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1、湖南省邵东一中2019年上学期高二年级第一次月考试题数学(文)时量:120分钟 总分: 150分一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时,结论的否定是( )A没有一个内角是钝角 B有两个内角是钝角 C有三个内角是钝角 D至少有两个内角是钝角3有一段演绎推理是这样的:“指数函数都是增函数;已知是指数函数;则是增函数”的结论显然是错误的,这是因为( ) A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误4.设p:实数x
2、,y满足x1且y1,q:实数x,y满足xy2,则p是q的()A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线变为曲线,则曲线的方程为( )A B C D6.如图,第1个图形由正三角形扩展而成,共12个顶点.第n个图形是由正n+2边形扩展而来 ,则第n个图形的顶点个数是( )(1) (2)(3) (4)A. (2n+1)(2n+2) B. 3(2n+2) C. 2n(5n+1) D. (n+2)(n+3)7.若实数满足,给出以下说法:中至少有一个大于;中至少有一个小于;中至少有一个不大于1;中至少有一个不小于.其
3、中正确说法的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 08.要证:a2+b2-1-a2b20,只要证明( )A. 2ab-1-a2b20 B.(a2-1)(b2-1)0 C. D. 9已知正项等比数列an (nN+)满足a5=a4+2a3,若存在两项an,am使得,则的最小值为( )A B C D10.在平面几何里有射影定理:设三角形的两边,是点在上的射影,则.拓展到空间,在四面体中,面,点是在面内的射影,且在内,类比平面三角形射影定理,得出正确的结论是( )A. B. C. D. 11.设,则=( ) A. B. C. D. 12.针对“中学生追星问题”,某校团委对“学生性别和中学生追星是否
4、有关”作了一次调查,其中女生人数是男生人数的,男生追星的人数占男生人数的,女生追星的人数占女生人数的.若有的把握认为是否追星和性别有关,则男生至少有( )参考数据及公式如下:A. 12B. 11C. 10D. 18二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20)13在直角坐标系xOy中,已知点C(3,),若以O为极点,x轴的正半轴为极轴,则点C的极坐标(,)(0,0,0)可写为_14.复数z=的虚部为 15. 设等差数列的前项和为,则,成等差数列;类比以上结论有:设等比数列的前项积为,则,_,成等比数列16.有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率分别为,点A为两曲线的一个公共点,且满足F
5、1AF290,则的值为_2_三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题10分)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,若直线l的极坐标方程为(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程;(2)已知P为椭圆C:上一点,求P到直线l的距离的最小值(1)直线l的极坐标方程为sin(-)=2,整理得:(sincos-cossin)=sin-cos=2,即sin-cos=4,则直角坐标系中的方程为y-x=4,即x-y+4=0;(2)设P(cos,3sin),点P到直线l的距离d=则P到直线l的距离的最小值为18. (本题12分
6、)已知,分别求,的值,然后归纳猜想一般性结论,并证明你的结论【解析】由,得,归纳猜想一般性结论为,证明如下:19. (本题12分)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线的参数方程是,曲线的极坐标方程为(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与轴交于点P,与曲线交于点,且,求实数的值【解析】(1)直线的参数方程是,消去参数可得由,得,可得的直角坐标方程:(2)把,代入,得由,解得,解得或1又满足,实数或120. (本题12分)已知数列的前项和为,其中为常数,(I)证明:;(II)是否存在,使得为等差数列?并说明理由.所以,因此存在,使得为等差数列2
7、1. (本题12分)已知椭圆的两焦点分别为,其短半轴长为.(1)求椭圆的方程;(2)设不经过点的直线与椭圆相交于两点.若直线与的斜率之和为,求实数的值.【详解】(1)椭圆的两焦点分别为,c=, 短半轴长为,b=1, ,故得到曲线C的方程为:;(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由,消去y得,37x2+36tx+9(t21)0,由(36t)24379(t21)0,可得,又直线y2x+t不经过点H(0,1),且直线HM与HN的斜率存在,t1,又,kHM+kHN,解得t3,故t的值为3.22. (本题12分)已知函数.(1)当时,求函数的单调区间和极值;(2)若不等式恒成立,求的值.【详解】(1)a1时,f(x),f(x),令f(x)0,解得xe. x (0,e) e (e,+) f(x)+ 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减可得函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+),可得极大