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1、2019 年全国 卷文科数学真题 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 A x x 1 B x x 2 则A B A 1 B 2 C 1 2 D 2 设z i 2 i 则z A 1 2i B 1 2i C 1 2iD 1 2i 3 已知向量 2 3 3 2 则 A 2B 2C 5 2 D 50 4 生物实验室有 5 只兔子 其中只有3 只测量过某项指标 若从这5 只兔子中随机 抽出 3只 则恰有 2 只测量过该指标的概率为 A 2 3 B 3 5 C 2 5 D 1 5 5 在 一带一路 知识测验后 甲
2、乙 丙三人对成绩进行预测 甲 我的成绩比乙高 乙 丙的成绩比我和甲的都高 丙 我的成绩比乙高 成绩公布后 三人成绩互不相同且只有一个人预测正确 那么三人按成绩由高到 低的次序为 A 甲 乙 丙B 乙 甲 丙C 丙 乙 甲D 甲 丙 乙 6 设f x 为奇函数 且当x 0时 f x ex 1 则当x 0 两个相邻的极值点 则 A 2B 3 2 C 1 D 1 2 9 若抛物线 y2 2px p 0 的焦点是椭圆 x2 3p y 2 p 1的一个焦点 则p A 2B 3C 4 D 8 10 曲线 y 2sinx cosx在点 1 处的切线方程为 A x y 1 0B 2x y 2 1 0 C 2x
3、 y 2 1 0D x y 1 0 11 已知 0 2 2sin2 cos2 1 则sin A 1 5 B 2 5 C 3 3 D 2 5 5 12 设F为双曲线 C x 2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 的右焦点 O为坐标原点 以 OF为 直径的圆与圆 x2 y2 a2交于P Q两点 若 PQ OF 则 C的离心率为 A 2B 3C 2 D 5 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 若变量 x y满足约束条件 2x 3y 6 0 x y 3 0 y 2 0 则z 3x y的最大值是 14 我国高铁发展迅速 技术先进 经统计 在经停某站的高铁列车中 有 10 个
4、车次 的正点率为 0 97 有 20 个车次的正点率为0 98 有 10 个车次的正点率为0 99 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 15 ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 已知 bsinA acosB 0 则B 16 中国有悠久的金石文化 印信是金石文化的代表之一 印信的形状多为长方体 正方体或圆柱体 但南北朝时期的官员独孤信得印信形状是 半正多面体 图 1 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体 半正多面体体现了数学 的对称美 图 2是棱数为 48的半正多面体 它所有顶点都在同一个正方体的表面上 且次正方体的棱长为1 则该半正多面体共有个面 其
5、棱长为 本 题第一空 2 分 第二空 3 分 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21 题 为必考题 每个试题考生都必须作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求 作答 一 必考题 共60 分 17 12 分 如图 长方体 ABCD A1B1C 1D1的底面 ABCD是正方形 点E在棱AA1上 BE EC1 1 证明 BE 平面 EB1C 1 2 若 AE A1E AB 3 求四棱锥 E BB1C1C 的体积 18 12 分 已知 an 是各项均为正数的等比数列 a1 2 a3 2a2 16 1 求 an 的通项公式 2 设 bn log2an 求数列 b
6、n 的前 n 项和 19 12 分 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况 随机调查了100 个企业 得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表 Y的分组 0 20 0 0 0 20 0 20 0 40 0 40 0 60 0 60 0 80 企业数2 24 53 14 7 1 分别估计这类企业中产值增长率不低于40 的企业比例 产值负增长的企业比 例 2 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值 同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表 精确到 0 01 附 74 8 602 20 12 分 已知F1 F2是椭圆 C x2 a2 y2 b2 1 a b 0
7、的两个焦点 P 为 C上的点 O 为坐标原点 1 若 POF 2为等边三角形 求 C的离心率 2 如果存在点 P 使得PF1 PF2 且 F1PF2的面积等于 16 求 b 的值和 a 的取值 范围 21 12 分 已知函数 f x x 1 lnx x 1 证明 1 f x 存在唯一的极值点 2 f x 0有且仅有两个实根 且两个实根互为倒数 二 选考题 共10 分 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按 所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在极坐标系中 O 为极点 点 M 0 0 0 0 在曲线 C 4sin 上 直线l过点A 4 0 且与 OM垂直 垂足为 P 1 当 0 3时 求 0及l的极坐标方程 2 当 M在 C上运动且 P在线段 OM 上时 求 P点轨迹的极坐标方程 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知f x x a x x 2 x a 1 当 a 1时 求不等式 f x 0的解集 2 若 x 1 时 f x 0 求 a 的取值范围
