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1、醴陵一中2017年下学期高二年级期中考试题数学（文科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,是大于等于的自然数组成的集合，故答案选2. 命题“，”的否定是（ ）A. 存在使 B. 不存在使C. ， D. ，【答案】D【解析】对命题“”的否定是：，”对命题“，”的否定是：“，”故答案选3. 若，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选点晴：本题考查的是指数式，对数式的大小比较。解决本题的关键是利用指、对数函数的单调性比较
2、大小，当指、对函数的底数大于0小于1时，函数单调递减，当底数大于1时，函数单调递增；另外由于指数函数过点（0，1），对数函数过点（1，0），所以还经常借助特殊值0,1比较大小4. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩，已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则和的值分别为（ ）A. 2，5 B. 5，5 C. 5，8 D. 8，8【答案】C【解析】由甲组数据的中位数为，可得未知数据应为，即；乙组数据的平均数为，即，解得，故选C.5. 执行如下图的程序框图，那么输出的的值是（ ）A. B. C. 2 D. 1【答案】C【解析】由题意可得：初如值S=
3、2,k=2015,S=-1,k=20162018S=,k=20172018输出2,选C.6. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位【答案】D【解析】试题分析： ，可以将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象考点：函数图象的平移7. 已知两等差数列、前项和分别为、，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故选A.【点睛】本题关键是要熟练掌握等差数列的求和公式，利用整体代换思想构造.8. 如图，函数 的图象过点，则的函数解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得A=2
4、,f(0)=由所以，选B.9. 若直线 始终平分圆的周长，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由圆的方程，得圆心坐标为：，因直线始终平分圆的周长，则直线必过点，即，当且仅当时，等号成立，的取值范围是：，故选点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10. 函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数,可以知道函数的图象关于对称，故排除,当时，函数的图象在轴下方，故排除故答案选 1
5、1. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】若函数 在 上单调递减，则 解得， 即选B12. 设和分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 3 D. 【答案】B【解析】点在双曲线上，且由双曲线的定义知在中，由余弦定理得：解得故答案选点睛：根据题目意思，结合双曲线定义可以求出，再由余弦定理求得，由此可以求出双曲线的离心率第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设向量，且，则_【答案】【解析】,解得14. 设变量满足约束条件：，则的最大值是_【答案】8.【解析】
6、 作出约束条件所对应的可行域（如图），而表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为或，的最大值为，故答案为.15. 如下图，在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图都是边长为2的等边三角形，左视图是等腰直角三角形，那么这个几何体外接球的表面积为_【答案】【解析】几何体为一个三棱锥，如图，高为，底面为边长为2正三角形，因此外接球的半径等于 ，表面积为 16. 已知抛物线焦点为，直线过焦点且与抛物线交于两点，为抛物线准线上一点且，连接交轴于点，过作于点，若，则_【答案】.【解析】设 ，直线的方程为 代入抛物线方程可得 可得 联立可得 故答案为点睛：本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与
7、抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设：实数满足，其中；：实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1) 实数的取值范围是;(2) 实数的取值范围是.试题解析：（1）由x24ax+3a20，得（x3a）（xa）0，又a0，所以ax3a，当a=1时，1x3，即p为真时实数x的取值范围是1x3q为真时等价于（x2）（x3）0，得2x3，即q为真时实数x的取值范围是2x3若pq为真，则实数x的取值范围是1x3（2）p是q的必要不充分条件，等价
8、于qp且p推不出q，设A=x|ax3a，B=x|2x3，则BA；则，所以实数a的取值范围是1a2。点睛：“命题是命题的充分不必要条件”与“命题的充分不必要条件是命题”18. 某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.【答案】(1) ;(2) 高一年级数学成绩不低于60
9、分的人数约为人;(3) 这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为.【解析】试题分析：（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1建立关于a的等式，解之即可求出所求；（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率总数可求出所求；（3）成绩在40，50）分数段内的人数，以及成绩在90，100分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可试题解析：(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.解得a=0.03 (2)根据频率
10、分布直方图,成绩不低于60分的频率为110(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85=544人 (3)成绩在40,50)分数段内的人数为400.05=2人,分别记为A,B，成绩在90,100分数段内的人数为400.1=4人,分别记为C,D,E,F.若从数学成绩在40,50)与90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)
11、,(D,E),(D,F),(E,F)共15种.(9分)如果两名学生的数学成绩都在40,50)分数段内或都在90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在40,50)分数段内,另一个成绩在90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有：(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)=.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的
12、探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19. 在中，角所对的边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若边长，求面积的最大值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到，又，从而求出角；（2）由余弦定理得，利用基本不等式得，求出最大值，进一步得到面积最大值。试题解析：（1），得，即，得，（2），即，即（当时等号成立），点睛：解三角形是高考中的基本题型，学生需完全掌握，不失分。第一小题考察正余弦定
13、理的基本应用，中间还考察了三角形中的三角函数转换；第二小题考察最值问题，本题采用余弦定理结合基本不等式来解决问题，也可采用正弦定理结合三角函数性质来解决最值问题。20. 如图所示，矩形所在的平面，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.（3）当满足什么条件时，能使平面成立？并证明你的结论.【答案】(1)见解析；(2)见解析；（3）当满足时，能使平面成立.证明见解析。【解析】试题分析：（1）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，可得，利用线面平行的判定，即可得出结论；（2）由线面垂直得，由矩形性质得，由线面垂直的判定定理可得平面，由此能证明；（3）当满足时，能使平面成立，可利用等腰三角形
14、的性质以及线面垂直的判定定理证明.试题解析：（）证明：取的中点，连接，分别是，中点，又，是中点，,四边形是平行四边形，平面，平面，平面（）平面，又，平面，又（）当满足时，能使平面成立，现证明如下：，是中点，由（）可知，平面故当满足时，能使平面成立【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面垂直的性质定理与判定定理，属于难题. 证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行
