tan与sin，cos怎样的关系？答案
2、tan，tan.梳理sin ，cos ，tan .知识点二辅助角公式思考1asinxbcosx化简的步骤有哪些？答案(1)提常数，提出得到.(2)定角度，确定一个角满足：cos，sin.一般为特殊角，则得到(cossinxsincosx)(或(sinsinxcoscosx)(3)化简、逆用公式得asinxbcosxsin(x)(或asinxbcosxcos(x)思考2在上述化简过程中，如何确定所在的象限？答案所在的象限由a和b的符号确定梳理辅助角公式：asinxbcosxsin(x).1若k，kZ，则tan 恒成立()2若函数f(x)A1sin(x1)，g(x)A2sin(x2)(其中A10，
3、A20，0)，则h(x)f(x)g(x)的周期与f(x)和g(x)的一致()3辅助角公式asinxbcosxsin(x)，其中所在的象限由a，b的符号决定，与点(a，b)同象限()4sinxcosx2sin.()提示sinxcosx22sin.类型一应用半角公式求值例1已知sin，3，求cos和tan.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解sin，且3，cos.由cos2cos21，得cos2.，cos.tan2.反思与感悟利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符
4、号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2，cos2计算(4)下结论：结合(2)求值跟踪训练1已知sin，3，则tan的值为()A3B3C.D考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案B解析30，cos0，cos.2已知24，且sin，cos0，则tan的值等于()A3B3CD.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案A解析由题意知为第三象限角，cos，所以tan3.故选A.3化简的结果为()At
5、anBtan2C1D2考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案B解析原式tan2.4函数f(x)sinxcosx，x的最小值为_考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值答案1解析f(x)sin，x.x，f(x)minsin1.5已知在ABC中，sinAcos2sinCcos2sinB，求证：sinAsinC2sinB.考点三角恒等式的证明题点三角恒等式的证明证明由sin Acos2sin Ccos2sin B，得sin Asin Csin B，即sin Asin Csin AcosCsin CcosA3sin B，sin Asin Csin(AC)3s
6、in B，sin Asin Csin(B)3sin B，即sin Asin Csin B3sin B，sin Asin C2sin B.1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式2辅助角公式asinxbcosxsin(x)，其中满足：与点(a，b)同象限；tan.3研究形如f(x)asinxbcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如s
7、inxcosxsin；sinxcosx2sin等.一、选择题1已知cos，则sin等于()A.BC.D.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案A解析，sin.2已知180360，则cos的值等于()AB.CD.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案C3设acos6sin6，b2sin13cos13，c，则有()AcbaBabcCacbDbca考点简单的三角恒等变换的综合应用题点简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案C解析asin30cos6cos30sin6sin(306)sin24，b2sin13cos13sin26，csin25，ysin
8、x在上是单调递增的，acb.4(2017安徽芜湖高一期末考试)已知等腰三角形的顶角的余弦值为，则它的底角的余弦值为()A.B.C.D.考点简单的三角恒等变换的综合应用题点三角恒等变换与三角形的综合应用答案B解析设等腰三角形的顶角为，底角为，则cos.又，所以coscossin，故选B.5在ABC中，若sinAsinBcos2，则ABC是()A等边三角形B等腰三角形C不等边三角形D直角三角形考点简单的三角恒等变换的综合应用题点三角恒等变换与三角形的综合应用答案B解析sinAsinB(1cosC)，即2sinAsinB1cosC，2sinAsinB1cosAcosBsinAsinB，故得cos(AB)1，又AB(，)，AB0，即AB，则ABC是等腰三角形6已知sin，cos，则tan等于()AB5C5或D或5考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案B解析由sin2cos21，得221，解得m0或8，当m0时，sin 0，不符合.m0舍去，故m8，sin ，cos，tan 5.7如果|cos|，3，则sin的值是()AB.CD.考点简单的三角恒等变换的
