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1、第十二节导数与生活中的优化问题及综合应用 考向1利用导数解决实际生活中的优化问题 典例1 2013 烟台模拟 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润f x 最大 思路点拨 1 根据 销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 可知销售函数过点 5 11 将其代入可求得a的值 2 利润为f x 每件产品的售价 每件产品的成本
2、销量 表示出函数解析式后 可借助导数求最值 规范解答 1 因为x 5时 y 11 所以 10 11 所以a 2 2 由 1 可知 该商品每日的销售量y 10 x 6 2 所以商场每日销售该商品所获得的利润f x x 3 10 x 6 2 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 从而f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大
3、 拓展提升 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 回归实际问题作答 变式训练 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得A B C D四个点重合于图中的点P 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E F在AB上 是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设AE FB x cm
4、1 某厂商要求包装盒的侧面积S cm2 最大 试问x应取何值 2 某厂商要求包装盒的容积V cm3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 解析 设包装盒的高为h cm 底面边长为a cm 由已知得a h 0 x 30 1 S 4ah 8x 30 x 8 x 15 2 1800 所以当x 15时 S取得最大值 2 V a2h x3 30 x2 V x 20 x 由V 0得x 0 舍去 或x 20 当x 0 20 时 V 0 当x 20 30 时 V 0 所以当x 20时 V取得极大值 也是最大值 此时 即包装盒的高与底面边长的比值为 考向2利用导数解决不等式问题 典例2 1
5、 2013 福州模拟 f x 为定义在R上的可导函数 且f x f x 对任意正实数a 则下列式子成立的是 A f a eaf 0 B f a eaf 0 C f a D f a 2 2012 辽宁高考 设f x lnx 1 证明 当x 1时 f x x 1 当1 x 3时 f x 思路点拨 1 观察选项知 所要比较的两数为的大小 故可构造函数g x 利用其单调性来比较 2 构造函数 借助函数单调性证明不等式 同时应注意对于不等式中的无理式 可利用基本不等式放缩后 变为整式或分式的形式后再证明 规范解答 1 选B 令g x g x 0 g x 在R上为增函数 又 a 0 g a g 0 即即f
6、 a eaf 0 2 方法一 记g x lnx 1 x 1 则当x 1时 g x 0 g x 在 1 上单调递减 又g 1 0 有g x 0 即f x x 1 方法二 由基本不等式知 当x 1时 1时 f x x 1 方法一 记h x f x 得h x 令g x x 5 3 216x 则当1 x 3时 g x 3 x 5 2 216 0 因此g x 在 1 3 内是减函数 又由g 1 0 得g x 0 所以h x 0 因此h x 在 1 3 内是减函数 又h 1 0 得h x 0 于是当1 x 3时 f x 方法二 记h x x 5 f x 9 x 1 则当1 x 3时 得h x f x x
7、5 f x 9 x 1 x 5 9 3x x 1 x 5 2 18x 3x x 1 x 5 2 18x 7x2 32x 25 0 因此h x 在 1 3 内单调递减 又h 1 0 所以h x 0 即f x 拓展提升 1 构造函数证明不等式的方法 1 对于 或可化为 左右两边结构相同的不等式 构造函数f x 使原不等式成为形如f a f b 的形式 2 对形如f x g x 构造函数F x f x g x 3 对于 或可化为 f x1 x2 A的不等式 可选x1 或x2 为主元 构造函数f x x2 或f x1 x 提醒 解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f x g x f
8、 x g x 的错误结论 2 利用导数证明不等式的基本步骤 1 作差或变形 2 构造新的函数h x 3 对h x 求导 4 利用h x 判断h x 的单调性或最值 5 结论 变式训练 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 解析 1 由f x ex 2x 2a x R知f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如表 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为2 1 ln2 a 2
9、 设g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知当a ln2 1时 g x 的最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x R 都有g x 0 所以g x 在R内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 考向3利用导数研究函数的零点 典例3 1 2013 台州模拟 方程x3 3x k有3个不等的实根 则常数k的取值范围是 2 2012 福建高考 已知函数f x axsinx a R 且在 0 上的最大值为 求函数f
10、 x 的解析式 判断函数f x 在 0 内的零点个数 并加以证明 思路点拨 1 设f x x3 3x k 利用导数求出f x 的极值 由极值符号对方程根的影响来构造不等式组求解 2 利用导数求出f x 在 0 的最大值 据此求出a的值 先根据零点存在性定理 判断出根的存在情况 再利用函数的单调性证明 规范解答 1 设f x x3 3x k 则f x 3x2 3 令f x 0得x 1 且f 1 2 k f 1 2 k 又f x 的图象与x轴有3个交点 故 2 k 2 答案 2 2 2 由已知f x a sinx xcosx 对于任意x 0 有sinx xcosx 0 当a 0时 f x 不合题意
11、 当a 0 x 0 时 f x 0 从而f x 在 0 内单调递减 又f x 在 0 上的图象是连续不断的 故f x 在 0 上的最大值为f 0 不合题意 当a 0 x 0 时 f x 0 从而f x 在 0 内单调递增 又f x 在 0 上的图象是连续不断的 故f x 在 0 上的最大值为f 即 解得a 1 综上所述 得f x xsinx f x 在 0 内有且只有两个零点 理由如下 由 知 f x xsinx 从而有f 0 0 0 又f x 在 0 上的图象是连续不断的 所以f x 在 0 内至少存在一个零点 又由 知f x 在 0 上单调递增 故f x 在 0 内有且仅有一个零点 当x
12、时 令g x f x sinx xcosx 由g 1 0 g 0 且g x 在 上的图象是连续不断的 故存在m 使得g m 0 由g x 2cosx xsinx 知x 时 有g x 0 从而g x 在 内单调递减 当x m 时 g x g m 0 即f x 0 从而f x 在 m 内单调递增 故当x m 时 f x f 0 故f x 在 m 上无零点 当x m 时 有g x g m 0 即f x 0 从而f x 在 m 内单调递减 又f m 0 f 0 且f x 在 m 上的图象是连续不断的 从而f x 在 m 内有且仅有一个零点 综上所述 f x 在 0 内有且只有两个零点 互动探究 在本例
13、题 1 中 若改为 方程只有一个实数根 其他条件不变 求k的取值范围 解析 要使原方程只有一个实数根 只需2 k0 解得k 2或k 2 故k的取值范围是 2 2 拓展提升 一元三次方程根的个数问题令f x ax3 bx2 cx d a 0 则f x 3ax2 2bx c 方程f x 0的判别式 2b 2 12ac 1 0即b2 3ac时 f x 0恒成立 f x 在R上为增函数 结合函数f x 的图象知 方程f x 0有唯一一个实根 2 当 0即b2 3ac时 方程f x 0有两个实根 设为x1 x2 x1m 当m 0时 方程f x 0有唯一一个实根 当m 0时 方程f x 0有两个实根 当m
14、0时 方程f x 0有三个实根 当M 0时 方程f x 0有两个实根 当M 0时 方程f x 0有一个实根 变式备选 2013 安庆模拟 已知函数f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的单调区间 2 若f x 在x 1处取得极值 直线y m与y f x 的图象有三个不同的交点 求实数m的取值范围 解析 1 f x 3x2 3a 3 x2 a 当a0 故当a0时 由f x 0解得x 由f x 0时 f x 的单调递增区间为 f x 的单调递减区间为 2 因为f x 在x 1处取得极值 所以f 1 3 1 2 3a 0 a 1 所以f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由f x 0
15、解得x1 1 x2 1 由 1 中f x 单调性可知 f x 在x 1处取得极大值f 1 1 在x 1处取得极小值f 1 3 因为直线y m与函数y f x 的图象有三个不同的交点 结合f x 的单调性可知 m的取值范围是 3 1 满分指导 导数综合问题的规范解答 典例 12分 2012 山东高考 已知函数f x k为常数 e 2 71828 是自然对数的底数 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与x轴平行 1 求k的值 2 求f x 的单调区间 3 设g x xf x 其中f x 为f x 的导函数 证明 对任意x 0 g x 1 e 2 思路点拨 规范解答 1 得f x 2分由已知
16、f 1 0 k 1 3分 2 由 1 知 f x 设k x lnx 1 则k x 0 从而f x 0 当x 1时k x 0 从而f x 0 综上可知 f x 的单调递增区间是 0 1 单调递减区间是 1 7分 3 由 2 可知 当x 1时 g x xf x 0 1 e 2 故只需证明g x 0 9分设F x 1 xlnx x x 0 1 则F x lnx 2 当x 0 e 2 时 F x 0 当x e 2 1 时 F x 0 所以当x e 2时 F x 取得最大值F e 2 1 e 2 11分 所以g x 0 g x 1 e 2 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2012 大纲版全国卷 已知函数y x3 3x c的图象与x轴恰有两个公共点 则c A 2或2 B 9或3 C 1或1 D 3或1 解析 选A 设y f x f x 3 x 1 x 1 当x 1或x 1时取得极值 f 1 0或f 1 0 即c 2 0或c 2 0 解得c 2或c 2 2 2013 三亚模拟 设函数f x x3 4x a 0 1 B x20 D x3 2 解析 选C 因为f x 3x2 4 所以由f x
