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1、衡阳市八中2019届高三第十二次月考试题理科数学考试时间：2019年5月30日15:0017:00 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，集合，则集合A B C D 2若复数满足，则A B C D 3已知，且都不为（），则“”是“关于的不等式与同解”的A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件4. 执行如图的算法程序，若输出的结果为，则横线处应填入A B C D5. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为正（主）视图 11俯视图侧（左）视图2A.
2、 B. C. D. 6张丘建算经卷上第题为：“今有女善织，日益功疾，且从第天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织尺布，现有一月（按天计），共织尺布”，则该女最后一天织多少尺布？A B C D7设设函数，则函数的图象大致为 8若多项式，则A B C D9. 将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，且，则的一个可能值为A B C D10已知函数，则不等式的解集是A B C D11. 已知高为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，若二面角的正切值为，则A. B. C. D. 12已知线段是过抛物线（）的焦点的一条弦，过点（在第一象限内）作直线垂直于抛物线的准线，垂足为，直线与
3、抛物线相切于点，交轴于点， 给出下列命题：（1）；（2）；（3）.其中正确的命题个数为A. B C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 把答案填在答题卡中的横线上）13已知，若，则_.14若满足约束条件，则的最大值为_.15从六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位奇数，有_个这样的四位奇数（用数字填写答案）.16在中，为的重心，则面积的最大值为_.三、解答题（本大题共6小题，共70分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：60分17(本小题满分12分) 设是等比数列，公比，其前项和为（），是等差数列已知，（）求数列和的通项公式；（）求数列的前
4、项和18(本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值19(本小题满分12分) 在平面直角坐标系中，抛物线：与直线：交于两点.（）设到轴的距离分别为，证明：和的乘积为定值；（）轴上是否存在点，当变化时，总有？ 若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由20(本小题满分12分) 为了迎接2019年全国文明城市评比，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查每一位市民有且仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示：组别频数（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分
5、布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求；（2）在（1）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；（ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为获赠的随机话费（单位：元）概率现市民小明要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望附：；若，则，.21. (本小题满分12分) 已知函数，（）（）求曲线在处的切线方程；（）当时，恒成立，求实数的取值范围 （二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做
6、，则按所做的第一题计分22. (本小题满分10分) 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心的极坐标为且经过极点的圆.（1）求曲线的极坐标方程和的普通方程；（2）已知射线（）分别与曲线交于点（点异于坐标原点），求线段的长.23. (本小题满分10分) 选修45：不等式选讲已知函数（）.（）当时，求的解集；（）若的解集包含集合，求实数的取值范围.衡阳市八中2019届高三第十二次月考试题理科数学 参考答案命题：廖洪波、徐五洲 审题：彭 韬考试时间：2019年5月30日15:0017:00 试卷满分：150分
7、一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1B 2C 3B 4D 5B 6B 7A 8C 9D 10C 11D 12A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 14（或） 15 16三、解答题（本大题共6小题，共70分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （）解：由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为，由，可得由，可得， 从而， 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（）由（），有，所以，故【（2）另解：错位相减法】18（1）证明：取中点，连结，因为底面为菱形，所以因为为的中点，所以1分在中， 为的中
8、点，所以设，则，因为，所以2分【2分段另证：在中，为的中点，所以在 和 中，因为，所以 所以所以】因为，平面，平面，所以平面3分因为平面，所以平面平面4分（2）解法1：因为，平面，平面，所以平面所以 由（1）得，所以，所在的直线两两互相垂直5分以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系6分设，则，7分所以，8分设平面的法向量为，则 令，则，所以9分设平面的法向量为，则 令，则，所以10分设二面角为，由于为锐角，所以11分所以二面角的余弦值为12分解法2：因为，平面，平面，所以平面所以5分所以，过点作，为垂足，过点作交于点，连接，6分因为，所以，即所以为二面角的平面角
9、7分在等腰中，根据等面积法可以求得8分进而可以求得，所以，9分在中，所以在中，所以，即10分在中，所以11分所以二面角的余弦值为12分19.（）证明：设，则联立，得2分，3分所以为定值5分（）解：存在符合题意的点证明如下：设为符合题意的点，直线，的斜率分别为，由（1）知5分从而7分8分9分当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补 11分故，所以点符合题意12分评分细则：第（1）问中，直线方程与抛物线方程联立正确得2分，两根之和对（1）问无贡献，若第（2）问未写，而第（1）问写了，应给1分20. 【解析】（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得，又，. 5分（2）由条件，的可能
10、取值为，的分布列为：. 12分21. 解：() , ,所求切线方程为 4分()令 当时，时，；时，在上是减函数，在上是增函数，即 7分 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，要使，则，解得 9分 当时，在上是增函数，成立 10分 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为 12分22. 【解析】（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数得. 又，代入得的极坐标方程为， 5分由曲线是圆心的极坐标为且经过极点的圆，可得其极坐标方程为，从而得的普通方程为.（2）将（）代入得.又将（）代入得故. 10分23. 【解析】（）当时，由得，上述不等式可化为 或 或，解得 或 或 或 或原不等式的解集为.
